2016高考数学二轮复习 专题7 概率与统计、推理与证明、算法初步、框图、复数 第三讲 统计、统计案

思路点拨：本题第(1)问，由给出的^b与^a公式求出b^与^a，从而求 出回归直线方程；对第(2)问，由第(1)问求出的回归直线方程进行预 测，令 t＝9，可得 y 的近似值．
解 析 ： (1) 由 题 意 知 ， －t ＝ 4 ， －y ＝ 4.3 ， 所 以 ^b ＝ 3×1.4＋92＋＋40＋.71＋＋00＋＋01.5＋＋41＋.89＋3×1.6＝0.5，
＋(182－170)2]＝57.2.
(3)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A. 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同学有：(181， 173)(181，176)(181，178)(181，179)(179，173)(179，176)(179，178)(178， 173)(178，176)(176，173)共 10 个基本事件，而事件 A 含有 4 个基本 事件，∴P(A)＝140＝25.
女
124
总计
225
45
146
20
144
65
290
利用 2×2 列联表的独立性检验判断是否喜欢饮酒与性别有无关 系．
解析：由列联表中数据得： K2(χ2)＝290×1（461×011×442×0－22152×4×6545）2≈11.95＞6.635， 所以我们有 99%的把握认为“是否喜欢饮酒与性别有关”．
(2)x ＝ (158 ＋ 162 ＋ 163 ＋ 168 ＋ 168 ＋ 170 ＋ 171 ＋ 179 ＋ 179 ＋
182)÷10＝170.
甲班的样本方差为：
1 10
×
[(158
－
170)2
＋
(162
－
170)2
＋
(163
－
170)2
＋
(168
－
170)2
＋
(168 － 170)2 ＋ (170－ 170)2＋ (171－ 170)2 ＋ (179－ 170)2＋ (179 － 170)2
随堂讲义
专题七 概率与统计、推理与证明、算法初步、 框图、复数
第三讲 统计、统计案例
从近三年高考试题的统计分析来看，抽样方法， 频率分布直方图、茎叶图、样本的数字特征等多以选择 题、填空题的形式考查，一般为容易题．回归分析与独 立性检验是高考的新趋势．
预测2016年高考中，本讲内容仍为考查的热点之一， 有关统计与概率、统计案例的解答题要引起足够的重 视．
例 4 (2014·新课标Ⅱ卷)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家
庭纯收入 y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 t
1234567
人均纯收入 y
2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求 y 关于 t 的线性回归方程； (2)利用(1)中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居 民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭 人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
解析：由算法流程图知： S＝G1·F1＋G2·F2＋G3·F3＋G4·F4＋G5·F5
＝4.5×0.12＋5.5×0.2＋6.5×0.4＋7.5×0.2＋8.5×0.08＝6.42. 答案：6.42
(1)解决该类问题时应正确理解图表中各个量的意义，从图表中 掌握信息是解决该类问题的关键．
(2)本题中 S 实际上是样本的近似平均数．我们可以根据频率分 布表或频率分布直方图来大致求出样本的平均数，具体做法是，用频 率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之 和．
解析：应从一年级抽取 300×4＋5＋4 5＋6＝60 名．
例 2 某地区为了解 70～80 岁老人的日平均睡眠时间(单位：h)， 随机选择了 50 位老人进行调查，下表是这 50 位老人日睡眠时间的频 率分布表．
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的 S 的值是________．
D．12
思路点拨：本题可以先根据概率求出二年级女生人数，然后算出 三年级的总人数，最后算出在三年级抽取的人数．
解析：由2 0x00＝0.19，得 x＝380， ∴y＋z＝2 000－373－377－380－370＝500， ∴三年级抽取的人数为2 60400×500＝16. 答案：C
(1)解决此类题目首先要深刻理解各种抽样方法的特点和适用范 围，如分层抽样，适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体．
(1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表； (2)判断休闲方式与性别是否有关系．
解析：(1)2×2 列联表如下：
(2) 解 法 一 假 设 “ 休 闲 方 式 与 性 别 无 关 ” ， 计 算 K2 ＝ 124×7（0×435×4×336－4×276×0 21）2≈6.201，
因为 k≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是 不合理的，即有 97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．
2．某企业 3 个分厂同时生产同一种电子产品，第一、二、三分 厂的产量之比为 1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层) 从 3 个分厂生产的电子产品中共取 100 件作使用寿命的测试，由所得 的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值 分别为 980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的 100 件产品的使用寿命的 平均值为 1_013h.
(1)本题考查了茎叶图的识图问题和平均数的计算，其中从茎叶 图中读出数据是关键，为此，首先要弄清“茎”和“叶”分别代表什 么．
(2)要熟练掌握众数、中位数、平均数、方差、标准差的计算方 法．
3．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段
时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续 10 天，每天新增疑似
(1)独立性检验的关键是准确地计算 K2(χ2)，在计算时，要充分 利用 2×2 列联表．
(2)学习相关和无关的判定一定要结合实际问题，从现实中寻找 例子，从而增强学习数学的兴趣．
5．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了 124 人，其中 女性 70 人，男性 54 人．女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视， 另外 27 人主要的休闲方式是运动；男性中有 21 人主要的休闲方式是 看电视，另外 33 人主要的休闲方式是运动．
病例不超过 7 人”．根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病
例数据，一定符合该标志的是
(D)
A．甲地：总体均值为 3，中位数为 4
B．乙地：总体均值为 1，总体方差大于 0
C．丙地：中位数为 2，众数为 3
D．丁地：总体均值为 2，总体方差为 3
解析：根据信息可知，连续 10 天内，每天新增疑似病例不能有 超过 7 的数，选项 A 中，中位数为 4，可能存在大于 7 的数；同理， 在选项 C 中也有可能；选项 B 中的总体方差大于 0，叙述不明确， 如果数目太大，也有可能存在大于 7 的数；选项 D 中，根据方差公 式，如果有大于 7 的数存在，那么方差不会为 3.故选 D.
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的 同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率．
解析：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于 160～179 cm 之间，
而乙班身高集中于 170～180 cm 之间．因此乙班平均身高高于甲班．
(2)系统抽样中编号的抽取和分层抽样中各层人数的确定是高考 重点考查的内容．
1．(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践 活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽 取一个容量为 300 的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年 级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生 中抽取 60 名学生．
解法二 由 χ2＝124×7（0×435×4×336－4×276×0 21）2≈6.201.
因为 6.201＞3.841，所以有 95%的把握认为“休闲方式与性别有 关”．
1．三种简单随机抽样方法要注意记清它们的区别，避免混淆； 2．频率分布直方图或频率分布表中信息要能正确理解，注意区 别直方图与条形图； 3．对样本总体的估计注意用好几个特殊数：方差、标准差、众 数、中位数、平均数等．
两变量的回归直线方程为
(A)
A.^y＝0.56x＋997.4
B.^y＝0.63x－231.2
C.^y＝50.2x＋501.4
D.^y＝60.4x＋400.7
解析：解法一
n
b＝∑i＝1xniyi－n ∑i＝1x2i －n
－x －y －x 2 ＝0.56，
a＝－y －b－x ＝997.4.
∴^y＝0.56x＋997.4.
例 1 某校共有学生 2 000 名，各年级男、女生人数如下表所
示．已知在全校学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19.
现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学
生人数为( )
一年 二年 三年
级
级
级
女生 373
x
y
男生 377C．16
所以^a＝－y －^b－t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所以线性回归方程为^y＝ 0.5t＋2.3.
(2)由(1)中的线性回归方程可知，b＞0，所以在 2007 至 2013 年 该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增中，平均每年增加 0.5 千元．
令 t＝9 得：^y＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区在 2015 年农村 居民家庭人均纯收入为 6.8 千元．
解析：根据分层抽样原理，第一、二、三分厂抽取的产品数量分
别 为 25 ， 50 ， 25 ， 所 以 所 求 100 件 产 品 的 平 均 寿 命 为
980×25＋1
020×50＋1 100
032×25＝1
013(h)．
例 3 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学，测量他们的身高 (单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如下图所示．
(1)正确作出散点图，由散点图可知两个变量是否具有线性相关 关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量 的值．
(2)正确记忆求 b，a 的公式和准确地计算，是解题的保证．
4．两个相关变量满足下列关系： x 10 15 20 25 30
y 1 003 1 005 1 010 1 011 1 014
解法二 线性回归方程必过点(x，y)，
x＝10＋15＋250＋25＋30＝20，
y＝1
003＋1
005＋1
010＋1 5
011＋1
014＝1
008.6.
经过验证选 A.
例 5 为考察是否喜欢饮酒与性别之间的关系，在某地区随机抽 取 290 人，得到如下 2×2 列联表：
喜欢饮酒
不喜欢饮酒
总计
男
101