新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习课时规范练42椭圆北师大版

课时规范练42　椭圆
基础巩固组
1.(2021山东济南十一校联考)“2<m<6”是“方程x 2m -2+y 26-m
=1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2021福建厦门集美中学月考)已知点M (3,√15)是椭圆x 2a 2+y 2b
2=1(a>b>0)上的一点,椭圆的长轴长是焦距的32
倍,则该椭圆的方程为( )A.x 225+y 220
=1 B.x 227+2y 2
45=1C.x 218+y 210=1 D.x 236+y 220=13.已知F 1,F 2分别为椭圆E :y 2a 2+x 2b 2
=1(a>b>0)的两个焦点,点P 是椭圆E 上的点,PF 1⊥PF 2,且sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2,则椭圆E 的离心率为( )
A.√102
B.√104
C.√52
D.√5
4
4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24
=1的两个焦点,点M 在椭圆C 上,则|MF 1||MF 2|的最大值为( )
A.13
B.12
C.9
D.6
5.关于椭圆3x 2+4y 2=12有以下结论,其中正确的是( )
A.离心率为15
B.长轴长是2√
3C.焦点在y 轴上
D.焦点坐标为(-1,0),(1,0)
6.椭圆E 的焦点在x 轴上,其短轴的两个端点和两个焦点恰为边长为2的正方形的顶点,则( )
A.椭圆E 的长轴长为4√2
B.椭圆E 的焦点坐标为(-2,0),(2,0)
C.椭圆E 的离心率为1
2
D.椭圆E 的标准方程为x 24+y 22
=17.若圆C 以椭圆x 216+y 2
12
=1的右焦点为圆心,长半轴长为半径,则圆C 的方程为 . 8.(2021湖南浏阳一中模拟)椭圆x 29+y 23=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的 倍.
综合提升组
9.(2021江西南昌三中月考)已知椭圆x 2a 2+y 2b
2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,|F 1F 2|=√10,点P 是y 轴正半轴上一点,线段PF 1交椭圆于点A ,若AF 2⊥PF 1,且△APF 2的内切圆半径为√22,则椭圆的离心率是
( )A.√54 B.√510 C.√53 D.√15
4
10.
如图所示,某月球探测器飞行到月球附近时,首先在以月球球心F 为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行,然后在点P 处变轨进入以点F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行,最后在点Q 处变轨进入以点F 为
圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,设圆形轨道Ⅰ的半径为R,圆形轨道Ⅲ的半径为r,则以下说法正确的是(　)
A.椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为2R
B.椭圆轨道Ⅱ的焦距为R-r
C.若r不变,则R越大,椭圆轨道Ⅱ的短轴越短
D.若R不变,则r越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越小
11.已知点P是椭圆x2
49+
y2
45
=1上一动点,点M,点N分别是圆(x+2)2+y2=1
16
与圆(x-2)2+y2=
1
16
上的动点,则( )
A.|PM|+|PN|的最小值为27
2
B.|PM|+|PN|的最小值为25
2
C.|PM|+|PN|的最大值为25
2
D.|PM|+|PN|的最大值为27
2
创新应用组
12.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上任意两条互相垂直的切线的交
点,必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为椭圆的“蒙日圆”.若椭圆C:x 2
4+
y2
m
=1(m>0,m≠4)的离心
率为√3
2
,则椭圆C的“蒙日圆”方程为( )
A.x2+y2=5或x2+y2=7
B.x2+y2=7或x2+y2=20
C.x2+y2=5或x2+y2=20
D.x2+y2=7或x2+y2=28
13.(2021河北保定三中月考)椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的右焦点为F (
c ,0),已知定点M (14a 29c
,0),若椭圆C 上存在点N ,使得△FMN 为等腰钝角三角形,则椭圆C 的离心率的取值范围是　.
课时规范练42　椭圆
1.B 解析:若方程x 2m -2+y 2
6-m =1为椭圆方程,
则{m -2>0,6-m >0,m -2≠6-m ,
解得2<m<6且m ≠4,
故“2<m<6”是“方程x 2m -2+y 2
6-m =1表示椭圆方程”的必要不充分条件.
故选B .
2.D 解析:由题意{a 2=b 2+c 2,
a =3
2c ,9a 2+15b 2=1,
解得{a =6,
b =2√5,
所以椭圆方程为x 236+y 2
20=1.
故选D .
3.B 解析:因为F 1,F 2分别为椭圆E :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0)的两个焦点,点P 是椭圆E 上的
点,PF 1⊥PF 2,且sin∠PF 2F 1=3sin∠PF 1F 2,所以由正弦定理可得|PF 1|=3|PF 2|,
且|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,
所以5
2a 2=4c 2,
所以椭圆的离心率e=c a =√524=√104
.故选B .
4.C 解析:由题意知|MF 1|+|MF 2|=2a=6,
则√|M F 1||M F 2|❑≤|M F 1|+|M F 2|2
=3,则|MF 1||MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立,故|MF 1||MF 2|的最大值为9.故选C .
5.D 解析:将椭圆方程化为标准方程为x 24+y 23
=1.该椭圆的焦点在x 轴上,故C 错误;
焦点坐标为(-1,0),(1,0),故D 正确;
a=2,长轴长是4,故B 错误;
离心率e=c a =12
,故A 错误.故选D .
6.D 解析:设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2
=1(a>b>0).由题可知b=c=√2,所以a 2=b 2+c 2=4,所以a=2,所以椭圆E 的长轴长2a=4,焦点坐标为(-√2,0),(√
2,0),离心率为√22,标准方程为x 24+y 22
=1.故选D .7.(x-2)2+y 2=16　解析:由椭圆方程可知a 2=16,b 2=12,则c 2=4,所以椭圆右焦点为(2,0),长半轴长为4.
由题可知,圆C 以(2,0)为圆心,4为半径,
所以圆的方程为(x-2)2+y 2=16.
8.5　解析:由题可知a=3,c=√6,PF 2⊥x 轴.
当x=√6时,69+y 23
=1,解得y=±1,所以|PF 2|=1,
所以|PF1|=2×3-|PF2|=6-1=5,
所以|PF1|是|PF2|的5倍.
9.C　解析:由题可知2c=√10,所以c=√10
2
.
因为直角三角形APF2的内切圆半径为√2 2
,
所以|AP|+|AF2|-|PF2|=2×√2
2
=√2.
又由椭圆的对称性可知|PF2|=|PF1|,
所以|AP|+|AF2|-|PF2|=√2=|AP|+|AF2|-|PF1|=|AF2|-|AF1|.在直角三角形AF1F2中,由{|A F2|-|A F1|=√2,
|A F1|2+|A F2|2=|F1F2|2=10,
解得{|A F1|=2-√2,
|A F2|=√2,所以|PF1|+|PF2|=3
√2,
即2a=3√2,a=3√2
2
,
所以椭圆的离心率e=c
a √10
3√2
2
√5
3
.
故选C.
10.B　解析:设椭圆轨道Ⅱ的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,
依题意得{a+c=R,
a-c=r,解得a=
R+r
2
,c=R-r
2
.
椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离的最大值为2a=R+r,故A错误;
椭圆轨道Ⅱ的焦距为2c=R-r,故B正确;
椭圆轨道Ⅱ的短轴长2b=2√a2-c2=2√Rr,若r不变,R越大,则2b越大,椭圆轨道Ⅱ的短轴越长,故C 错误;
椭圆轨道Ⅱ的离心率e=c
a =
R-r
R+r
=1-2r
R+r
=1-
2
R
r
+1
,若R不变,r越小,则e越大,故D错误.
故选B.
11.A　解析:由题可知,圆(x+2)2+y2=1
16与圆(x-2)2+y2=1
16
的圆心分别为A(-2,0),B(2,0),
且A,B是椭圆x 2
49+
y2
45
=1的两个焦点,两圆的半径均为1
4
,
所以|PM|+|PN|的最大值为|PA|+|PB|+2×1
4=2a+1
2
=2×√49+1
2
=
29
2
,|PM|+|PN|的最小值为|
PA|+|PB|-2×1
4=2a-1
2
=2×√49−1
2
=
27
2
.
故选A.
12.C　解析:若m>4,√m-4
√=
√3
2
,即m=16,所以C:x2
4
+
y2
16
=1.
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,
不妨取两点(2,0),(0,4),则两条切线为x=2和y=4,所以两条切线的交点为(2,4),所以点(2,4)在蒙日圆上,所以半径为√22+42=√20,所以蒙日圆为x2+y2=20.
若0<m<4,则√4-m
2
=
√3
2
,即m=1,所以C:x2
4
+y2=1.
因为椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,不妨取两点(2,0),(0,1),则两条切线为x=2和y=1,所以两条切线的交点为(2,1),所以点(2,1)在蒙日圆上,所以半径为√22+12=√5,所以蒙日圆为x2+y2=5.
综上,椭圆C的“蒙日圆”方程为x2+y2=5或x2+y2=20.
故选C.
13.(23,1)　解析:因为|OM|-|OF|=14a29c-c=14a2-9c2
9c =
5a2+9b2
9c
,且a,b,c均为正数,所以|
OM|-|OF|>0,所以M在F点右侧.又14a2
9c -a=14a2-9ac
9c
=
a(14a-9c)
9c
>0,所以M在椭圆外部,
所以∠NMF不可能为钝角.
若∠FNM为钝角,设MF的中点为E,N的横坐标为x0,则c≤x0≤a,
应有NE垂直平分FM,即x0=|OE|.因为|OE|=|OF|+1
2
|FM|=c+1
2
(14a2
9c
-c)=12(14a29c+c),而
1 2(14a2
9c
+c)-a=14a2+9c2-18ac
18c
=
5a2+9(c-a)2
18c
>0,
所以∠FNM不可能为钝角.
故∠NFM为钝角,且|FM|=|FN|,此时|FM|=14a 2
9c
-c,|FN|∈(c,a+c).
当NF垂直x轴时,N(c,y0),所以c2
a2
+
y02
b2
=1,解得|y0|=
b2
a
,所以
b2
a
<
14a2
9c
-c<a+c,所以
{18e2+9e-14>0, 9e3-9e2-9e+14>0,
0<e<1,
解得2
3
<e<1.。