广西钦州市钦州港中学2016-2017学年高二(下)3月月考数学试卷(理科)

2016-2017学年广西钦州市钦州港中学高二（下）3月月考数学试卷（理
科）
一、选择题
1．函数f（x）=ax（x﹣2）2（a≠0）有极大值，则a等于（）
A．1 B．C．2 D．3
2．曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为（）
A．（0，0）B．（2，4）C．（，） D．（，）
3．已知函数f（x）=ax﹣x4，x∈，A、B是图象上不同的两点，若直线AB的斜率k 总满足≤k≤4，则实数a的值是（）
A．B．C．5 D．1
4．已知函数f（x）=sinx+lnx，则f′（1）的值为（）
A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1
5．满足f （x ）=f′（x ）的函数是（）
A．f （x ）=1﹣x B．f （x ）=x C．f （x ）=0 D．f （x ）=1
6．函数y=x cos x﹣sin x的导数为（）
A．x sin x B．﹣x sin x C．x cos x D．﹣xcos x
7．设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n
（x）=f n′（x），n∈
+1
N，则f2005（x）=（）
A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx
8．设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．
9．设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x ∈R|g（x）＜2}，则M∩N为（）
A．（1，+∞） B．（0，1）C．（﹣1，1） D．（﹣∞，1）
10．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面
积最大时，其上底长为（）
A．B．r C．r D．r
11．设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）
A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜
12．曲线y=cosx（0≤x≤）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A．4 B．2 C．D．3
二、填空题
13．由曲线，y=e x，直线x=1所围成的区域的面积为．
14．求由抛物线y2=8x（y＞0）与直线x+y﹣6=0及y=0所围成图形的面积．
15．若x2dx=9，则常数T的值为．
16．函数y=x2﹣1与x轴围成的面积是
三、解答题
17．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，证明：（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．
18．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m ＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
19．已知函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值，且在点（1，f（1））处的切线
的斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
20．已知函数f（x）=x3﹣bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2 对称．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）无极值，求c的取值范围．
21．计算椭圆+=1所围成的平面图形的面积A．
22．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
2016-2017学年广西钦州市钦州港中学高二（下）3月月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．函数f（x）=ax（x﹣2）2（a≠0）有极大值，则a等于（）
A．1 B．C．2 D．3
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】利用导数分a＞0，a＜0两种情况求得f（x）的极大值，使其等于，解此方程即可求得a值．
【解答】解：f′（x）=a（x﹣2）（3x﹣2），
（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜或x＞2；由f′（x）＜0得＜x＜2，
所以f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递增，在（，2）上单调递减；
此时，当x=时f（x）取得极大值f（）=a（﹣2）2=，解得a=；
（2）当a＜0时，由f′（x）＜0得x＜或x＞2；由f′（x）＞0得＜x＜2，
所以f（x）在（﹣∞，），（2，+∞）上单调递减，在（，2）上单调递增；
此时，当x=2时f（x）取得极大值f（2）=2a（2﹣2）2=，无解；
综上所述，所求a值为．
故选B．
2．曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为（）
A．（0，0）B．（2，4）C．（，） D．（，）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在P点处的导数，由导数值等于1求得P的横
坐标，则答案可求．
【解答】解：∵y=x2，∴y′=2x，
设P（x0，y0），则，
又曲线y=x2上的点P处的切线的倾斜角为，
∴2x0=1，．
∴．
∴点P的坐标为（，）．
故选：D．
3．已知函数f（x）=ax﹣x4，x∈，A、B是图象上不同的两点，若直线AB的斜率k 总满足≤k≤4，则实数a的值是（）
A．B．C．5 D．1
【考点】直线的斜率．
【分析】先对函数f（x）求导，然后根据≤a﹣4x3≤4在x∈上恒成立可得答案．【解答】解：∵f（x）=ax﹣x4，∴f′（x）=a﹣4x3，x∈，
由题意得≤a﹣4x3≤4，即4x3+≤a≤4x3+4在x∈上恒成立，求得≤a≤，
则实数a的值是．
故选：A
4．已知函数f（x）=sinx+lnx，则f′（1）的值为（）
A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1
【考点】导数的加法与减法法则．
【分析】求函数在某点处的导数值，先求导函数
【解答】解：因为f′（x）=cosx+，则f′（1）=cos1+1．
故选B．
5．满足f （x ）=f′（x ）的函数是（）
A．f （x ）=1﹣x B．f （x ）=x C．f （x ）=0 D．f （x ）=1
【考点】导数的运算．
【分析】f （x ）=0时，满足 f （x ）=f′（x ），即可得出结论．
【解答】解：f （x ）=0时，满足 f （x ）=f′（x ），
故选C．
6．函数y=x cos x﹣sin x的导数为（）
A．x sin x B．﹣x sin x C．x cos x D．﹣xcos x
【考点】导数的运算．
【分析】根据导数的运算法则计算即可．
【解答】解：函数y=x cos x﹣sin x的导数为y′=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，
故选：B
7．设f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），…，f n
（x）=f n′（x），n∈
+1
N，则f2005（x）=（）
A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx
【考点】归纳推理．
【分析】通过计算前几项，进行归纳分析，当计算到f4（x）时发现f4（x）=f0（x）出现了循环，所以可看成以4为一个循环周期，那么f2005（x）=f1（x）=cosx．
【解答】解：f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x）=cosx，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，
f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，循环了
则f2005（x）=f1（x）=cosx，
故选C．
8．设a∈R，若函数y=e x+ax，x∈R，有大于零的极值点，则（）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】先对函数进行求导令导函数等于0，原函数有大于0的极值故导函数等于0有
大于0的根，然后转化为两个函数观察交点，确定a的范围．
【解答】解：∵y=e x+ax，
∴y'=e x+a．
由题意知e x+a=0有大于0的实根，令y1=e x，y2=﹣a，则两曲线交点在第一象限，
结合图象易得﹣a＞1⇒a＜﹣1，
故选A．
9．设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x ∈R|g（x）＜2}，则M∩N为（）
A．（1，+∞） B．（0，1）C．（﹣1，1） D．（﹣∞，1）
【考点】交集及其运算；二次函数的性质．
【分析】由f（x）与g（x）解析式，根据M与N中的不等式分别求出x的范围，确定出M与N，找出两集合的交集即可．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，
∴M={x|g（x）＞3或g（x）＜1}={x|3x﹣2＞3或3x﹣2＜1}={x|x＞log35或x＜1}，N={x|3x﹣2＜2}={x|3x＜4}={x|x＜log34}，
∴M∩N={x|x＞log35或x＜1}∩{x|x＜log34}={x|x＜1}．
故选：D．
10．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其上底长为（）
A．B．r C．r D．r
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；扇形面积公式．
【分析】假设梯形的上底长，将高用上底表示，从而表示出面积，利用导数求函数的最值．
【解答】解：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，
∵h=，
∴S=（r+x）•，
S′=，
令S′=0，得x=，（x=﹣r舍），
则h=r．
当x∈（0，）时，S′＞0；当x∈（，r）时，S′＜0．
∴当x=时，S取极大值．
∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大．
故选：D
11．设a=dx，b=dx，c=dx，则下列关系式成立的是（）
A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜
【考点】定积分；不等关系与不等式．
【分析】利用微积分基本定理就看得出a=ln2，b=ln3，c=ln5．再利用幂函数的单调性即可得出答案．
【解答】解：∵，∴=ln2，=ln3，c==ln5．∵，，，∴，∴，∴，∴；∵，，，∴，∴，∴．∴．
故选C．
12．曲线y=cosx（0≤x≤）与x轴以及直线x=所围图形的面积为（）A．4 B．2 C．D．3
【考点】余弦函数的图象．
【分析】根据所围成图形用定积分可求得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积，然后根据定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：由定积分定义及余弦函数的对称性，
可得曲线y=cosx以及直线x=所围图形部分的面积为：
S=3∫cosxdx=3sinx|=3sin﹣3sin0=3，
所以围成的封闭图形的面积是3．
故选：D．
二、填空题
13．由曲线，y=e x，直线x=1所围成的区域的面积为e﹣ln2﹣1．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=e x﹣
在区间上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
【解答】解：∵曲线，y=e x，直线x=1交点为（0，1）、（1，e）和（1，）∴曲线，y=e x，直线x=1所围图形的面积为
S==
=﹣=e﹣ln2﹣1
故答案为：e﹣ln2﹣1
14．求由抛物线y2=8x（y＞0）与直线x+y﹣6=0及y=0所围成图形的面积．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】根据定积分的定义结合图象可得，，然后利用定积分的定义进行计算．
【解答】解：设所求图形面积为S，
=
==
15．若x2dx=9，则常数T的值为3．
【考点】定积分．
【分析】利用微积分基本定理即可求得．
【解答】解：==9，解得T=3，
故答案为：3．
16．函数y=x2﹣1与x轴围成的面积是
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】联立y=x2﹣1与y=0求出函数与x轴的交点，在区间（﹣1，1）利用定积分求出围成的面积即可．
【解答】解：令y=0得到x=1或x=﹣1
则函数与x轴围成的面积=∫
﹣11（0﹣x2+1）dx=（+x）|
﹣1
1=
故答案为
三、解答题
17．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，证明：（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；
（II）利用（I）可得：f（x）≥0，即x+lnx﹣x2≤0，分当0＜x≤1时，x2lnx﹣f（x）≤0，所以（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0，
当x＞1时，，令φ（x）=lnx+﹣1，利用其导数可得φ（x）＞0，即可得出（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））＞0．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=
令g（x）=2ax2﹣x﹣1，x∈（0，+∞）
（1）当a≤0时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；（2）当a＞0时，方程2ax2﹣x﹣1=0有两根，
且x1＞0，x2＜0，此时当）时，f'（x）＜0，
当时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，）为减函数，在（）为增函数；
所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（），递减区间为（0，）．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，x2lnx﹣f（x）=x2lnx+x+lnx﹣x2，
由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，
所以f（1）=0为f（x）的最小值，即f（x）≥0，所以x+lnx﹣x2≤0，
故当0＜x≤1时，x2lnx﹣f（x）≤0，所以（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0，
当x＞1时，，
令φ（x）=lnx+﹣1，则
φ'（x）=﹣，所以φ（x）在（1，+∞）为增函数，可得出φ（x）＞0，
又因lnx＞0，x2＞0，所以，
故当x＞1时，（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））＞0，
综上所述，当a=1时，（x﹣1）（x2lnx﹣f（x））≥0．
18．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m ＜0．
（Ⅰ）求m与n的关系表达式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；
（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m （x﹣1）＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）
当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：
x（﹣∞，
1+（1+，1）1（1，+∞）
1+）
f′（x）＜00＞00＜0
f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减
由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）＞3m，
∵m＜0．∴（x﹣1）＜1．（*）
10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．
∴m＜0．
20x≠1时∵x∈，∴﹣2≤x﹣1＜0．
（*）式化为＜（x﹣1）﹣．
令t=x﹣1，则t∈﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．
由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．
综上10、20知﹣＜m＜0．
19．已知函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值，且在点（1，f（1））处的切线的斜率为2．
（Ⅰ）求a，b的值：
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（I）根据已知中函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值，且在点（1，f
（1）处的切线的斜率为2．我们易得f'（﹣1）=0，f'（1）=2，由此构造关于a，b的方程，解方程即可得到答案．
（II）根据（I）的结论我们易化简关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0，构造函数g （x）=分析函数的单调性后，我们可将关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在上恰有两个不相等的实数根，转化为不等式问题，解关于m的不等式组，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：（I）∵函数f（x）=ax3+bx2+2x在x=﹣1处取得极值，
∴f'（﹣1）=3a﹣2b+2=0
又∵在点（1，f（1）处的切线的斜率为2．
f'（1）=3a+2b+2=2
解得a=﹣，b=
0在（1，2）内有根．
（II）由（I）得方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0可化为：
令g（x）=
则g'（x）=2x2﹣3x+1
∵当x∈时，g'（x）≤0，当x∈时，g'（x）≥0，
故g（x）=在上单调递减，在上单调递增，
若关于x的方程f（x）+x3﹣2x2﹣x+m=0在上恰有两个不相等的实数根，
则
解得：
20．已知函数f（x）=x3﹣bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2 对称．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）无极值，求c的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】（I）f′（x）=3x2﹣2bx+2c，由于导函数f′（x）的图象关于直线x=2 对称，利用二次函数的对称性可得=2，解得b即可．
（II）由（I）可知：f′（x）=3x2﹣12x+2c=3（x﹣2）2+2c﹣12，当2c﹣12≥0，f′（x）≥0，此时函数f（x）无极值，解出即可．
【解答】解：（I）f′（x）=3x2﹣2bx+2c，
∵导函数f′（x）的图象关于直线x=2 对称，
∴=2，解得b=6．
（II）由（I）可知：f（x）=x3﹣6x2+2cx，
f′（x）=3x2﹣12x+2c=3（x﹣2）2+2c﹣12，
当2c﹣12≥0，即c≥6时，f′（x）≥0，此时函数f（x）无极值．
21．计算椭圆+=1所围成的平面图形的面积A．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】因为椭圆+=1关于x轴和y轴都是对称的，所以所求之面积为s=4dx，利用换元法，即可得出结论．
【解答】解：因为椭圆+=1关于x轴和y轴都是对称的，
所以所求之面积为s=4dx
令x=asinθ．（0≤θ≤）
则s=4•a•cosθ•a•cosθdθ=4ab（cosθ）2dθ=4ab dθ
=2ab=2ab•=πab．
22．设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
【考点】定积分在求面积中的应用；导数的运算．
【分析】（1）根据导函数的解析式设出原函数的解析式，根据有两个相等的实根可得答案．
（2）根据定积分的定义可得答案．
【解答】解：（1）∵f′（x）=2x+2 设f（x）=x2+2x+c，
根据f（x）=0有两等根，得△=4﹣4c=0解得c=1，即f（x）=x2+2x+1；
（2）S==．
2017年4月19日。