广东省深圳市普通高中学校2018届高考高三数学4月月考模拟试题+(3)+Word版含答案

2018高考高三数学4月月考模拟试题03
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

（1）复数243(2)i
i +-＝
（A ）1 （B ）－1 （C ）i （D ）－i （2）向量(3,4),(,2)x ==a b ，若||⋅=a b a ，则实数x 的值为 （A ）1- （B ）12- （C ）1
3
- （D ）1
（3）已知随机变量X 服从正态分布N 2(1,)σ，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝
（A ）0.22
（B ）0.28
（C ）0.36 （D ）0.64
（4）在等差数列{}n a 中，135792()3()48a a a a a ++++=
则此数列的前10项的和10S ＝
（A ）10 （B ）20 （C ）40 （D ）80
（5）执行右图所示的程序框图，若要使输入的x 值与
输出的y 值相等，则这样的x 值的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （6）设函数())sin(2)(||)2
f x x x π
ϕϕϕ=+++<且其图象关于直线0x =对称，则 （A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π
（B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为减函数
（C ）()y f x =的最小正周期为
2π，且在(0,)4π
上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4
π
上为减函数
（7）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）6 （B ）5.5 （C ）5 （D ）4.5
（8）下列叙述正确的个数是
①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α
②若命题2
00
0,10p x x x ∃∈-+R ：≤，则2,10p x x x ⌝∀∈-+>R ： ③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝1
2
”的充要条件
④若向量a ，b 满足a ·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
正视图 侧视图
俯视图 1
1 1 2
3
（第7题）
（9）双曲线22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的两个焦点为12,F F ，若双曲线上存在一点P ，满足
122PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为
（A ）(]1,3 （B ）()13， （C ）()3+∞，
（D ）[)3,+∞ （10）已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则
棱锥S —ABC 的体积为 （A ）3 3 （B ）2 3 （C ） 3 （D ）1
（11）已知长方形ABCD ，抛物线以CD 的中点E 为顶点，经过A 、B 两点，记拋物线与AB
边围成的封闭区域为M ．若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为p ．则下列结论正确的是
（A ）当且仅当AB ＝AD 时，p 的值最大 （B ）当且仅当AB ＝AD 时，p 的值最小
（C ）若
AB
AD
的值越大，则p 的值越大 （D ）不论边长AB ，AD 如何变化，p 的值为定值 （12）定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，都有(2)()(1)f x f x f +=-成立，且当[2,3]x ∈
时，2()21218f x x x =-+-．若函数()log (1)a y f x x =-+在()0,+∞上至少
有三个零点，则a 的取值范围是 （A
）2 （B
） （C
） （D
）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知点P (x ，y )的坐标满足条件0,0,20,≥≥≤x y x y ⎧⎪
⎨⎪+-⎩
则z ＝2x －y 的最大值是_________．
（14）袋中装有分别编号为1，2，3，4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球
的编号互不相同的取法有_________种（用数字作答）．
（15）已知P 是面积为1的△ABC 内的一点（不含边界）,若△PBC ，△PCA 和△P AB 的面积
分别为,,x y z ，则1x y
x y z ++
+的最小值是_________． （16）已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S ，若1431,3,9≤a a S >>，
设2,n n n b a =则12n b b b +++L ＝_________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别为ΔABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且满足2cos 2b C a c =-．
（Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）若ΔABC
b 的取值范围．
（18）（本小题满分12分）
某学校对高三学生一次模拟考试的数学成绩进行分析，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图估计这次考试全校学生数学成绩的众数、中位数和平均值；
（Ⅱ）若成绩不低于80分为优秀成绩，视频率为概率，从全校学生中有放回的任选3名学生，用变量ξ表示3名学生中获得优秀成绩的人数，求变量ξ的分布列及数学期望E (ξ) ． （19）（本小题满分12分）
已知直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）111ABC A B C -中，5,4,3AB AC BC ===，14AA =，点D 在AB 上．
（Ⅰ）若D 是AB 中点，求证：1AC ∥平面1B CD ； （Ⅱ）当1
5
BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值．
A
A 1
B
C D
B 1
C 1
（20）（本小题满分12分）
已知点M 、N 的坐标分别是
(
、，直线PM 、PN 相交于点P ，且它们
的斜率之积是1
2
-．
（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l ：y kx m =+与圆O ：221x y +=相切，并与点P 的轨迹交于不同的两点A 、B ．
当4
||)3
AB ∈时，求OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知函数1()(2)(1)2ln ()，x f x a x x g x xe -=---=（a ∈R ，e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）当a ＝1时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在1
(0,)2
上无零点，求a 的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的(]00x e ∈，，在(]0e ，上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得
0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，BAC ∠的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，且DE 交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．
（Ⅰ）求证：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若
35AC AB =，求
AF
DF
的值．
·
A
B O
E C D
F
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的
正半轴，建立平面直角坐标系，直线l
的参数方程是：x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B
两点，且||AB =m 值．
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数()214f x x x =+--．
（Ⅰ）解不等式：()0f x >；
（Ⅱ）若()34≥f x x m +-对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题
CABCC BCBAC DB 二、填空题
13、4 14、32 15、3 16、12n n +⋅ 三、解答题
17．解：⑴由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，
在ABC ∆中，sin sin()sin cos sin cos A B C B C C B =+=+， sin (2cos 1)0C B ∴-=，又0,sin 0C C π<<>Q ， 1cos 2B ∴=，注意到0,3B B ππ<<∴=． ⑵1
sin 3,42
ABC
S ac B ac ∆==∴=Q ， 由余弦定理得2
2
2
2
2
2cos 4b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥=， 当且仅当2a c ==时，“＝”成立， 2b ∴≥为所求． 18、 (Ⅰ)依题意可知
中位数：75，中位数：75
550.12650.18+750.40+850.22+950.08⨯+⨯⨯⨯⨯=74.6
所以综合素质成绩的的平均值为74.6 (Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为100008+0022=03⨯（..）.， 由题意知3(3,)10B ξ:，3337()()()1010
k k k p k C ξ-== 故其分布列为 p
1
2
3
ξ
343
1000
441
1000 189
1000 27
1000
………………9分
39()31010
E ξ=⨯
= 19、证明：（1）证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，DE ．
∵ 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，D 是AB 中点，
∴侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线， ∴ DE // AC 1．
因为 ∵DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ，
∴AC 1∥平面B 1CD ． （2）∵ AC ⊥BC ，
所以如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ． 则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，A 1 (0, 0, c )，B 1 (3, 0, 4)． 设D (a , b , 0)（0a >，0b >），
∵点D 在线段AB 上，且1
5BD AB =， 即15
BD BA =u u u r u u u r ．
∴124,55
a b ==．
所以1(3,0,4)B C =--u u u r
，(3,4,0)BA =-u u u r ，124(,,0)55
CD =u u u r ．
平面BCD 的法向量为．()1,0,0=n
设平面B 1 CD 的法向量为2(,,1)n x y =u u r
，
由 120B C n ⋅=u u u r u u r ，20CD n ⋅=u u u r u u r ， 得 340124
055x z x y --=⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 所以4,43x y =-=，24
(,4,1)3
n =-u u r ．
设二面角1B CD B --的大小为θ， 3
cos 13a b a b
θ⋅==r r
r r ．
所以二面角1B CD B --的余弦值为3
13
． 20、（Ⅰ）设(,)P x y
，则1
(2MP NP k k x ⋅=
=-≠，
整理得2
21(2
x y x +=≠． …………4分 （Ⅱ）Q 圆O 与直线l 相切，
∴
1=，即221m k =+．…………5分
当直线l 过M 或N
点时，有0k m +=，
由22
0,1,
k m m k ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩ 解得1k =±， Q 直线l 与点P 的轨迹交于不同的两点A 、B ，且M 、N 不在点P 的轨迹上，
∴ 1.k ≠± ………（1） …………6分
由2
212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y,得222(12)4220k x kmx m +++-=，
设1122(,),
(,)A x y B x y ，
2121222
422
,1212km m x x x x k k -+=-⋅=++， …………7分
||AB ==
=将221m k =+
代入上式得||AB = …………9分
又4||)3AB ∈，3242428()4()1k k k k +≤<++16
9
，得
424242428()16
4()19
,8()3,4()12k k k k k k k k ⎧+<⎪++⎪⎨+⎪≥⎪++⎩
2222(2)(1)0,(21)(23)0,k k k k ⎧+-<⎪⇒⎨-+≥⎪⎩2112k ⇒≤<.………（2） 由（1）和（2）得
21
12
k ≤<， …………10分 22
121212121212()()(1)()OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++u u u r u u u r 22
222
224(1)1212m mk
k km m k k
--=+⋅+⋅+++，将221m k =+代入，得 OA OB ⋅u u u r u u u r 222
111
(1)12221
k k k +==+++ …………11分 2
112k ≤<Q OA OB ∴⋅u u u r u u u r 23
(,].34
∈ …………12分
21、解：（I ）当2
1,()12ln ,()1,a f x x x f x x
'==--=-时则
…………1分 由()0,2;f x x '>>得由()0,0 2.f x x '<<<得
故(][)()0,2,2,.f x +∞的单调减区间为单调增区间为
…………3分
（II ）因为1
()0(0,)2
f x <在区间上恒成立不可能，
故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1
(0,),()02x f x ∈>恒成立，
即对12ln (0,),221x
x a x ∈>--恒成立。

…………4分
令2ln 1
()2,(0,),12
x l x x x =-
∈- 则2
2
22(1)2ln 2ln 2
(),(1)(1)x x x x x l x x x --+-=-=-- …………5分
2221
()2ln 2,(0,),2
222(1)
()0,
m x x x x x m x x x x =+
-∈--'=-+=<再令则
11
()(0,),()()22ln 20,
22
1
()0,()(0,)2m x m x m l x l x >=->>故在上为减函数于是从而,于是在上为增函数,
[)1
()()24ln 2,
2
2ln 2,24ln 2,,
1
l x l x
a a x <=->-∈-+∞-所以故要使恒成立只要
综上，若函数1
()(0,),2f x 在上无零点 24ln2.a -则的最小值为…………6分
（III ）111()(1),x x x g x e xe x e ---'=-=-
(]1(0,1),()0,();1,,()0,0,e x g x g x x e g x -'∈>'∈<⋅>当时函数单调递增当时函数g(x)单调递减.又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e e 所以，函数(](]()0,0,1.g x e 在上的值域为
…………7分
2,a =当时不合题意;
(]
(]2
(2)()
2(2)222,()2,0,2
,()0.2,()0,,
当时当时由题意得在上不单调a x a x a a f x a x e x x
x
x f x a
f x e --
---'≠=--==∈'=
=-
故22
0,22即e a a e
<
<<-- ① …………9分
此时，当,(),()x f x f x '变化时的变化情况如下：
(](]00,0,(),
22(
)2ln ,()(2)(1)2,220,,0,(1,2),()(),:
i i x f x f a f e a e a a
e e x i
f x
g x a →→+∞=-=-----∈==又因为当时所以,对任意给定的x 在上总存在两个不同的使得成立当且仅当满足下列条件
22(
)0,2ln 0,22()1,(2)(1)2 1.f a a a f e a e ⎧⎧
≤-≤⎪⎪--⎨⎨
⎪⎪≥---≥⎩⎩即 22()2ln
,(,2),22()12[ln 2ln(2)]1,()0,
22
02,
(,0),()0,();
2
(0,2),()0,().
2
,(,2),()(0)0,
h a a a a e
a
h a a h a a a a a a h a h a a h a h a e
a h a h e
=-∈-∞--'''=---=-==--=='∈-∞>'∈-<∈-∞-≤=令则令得或故当时函数单调递增当时函数单调递减所以对任意有
即②对任意2
(,2)a e ∈-∞-恒成立。

…………10分
由③式解得：3
2.1
a e ≤-
- ④
综合①④可知，当(]03,2,0,,1a x e e ⎛
⎤∈-∞-∈ ⎥-⎝⎦时对任意给定的 在(]0,(1,2),i e x i =上总存在两个不同的 使0()()i f x g x =成立。

…………12分
（22）解：（Ⅰ） 证明：连结OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠
∴OD AE P ， 又AE DE ⊥
∴DE OD ⊥，又OD 为半径 ∴DE 是⊙O 的切线 …………………5分 （Ⅱ）过D 作DH ⊥AB 于H 则有∠DOH =∠CAB cos ∠DOH =cos ∠CAB =
3
5
AC AB = 设OD =5x ，则AB =10x ，OH =3x ，DH =4x ∴AH =8x AD 2=80x 2
由△AED ∽△ADB 可得 AD 2=AE ·AB =AE ·10x
②
③
- 11 -
- 11 - ∴AE =8x ……………………………8分
又由△AEF ∽△DOF 可得AF ∶DF = AE ∶OD =
85； ∴AF DF =85
………………………10分 （I ）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为:
0422=-+x y x
直线l 的直角坐标方程为：m x y -= ………………5分 （Ⅱ）解法一：由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2， ∴圆心到直线l 的距离,2
2)214(222=-=d ∴1|2|22
2|
02|=-⇒=--m m
∴1=m 或3=m ………………10分 解法二：把⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）代入方程0422=-+x y x ， 得04)2(222=-+-+m m t m t ，
m m t t m t t 4),2(222121-=--=+∴．
∴ .14)4(4)]2(2[4)(||||222
122121=----=-+=-=m m m t t t t t t AB
∴1=m 或3=m ……………10分
24．解：（1）当x 4≥ 时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0得x>-5所以x 4≥成立
当42
1<≤-
x 时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0得x>1，所以1<x<4成立 当21-<x 时 f(x)=-x-5>0得x<-5 所以x<-5成立 综上，原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}
（2）f(x)+43-x =|2x+1|+2|x-4|9|)82(12|=--+≥x x 当时等号成立42
1≤≤-x 所以m≤9。