2018版高中数学必修一学案：3-2-2 第1课时 对数函数的

3．2.2 对数函数
第1课时 对数函数的概念及性质
学习目标 1.理解对数函数的概念(重、难点)；2.掌握对数函数的性质及简单应用(重点)；3.掌握对数函数图象及简单的图象变换(重、难点)．
预习教材P81－85，完成下面问题： 知识点一 对数函数的概念
一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 【预习评价】
若对数log 3a (－2a ＋1)有意义，则a 的取值范围是________．
解析
根据题意可得⎩⎨⎧
－2a ＋1＞0，
3a ＞0，
3a ≠1，
解得0＜a ＜12，a ≠13.所以a 的取值范围是(0，13)∪(13，1
2)． 答案 (0，13)∪(13，1
2)
知识点二 对数函数的图象与性质
类似地，我们可以借助指数函数图象和性质得到对数函数图象和性质：
续表
根据函数f (x )＝log 2x 的图象和性质求解以下问题： (1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围； (2)求y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最值． 函数y ＝log 2x 的图象如图．
解 (1)因为y ＝log 2x 是增函数，若f (a )＞f (2)，即log 2a ＞log 22，则
a ＞2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x ≤14，∴3≤2x －1≤27， ∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227.
∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227. 知识点三 不同底的对数函数图象相对位置
一般地，对于底数a ＞1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0＜a ＜1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴．
【预习评价】
y ＝log 2x 与y ＝log 3x 同为(0，＋∞)上的单调增函数，都过点(1,0)，怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？
提示 因1＜2＜3，所以在(1，＋∞)内，y ＝log 3x 的图象更靠近x 轴，y ＝log 2x 比y ＝log 3x 更远一些.
题型一 对数函数的概念
【例1】 已知对数函数y ＝f (x )过点(4,2)，求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12及f (2lg 2)．
解 设y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)，则2＝log a 4，故a ＝2，即y ＝log 2x ，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝
log 2 1
2＝－1，f (2lg 2)＝log 22lg 2＝lg 2.
规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件： ①系数为1.
②底数为大于0且不等于1的常数． ③对数的真数仅有自变量x .
【训练1】 判断下列函数是不是对数函数？并说明理由． (1)y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)； (2)y ＝log 2x －1；
(3)y ＝log x a (x ＞0，且x ≠1，a 是常数)； (4)y ＝log 5x .
解 ∵(1)中真数不是自变量x ，∴不是对数函数； ∵(2)中对数式后减1，∴不是对数函数； ∵(3)中底数是自变量x ，而非常数a ， ∴不是对数函数． (4)为对数函数．
题型二 对数函数的定义域 【例2】 求下列函数的定义域： (1)y ＝log a (9－x 2)； (2)y ＝log 2(16－4x )．
解 (1)由9－x 2＞0，得－3＜x ＜3，
∴函数y ＝log a (9－x 2)的定义域是{x |－3＜x ＜3}．
(2)由16－4x ＞0，得4x ＜16＝42，由指数函数的单调性得x ＜2， ∴函数y ＝log 2(16－4x )的定义域为{x |x ＜2}．
规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式． 【训练2】 求下列函数的定义域： (1)y ＝log 7
1
1－3x
；(2)y ＝log 2x . 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
11－3x ＞0，1－3x ≠0，
得x ＜1
3；
∴所求函数定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＜13. (2)由⎩⎨⎧ x ＞0，log 2x ≥0，得⎩⎨⎧
x ＞0，
x ≥1；
∴x ≥1，∴所求函数定义域为{x |x ≥1}． 题型三 比较对数的大小
【例3】 比较下列各组数中两个值的大小： (1)log 23.4，log 28.5； (2)log 0.31.8；log 0.32.7；
(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0，且a ≠1)． 解 (1)考察对数函数y ＝log 2x ， 因为它的底数2＞1，
所以它在(0，＋∞)上是单调增函数， 又3.4＜8.5， 于是log 23.4＜log 28.5.
(2)考察对数函数y ＝log 0.3x ，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是单调减函数， 又1.8＜2.7，
于是log 0.31.8＞log 0.32.7.
(3)当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调增函数，又5.1＜5.9， 于是log a 5.1＜log a 5.9；
当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是单调减函数，
又5.1＜5.9， 于是log a 5.1＞log a 5.9.
综上，当a ＞1时，log a 5.1＜log a 5.9， 当0 ＜a ＜1时，log a 5.1＞log a 5.9.
规律方法 比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．
【训练3】 设a ＝log 3π，b ＝log 2 3，c ＝log 3 2，则a ，b ，c 的大小关系是________．
解析 ∵a ＝log 3π＞1，b ＝12log 23，则1
2＜b ＜1， c ＝12log 32＜1
2，∴a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c
【探究1】 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，3
5，1
10，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的a 值依次为________．
解析 在第一象限内各图象对应的对数函数的底数顺时针增大，∴c 4<c 3<c 2<c 1，故c 1，c 2，c 3，c 4各值依次为3，43，35，1
10. 答案
3，43，35，110
【探究2】 函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点的坐标为________．
解析令x＋2＝1，即x＝－1，
得y＝log a1＋1＝1，
故函数y＝log a(x＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．
答案(－1,1)
【探究3】作出下列函数的大致图象：
①y＝|log2x|；②y＝|log2(x－1)|；
③y＝|log2(1－x)|.
解①第一步：作函数y＝log2x的图象；
第二步：把函数y＝log2x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折，即得y＝|log2x|的图象(如图①)．
②第一步和第二步同①；
第三步：把y＝|log2x|的图象向右平移1个单位长度即得y＝|log2(x－1)|的图象(如图②)．
③第一步：作函数y＝log2x的图象；
第二步：把函数y＝log2x的图象沿y轴翻折，
得y＝log2(－x)的图象；
第三步：把y＝log2(－x)的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝log2(1－x)的图象；
第四步：把y＝log2(1－x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折，即得y＝|log2(1－x)|的图象(如图③)．
规律方法(1)无论a取何值，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象均过点(1,0)，图象落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝log a x(a＞1，且a≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0＜a＜1时函数单调递减，当a＞1时函数单调递增．
(1)两个函数图象的对称性
①
②
＝－f (x
课堂达标
1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f [f (1
4)]＝________.
解析 ∵14>0，∴f (14)＝log 21
4＝－2， ∴f [f (14)]＝f (－2)＝3－2＝19. 答案 19 2．函数f (x )＝
1
1－x
＋lg(3x ＋1)的定义域是________． 解析 由⎩⎨⎧
1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1. 答案 (－1
3，1)
3．若函数y ＝lg(x 2＋mx ＋1)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________． 解析 由题意得x 2＋mx ＋1＞0恒成立，所以Δ＝m 2－4＜0，解得－2＜m ＜2. 答案 (－2,2)
4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点坐标为________． 解析 函数图象过定点，则与a 取值无关，故log a (x －1)＝0， ∴x －1＝1，x ＝2，y ＝1，所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 答案 (2,1)
5．求函数f (x )＝log (2x －4)(10－2x )的定义域．
解
由已知，得⎩⎨⎧
10－2x >0，
2x －4>0，
2x －4≠1，
解得2<x <52或5
2<x <5，
∴函数f (x )的定义域为(2，52)∪(5
2，5)．
课堂小结
1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这种形式．
2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．
3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.。