湖北省枣阳市鹿头中学高一数学上学期期末考试试题

湖北省枣阳市鹿头中学2015-2016学年度高一上学期期末考试数学试题
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝e x
，x ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0,1}
2．若x 2sin 、x sin 分别是θθcos sin 与的等差中项和等比中项，则x 2cos 的值为（ ）
A 、
8
33
1+ B 、
8
33
1- C 、
8
33
1± D 、
4
2
1- 3．为得到函数)3
2cos(π
+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ）
A ．向左平移
125π个单位 B ．向右平移125π个单位 C ．向左平移65π个单位 D ．向右平移6
5π
个单位
4．函数2
2
sin 2sin cos 3cos 2,y x x x x x R =++-∈,下列判断正确的是 A ．最大值为2，周期是π B ．最大值为2，周期是π2 C ．最大值为2，周期是π D ．最大值为2，周期是π2 5．已知正实数,m n 满足1m n +=，且使n m 161+取得最小值．若曲线a y x =过点,54m n P α⎛⎫
⎪⎝⎭
，则的值为（ ） A ．1- B ．
1
2
C ．2
D ．3 6．已知函数2
1, 0()1,0
x f x x x <⎧=⎨
+≥⎩，则等式2
(1)(2)f x f x -=的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤- B ．{12}-+
C ．{|1x x ≤-或12}x =-+
D ．{|1x x <-或12}x =-+
7．已知函数3
()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则
123()()()f x f x f x ++的值为(
)
A.正
B.负
C.零
D.可正可负
8．已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin π
αααα
+-的值是
A. 15
B. 13
C. 3
5
D. 1
9．设D 为ABC △所在平面内一点，3BC CD =u u u r u u u r
，则（ ）
A ．1433
AD AB AC =-+u u u r u u u
r u u u r
B ．1433AD AB A
C =-u u u r u u u r u u u r
C ．4133A
D AB AC =+u u u r u u u r u u u r
D ．4133
AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r
10． 已知A 、B 、C 是圆O ：2
2
1x y +=上三点，且,OA OB OC AB OA +=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
则=
A. 2
3
-
B. 23
C. 23-
D. 23
11．函数()sin(2)3cos(2)f x x x θθ=+++为奇函数，且在[,0]4
π
-上为减函数的θ值可以是
A ．3π-
B ．6π-
C ．56π
D ．23
π
12．若全集U=R ，集合2
{|40},U A x x C A =-≥则=
（ ）
A ．（-2，2）
B ．11
(,)22
- C ．(][),22,-∞-+∞U D ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
U
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．已知奇函数()f x 满足(2)()+=f x f x ，且当(0,1)∈x 时，()2=x
f x ，则0.5(lo
g 23)f 的值等于
14．已知向量()2,7a =-r ，()2,4b =--r
，若存在实数λ，使得()
a b b λ-⊥r r r ，则实数λ为____．
15．函数f(x)＝x 2
＋2x －3，x ∈[0，2]的值域为________．
16．设OABC 是四面体，1G 是ABC ∆的重心，G 是1OG 上一点，且13OG GG =，若
OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，则(,,)x y z 为 .
三、解答题（70分） 17．（本小题满分13分）
已知a ∈R ，函数3
()f x x ax a =-+． （1）求()f x 的单调区间；
（2）证明：当01x ≤≤时，()|1|0f x a +->．
18．（12分）已知集合{}{}
22,1,3,3,21,1A a a B a a a =+-=--+，若{}3A B =-I ， 求实数a 的值。

19．设},12|),{(*N x x y y x A ∈-==，},|),{(*2N x a ax ax y y x B ∈+-==，问是否存在非零整数a ，使
A B ≠∅I ？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由。

20．已知函数32()39f x x x x d =-+++。

（1）求()f x 的单调区间；
（2）如果()f x 在区间[2,2]-上的最小值为4-，求实数d 以及在该区间上的最大值． 21．（本小题满分12分）
已知⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=23,23,)4cos ,4(sin x
x ππ=,x f ⋅=)(｡ （1）求)(x f 的单调递减区间｡
（2）若函数)2()(x f x g -＝，求当]3
4
,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡ 22．已知函数π()cos()4
f x x =-.
（Ⅰ）若72
()10
f α=
，求sin 2α的值；
（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+
⎪⎝
⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值. 参考答案
选择：
1_5BCACB 6_10CBBAA 11_12DA 13．2364
-
【解析】 14．
65
【解析】
试题分析：因为()
a b b λ-⊥r r r ，所以()
26
4282005
a b b a b b λλλλ-⋅=⋅-=-+-=∴=r r r r r r ．
考点：向量的数量积． 15．[－3，5]
【解析】由f(x)＝(x ＋1)2
－4，知f(x)在[0，2]上单调递增，所以f(x)的值域是[－3，5]． 16．⎪⎭
⎫ ⎝⎛41,41,41 【解析】
试题分析：由G 是1OG 上一点，且13OG GG =，可得
1113333()4444
OG OG OA AG OA AG ==+=+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u
r u u u u r
又因为1G 是ABC ∆的重心，所以121[()]32
AG AB AC =+u u u u r u u u r u u u r
3321[()]4432OG OA AB AC ∴=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 31111[()()]44444OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r
而OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以111,,444x y z ===，所以111(,,)(,,)444
x y z =.
考点：1.空间向量的加减法；2.空间向量的基本定理.
17．（1）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调区间为(),-∞+∞ 当0a >时，()333a a f x x x ⎛
⎫⎛⎫'=-
+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，此时()f x 的单调递增区间为,3a ⎛⎤-∞- ⎥ ⎝⎦和,3a
⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭
， 单调递减区间为,33a a ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
（2）构造函数，利用放缩法的思想来求证不等式的成立。

【解析】
试题分析：解：（1）由题意得2
()3f x x a '=- ………2分
当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调区间为(),-∞+∞ ……4分
当0a >时，()3f x x x ⎛'=+ ⎝，
此时()f x 的单调递增区间为,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭
，
单调递减区间为⎡⎢⎣ ……………6分 (2)证明：由于01x ≤≤，所以当1a ≤时，
33()|1|11f x a x ax x x +-=-+≥-+ …………8分
当1a >时，3
3
()|1|(2)1(2)1f x a x a x x x +-=+--≥+--31x x =-+……10分
设3
()1,01g x x x x =-+≤≤，则2()313g x x x x ⎛'=-=+ ⎝⎭⎝⎭
， 于是(),()g x g x '随x 的变化情况如下表：
所以，min ()10g x g ==->⎝⎭
…………12分 所以，当01x ≤≤时，310x x -+>， 故3
()|1|10f x a x x +-≥-+> …………13分
（2）另解：由于01x ≤≤，所以当1a ≤时，3
()|1|1f x a x ax +-=-+． 令3
()1g x x ax =-+，则2
()3g x x a '=-．
当0a ≤时，()0,()g x g x '≥在[]0,1上递增，()(0)10g x g ≥=> ………8分
当01a <≤时，()3g x x x ⎛'= ⎝，()g x 在⎡⎢⎣上递减，在⎤⎥⎦上递增，所以
min
()()10g x g x g ≥==>．
故当1a ≤时，3
()|1|10f x a x ax +-=-+> ………10分 当1a >时，3
()|1|21f x a x ax a +-=-+-． 设3
()21h x x ax a =-+-，则2()3333a a h x x a x x ⎛⎫⎛⎫
'=-=+
- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ③当3a ≥时，()0,()h x h x '≤在[]0,1上递减，min ()()(1)0h x h x h a ≥==> ……11分 ④当13a <<时，()h x 在0,
3a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上递减，在,13a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上递增，所以 min
3()()21103a a h x h x h a ⎛⎫⎛⎫
≥==--> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
故当1a >时，3
()|1|10f x a x ax +-=-+>． 故3
()|1|10f x a x x +-≥-+> …………13分
考点：本试题考查了导数在研究函数中点运用。

点评：对于含有参数的函数的单调区间的求解，这一点是高考的重点，同时对于参数的分类讨论思想，这是解决这类问题的难点，而分类的标准一般要考虑到函数的定义域对于参数的制约，进而分析得到。

而不等式的恒成立问题，常常转化为分离参数 思想，求解函数的最值来完成。

属于难度题。

18．1a =- 【解析】
试题分析：解：∵{}3A B =-I ，∴3B -∈，2分 当{}{}33,0,0,1,3,3,1,1a a A B -=-==-=--， 此时{}3,1A B =-I 与{}3A B =-I 矛盾；7分 ∴ 0a = 舍去
当213,1,a a -=-=-符合{}3A B =-I
∴1a =- 12分 考点：集合的交集运算
点评：对于函数参数的集合的运算，关键是确定参数的取值，然后根据交集的定义得到结论，属于基础题。

19．a=1
【解析】2
(1)21A B a x x x ≠∅⇔-+=-I 在*
x N ∈上有解
2
211
x a x x -⇔=
-+在*
x N ∈上有解
,0a Z a ∈≠Q 222
221
1(21)(1)1
[1,0][1,2]
x x x x x x x -∴
≥⇔-≥-+-+⇔∈-U
*121x N x x a ∈⇒==⇔=或
20．（1）函数的单调递减区间为(,1)-∞-、(3,)+∞；单调递增区间为(1,3)-， (2) 1d =函数f(x)的最大值为23， 【解析】（1）'2
()369f x x x =-++ 令'2
()03690f x x x <-++<即 解得3x >或1x <-
再令'2
()03690f x x x >-++>即 解得13x -<<
所以该函数的单调递减区间为(,1)-∞-、(3,)+∞；单调递增区间为(1,3)- （2）令'
()0f x =，得到1x =-或3x =（舍）
由（1）知道该函数在[2,1]--上递减，在[1,2]-上递增， 那么，最小值为(1)54f d -=-=-，所以1d =
而
f(2)=-8+12+18+1=23f(-2)=8+12-18+1=3
所以函数f(x)的最大值为23， 21．（1）单调递减区间：]83
22
,8310[
k k x ++∈，)(Z k ∈ （2）2
3
)(max =x g 【解析】
试题分析：（1）由数量积公式得)3
4sin(34cos 234sin 23)(π
πππ-=-=
x x x x f 又由]22
3,
22
[
3
4
ππ
ππ
π
πk k x
++∈-
得，]8322,8310[k k x ++∈，)(Z k ∈也即函数的单调递减区间。

（2）由（1）得⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=
-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34cos 3ππx 又由]34,0[∈x 得，当0
=x
时2
3)(max =x g 。

试题解析：
（1）因为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x
x b ππ=,b a x f ⋅=)(所以 )3
4sin(34cos 234sin 23)(π
πππ-=-=
x x x x f ∴当
]22
3,
22[
34
ππ
ππ
π
πk k x
++∈-
时,)(x f 单调递减 解得:]83
22
,8310[k k x ++∈，)(Z k ∈时,)(x f 单调递减｡
（2）由（1）可知)3
4sin(3)(π
π-=x x f
∴⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=
-=34)2(sin 3)2()(ππx x f x g
⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=34cos 3342sin 3πππππx x
∵]3
4,0[∈x ∴
⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+
32,334
πππ
πx
∴]21,21[34cos -∈⎪⎭⎫
⎝⎛+ππx ∴0=x 时,2
3
)(max =
x g 考点：向量的数量积运算三角函数的单调性三角函数求最值
【答案】
解：（Ⅰ）因为π
72
()cos()4f αα=-=
， 所以
272(cos sin )210
αα+=， 所以 7
cos sin 5
αα+=. 平方得，2
2sin
2sin cos cos αααα++=
4925
， 所以 24
sin 225
α=
. ……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫
=⋅+
⎪⎝
⎭=ππcos()cos()44
x x -⋅+
=
22(cos sin )(cos sin )22
x x x x +⋅- =221
(cos sin )2x x - =1
cos 22
x . ……………10分
当ππ,63x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为
1
2
； 当π3x =时，()g x 的最小值为1
4
-. ……………13分。