创新方案2017届高考数学一轮温习坐标系与参数方程第二节参数方程课后作业理选修4_4

【创新方案】2021届高考数学一轮温习 坐标系与参数方程 第二节 参数方程课后
作业 理 选修4-4
1．(2021 ·湖南高考)直线l ：⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5＋3
2
t ，y ＝3＋1
2
t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
成立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．
2．曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋t ，y ＝2－2t
(t 为参数)．
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的一般方程；
(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．
3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．圆C 的极坐标方程为ρ2
－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2＋2
2
t y ＝－4＋2
2
t (t 为参数)．
(1)写出圆C 的直角坐标方程；
(2)假设点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．
4．(2021·南昌模拟)以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴成立极坐标系，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝2cos t ，
y ＝2sin t
(t 为参数)．
(1)假设曲线C 在点(1,1)处的切线为l ，求l 的极坐标方程；
(2)假设点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，且当参数t ∈[0，π]时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围．
5．(2021·郑州模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，直线l 与圆C 交于A ，B 两
点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．
(1)求圆心的极坐标； (2)求△PAB 面积的最大值．
6．(2021·江西联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－2
2
t ，y ＝5＋2
2t (t 为参数)．在以原
点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.
(1)写出直线l 的一般方程和圆C 的直角坐标方程；
(2)假设点P 的坐标为(3，5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 答 案
1．解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2
＝2ρcos θ.
将ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρcos θ＝x 代入ρ2
＝2ρcos θ得曲线C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0. (2)将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝5＋3
2t ，y ＝3＋1
2
t (t 为参数)代入x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2
＋53tt 1，t 2，那么由参数t 的几何意义知，
|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.
2．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)．
直线l 的一般方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|. 那么|PA |＝
d
sin 30°＝255
|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝4
3
.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为225
5.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为25
5
.
3．解：(1)由⎩⎪⎨
⎪
⎧
ρ2
＝x 2
＋y 2
ρcos θ＝x
得，x 2＋y 2
－8x ＋12＝0，
因此圆C 的直角坐标方程为(x －4)2
＋y 2
＝4. (2)直线l 的一般方程为x －y －2＝0.
设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，那么当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |
2＝2，
解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，
因此直线l 与直线l ′的距离为d ＝|－22－4－－2|
2＝2＋2，即点P 到直线l 距离的最大值为2＋ 2.
4．解：(1)∵⎩⎨
⎧
x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，
∴x 2＋y 2
＝2，点(1,1)在圆上，故切线方程为x ＋y ＝2，∴ρsin θ＋ρcos θ＝2，l 的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
θ＋π4
＝ 2. (2)
点A 的直角坐标为(2,2)，设m ：y ＝k (x －2)＋2，m 与半圆x 2＋y 2
＝2(y ≥0)相切时|2k －2|1＋k 2
＝2， ∴k 2
－4k ＋1＝0，∴k ＝2－3或k ＝2＋3(舍去)． 设点B (－2，0)，那么k AB ＝2－0
2＋2
＝2－2，
由图可知直线m 的斜率的取值范围为(2－3，2－2]．
5．解：(1)圆C 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2
＋(y ＋1)2
＝2. 因此圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4. (2)直线l 的一般方程为22x －y －1＝0， 圆心到直线l 的距离d ＝|22＋1－1|3＝22
3，
因此|AB |＝2
2－89＝210
3
，
点P 到直线AB 距离的最大值为2＋
223＝52
3
， 故最大面积S max ＝12×2103×523＝105
9.
6．解：(1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－22
t ，y ＝5＋2
2
t ，得直线l 的一般方程为x ＋y －3－5＝0，
又由ρ＝25sin θ得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2
＝5.
(2)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－
22t 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫22t 2＝5，即t 2
－32t ＋4＝0， 由于Δ＝(32)2
－4×4＝2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两个实数根， 因此⎩⎨
⎧
t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4，
又直线l 过点P (3，5)，A ，B 两点对应的参数别离为t 1，t 2，
因此|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.。