深圳实验学校国际部高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试题(答案解析)

一、选择题
1．从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2.那么不可能是计算结果的最小的数是( ) A ．12
B ．11
C ．10
D ．9
2．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）．
A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人
B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分
D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 3．设k 1111S k 1k 2k 32k
=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1
S 2k 1++
B ．()k 11
S 2k 12k 1++++ C ．()
k 11
S 2k 12k 1+
-++ D ．()k 11
S 2k 12k 1
+
-++
4．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，c
a
的值（ ） A ．都大于1
B ．都小于1
C ．至多有一个不小于1
D ．至少有一个不小于1
5．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:
①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；
③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.
已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球
6．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（ ） A ．乙亥年
B ．戊戌年
C ．庚子年
D ．辛丑年
7．利用数学归纳法证明不等式()()
111
1+
+++
,2,23
2
n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）
A ．1项
B ．k 项
C ．12k -项
D ．2k 项
8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了
C ．甲被录用了
D ．无法确定谁被录用
了
9．根据给出的数塔猜测12345697⨯+=（ ）
19211⨯+=
1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=
…
A ．1111110
B ．1111111
C ．1111112
D ．1111113
10．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是
d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如
果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．d
11．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
12．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置
A ．（45,44）
B ．（45,43）
C ．（45,42）
D ．该数不会出现
二、填空题
13．某个产品有若千零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为A,?
B,C,?D,?E,?F .其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为
是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序Y 必须要在工序X 完成后才能开工，则称X 为Y 的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下： 工序 A
B
C
D
E
F
加工时间 3 4
2 2
2
1
紧前工序
无
C 无
C ,A B
D
现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__________小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.
14．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为12，10，8，第四行为14，16，18，20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第
j 行的数记为ij a ，如3,210=a ，5,424=a .若2018ij a =，则i j +=__________．
15．如图所示，
椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，,A B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当FB AB
⊥51
-，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于___________.
16．已知数列{}1214218421
:,,,,,,,,,
1121241248
n a 其中第一项是0
022
，接下来的两项是
100
122,22
，再接下来的三项是210
012222,,222，依此类推，则9899a a ⨯=__________． 17．已知函数()x
f x xe =，()1'f x 是函数()f x 的导数，若()1n f x +表示()'n f x 的导数，
则()2017f x =__________．
18．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲
说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．
19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则
121
4
S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则
1
2
V V =____. 20．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．
三、解答题
21．对任意正整数n ，设n a 表示n 的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，n S 表示数列{}n a 的前n 项和.
（1）求1a ，2a ，3a ，4a ，5a 的值； （2）是否存在常数s ，t ，使得()()21
2246
m m
m s t S
-+⋅+=
对一切m 1≥且*m N ∈恒成
立？若存在，求出s ，t 的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由. 22．在数列{}n a 的前n 项和为n S ，12
3a =-，满足12n n n
S a S ++=（n ≥2）． （Ⅰ）求1S ，2S ，3S 并猜想n S 表达式； （Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想．
23．用数学归纳法证明：
()()()
2222*24(2)221335212121
n n n
n N n n n +++⋯+=∈⋅⋅-++． 24．数列{}n a 满足2()n n S n a n =-∈*
N .
（Ⅰ）计算1a ，2a ，3a ，并由此猜想通项公式n a ； （Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.
25．已知数列
()
1111
,,,,
,
122334
1n n ⨯⨯⨯+，
（1）先计算前几项和123,,,S S S 并猜想前n 项和n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明n S 的表达式。

26．给出下面的数表序列：
4
4 8
12
其中表()1,2,3,...n n =有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．
（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表()3n n ≥（不要求证明）
（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为
{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案. 【详解】
由题意，列出树形图，如图所示
由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选B.
【点睛】
本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树
形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
2．C
解析：C 【解析】
分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.
详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；
由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；
平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；
在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.
点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.
3．C
解析：C 【解析】
分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：
()()()
()
1111
1
11121321k S k k k k +=+++
+
+++++++
()
1111
234
21k k k k =
++++++++
()111111234
22121k k k k k k =++++
+++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()
11111111234
22121k k k k k k k =
+++++
+-++++++ ()
11
2121k S k k =+
-++. 本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4．D
解析：D 【解析】
分析:对每一个选项逐一判断得解.
详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则1
12
a b =<，所以选项A 是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则
21a
b
=>，所以选项B 是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则421,2a b ==>2211b c ==>，所以选项C 是错误的.对于选项D,假设1,1,1a b c
b c a
<<<，则
3,3a b c a b c b c a b c a ++<++≥=，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D 是正确的.故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数,,a b c 至少有一个不小于1的否定是 1.1, 1.a b c <<<
5．A
解析：A
【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可. 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球； 则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．C
解析：C 【解析】
2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，
那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年． 故答案为C ．
7．D
解析：D 【分析】
分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】
当n k =时，不等式左边为11
1
1232
k +
+++
，当1n k =+时，不等式左边为1
11111123
2212
k k k ++
+++
+++
+，则增加了112(21)1222k k k k k
++-++=-=项，故选D. 【点睛】
项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解
决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.
8．C
解析：C
【分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】
解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
【点睛】
本题考查了逻辑推理能力，属基础题.
9．B
解析：B
【解析】
由1×9+2=11；
12×9+3=111；
123×9+4=1111；
1234×9+5=11111；
…
归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，
∴123456×9+7=1111111，
本题选择B选项.
10．A
解析：A
【解析】
由题意得，甲同学说：1号门里是b，3号门里是c，乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c c，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b是正确的；乙同学说的2号门中有d是正确的；并同学说的3号门中有c是正确的；丁同学说的4号门中有a是正确
b d
c a，所以4号门里是a，故选A.
的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,
点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．11．A
解析：A
【解析】
四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以
丙与丁中有一个是正确的；
若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.
12．C
解析：C 【分析】
由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置． 【详解】
由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,
，
由于22441936,452025==，2244201945<<， 所以故2019是第45行的倒数第4个数， 所以数字2019的位置为（45,42）． 故选C ． 【点睛】
（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． （2）解决归纳推理问题的基本步骤
①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．
二、填空题
13．【解析】分析：由题意根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品确定好加工顺序即可得到答案详解：由题意可确定如图所示的加工顺序如图所示可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品要完成该产品的最短加工
解析：【解析】
分析：由题意，根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品，确定好加工顺序，即可得到答案.
详解：由题意，可确定如图所示的加工顺序，如图所示，可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品，要完成该产品的最短加工时间为8小时.
点睛：本题主要考查了实际应用问题，其中解答中正确理解题意，分析工艺的流程，确定好加工的顺序，得出加工顺序的图形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.
14．72【解析】分析：先求出2018排在第几行再找出它在这一行的第几列即得的值详解：第1行有1个偶数第2行有2个偶数第n 行有n 个偶数则前n 行共
有个偶数2018在从2开始的偶数中排在第1009位所以当n=
解析：72 【解析】
分析：先求出2018排在第几行，再找出它在这一行的第几列，即得i j +的值. 详解：第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，
，第n 行有n 个偶数，则前n 行共有
(1)
1+2+3+
+2
n n n +=
个偶数，2018在从2开始的偶数中排在第1009位， 所以
(1)
1009,45.2
n n n +≥∴≥ 当n=44时，第44个偶数为44(441)
219802
+⨯=，所以第44行结束时最右边的偶数为1980,
由题得2018排在第45行的第27位，所以i j +=45+27=72. 故答案为72.
点睛：(1)本题主要考查归纳推理和等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过解不等式
(1)
10092
n n +≥找到2018所在的行. 15．【解析】分析：根据类比推理可得黄金双曲线应满足其中F 为左焦点AB 分别为双曲线的右顶点和虚轴的上顶点然后求得的坐标后根据题意得到的关系式解方程可得离心率详解：根据黄金椭圆的性质是可得黄金双曲线也满足这
解析：
51
2
+. 【解析】
分析：根据类比推理可得“黄金双曲线”应满足FB AB ⊥，其中F 为左焦点，A,B 分别为双曲线的右顶点和虚轴的上顶点，然后求得,,A B F 的坐标后根据题意得到,,a b c 的关系式，解方程可得离心率．
详解：根据“黄金椭圆”的性质是FB AB ⊥，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．
如图，设“黄金双曲线”的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，
则(,0),(0,),(,0)A a B b F c -，
(,),(,)FB c b AB a b ==-，
∵FB AB ⊥，
∴20FB AB ac b ⋅=-=，
∴222ac b c a ==-， ∴210e e --=，
解得e =
或e =（舍去），
∴黄金双曲线”的离心率e ． 点睛：本题考查类比推理和双曲线离心率的求法，解题的关键是得到“黄金双曲线”的特征，得到相关点的坐标后将这一特征转化为,,a b c 的关系式，构造出关于离心率的方程，解方程可得所求，解题时要注意双曲线的离心率大于1这一条件．
16．1【解析】根据题意得到第98项是在这一列数中前边的数据共有91项再数7项是第98项数8项是第99项分别为两者相乘为1故答案为：1
解析：1 【解析】
根据题意得到第98项是在13120
0113222,......222这一列数中，前边的数据共有91项，再数7项
是第98项，数8项是第99项，分别为76
6722,22
，两者相乘为1。

故答案为：1.
17．【解析】依题意以此规律可推出故答案为 解析：()2017x
x e +
【解析】
依题意()()11x
x
x
f x e xe x e '
=+=+，
()()()()2112x x x x f x x e e x e x e '
⎡⎤=+=++=+⎣⎦，()()()()3223x x x x f x x e e x e x e '⎡⎤=+=++=+⎣⎦
，以此规律，可推出
()()20172017x f x x e =+，故答案为()2017x x e +.
18．丙【解析】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用
解析：丙 【解析】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．
考点：反证法在推理中的应用.
19．【解析】设正四面体的棱长为高为四个面的面积为内切球半径为外接球半径为则由得；由相似三角形的性质可求得所以考点：类比推理几何体的体积
解析：
127
【解析】
设正四面体ABCD 的棱长为a ，高为h ，四个面的面积为S ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则由11
43
3Sr Sh ⨯=
，得1144r h ===；
由相似三角形的性质，可求得R =，所以12
V V =3311()().327r R == 考点：类比推理，几何体的体积.
20．丙【详解】若甲获奖则甲乙丙丁说的都是错的同理可推知乙丙丁获奖的情况可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用
解析：丙 【详解】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙．
考点：反证法在推理中的应用.
三、解答题
21．（1）11a =，21a =，32a =，41a =，53a =；（2）1
1s t =-⎧⎨=⎩
，见解析.
【分析】
（1）根据定义计算即可；
（2）先由11211S S -==，23214S S -==，372114S S -==确定出s ，t 的值，再利用数学归纳法证明. 【详解】
（1）1的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以11a =， 2的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以21a =， 3的最大正奇因数为3，最小正奇因数为1，所以32a =， 4的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以41a =， 5的最大正奇因数为5，最小正奇因数为1，所以53a =.
（2）由（1）知，11211S S -==，23214S S -==，372114S S -==，
所以()()
()()()()
2241644446884146s t s t s t ⎧++=⎪
⎪
⎪++=⎨
⎪
⎪++=⎪
⎩
，解得1
1s t =-⎧⎨=⎩. 下面用数学归纳法证明： ①当1m =时，()()121
212416
S
--+==，成立；
②假设当m k =（1k ，*k N ∈）时，结论成立，即()()21
21246
k k
k S
--+=
，
那么当1m k =+时，
易知当n 为奇数时，12
n n a +=；当n 为偶数时，2n
n a a =. 所以()()111112132421212122k k k k S a a a a a a a a a ++++----=++
+=++
++++
+
()()1221122k k a a a -=+++++++
()21122k k S -=++
++
()212122
k k k S -+=+
()()()
321221246
k k k k ⨯++-+=
()2
112324
6
k k +++⨯-=
()()
1
121246
k k ++-+=
.
所以当1m k =+时，结论成立.
综合①②可知，()()21
21246
m
m
m S --+=
对一切m 1≥且*m N ∈恒成立.
【点睛】
本题考查数列中的新定义问题，利用数学归纳法证明等式，考查学生的逻辑推理能力，是一道有一定难度的题. 22．（Ⅰ）123S =-，234S =-，345S =-，1
2
n n S n +=-+（Ⅱ）见解析 【分析】
（Ⅰ）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理得11
2
n n S S -=-+（n ≥2），依次代入数据，
即可求解．
（Ⅱ）根据数学归纳法步骤证明即可． 【详解】 （Ⅰ）由112n n n n n S a S S S -++==-，得112
n n S S -=-+（n ≥2）． ∵ 123a =-
， ∴ 123
S =-， 2111322423S S =-
=-=-+-+，3211432524S S =-=-=-
+-+， 猜想：1
2n n S n +=-+．
（Ⅱ）证明：① 当1n =时，左边＝1123S a ==-，右边＝1112
2123n n ++-
=-=-++，猜想成立．
② 假设当n k =（*k N ∈）时猜想成立，即1
2
k k S k +=-
+， 那么，
()()()()1111122
1212231222
k k k k k S k S k k k k k +++++=-
=-=-=-=-
++-++++++-++， 即当1n k =+时猜想也成立．
根据①②，可知猜想对任何*n N ∈都成立． 【点睛】
本题考查数列中n a 和n S 的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证明的能力，属基础题． 23．详见解析 【分析】
用数学归纳法进行证明，先证明当1n =时，等式成立.再假设当n k =时等式成立，进而证明当1n k =+时，等式也成立. 【详解】
() 1当1n =时，左边4
3
=
=右边，等式成立． ()2假设当n k =时等式成立，即()()
222224(2)221335212121k k k
k k k +++⋯+=⨯⨯-++
当1n k =+时，左边
∴当1n k =+时，等式也成立．
综合()()12，等式对所有正整数都成立． 【点睛】
数学归纳法常常用来证明一个与自然数集n 相关的性质，其步骤为：设()P n 是关于自然数n 的命题，（1）(奠基())P n 在1n =时成立；（2）(归纳)在()(P k k 为任意自然数
)成立的假设下可以推出()1P k +成立，则()P n 对一切自然数n 都成立．
24．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】
分析：（Ⅰ）计算出123371,,24a a a ===，由此猜想121
2
n n n a --=.( Ⅱ)利用数学归纳法证
明猜想.
详解：（Ⅰ）123371,,.24a a a ===，由此猜想121
2
n n n a --=；
（Ⅱ）证明：当1n =时，11a =，结论成立；
假设n k =（1k ≥，且k N +
∈），结论成立，即121
2
k k k a --=，
当+1n k =（1k ≥，且k N +∈）时，
()11112122k k k k k k k a S S k a k a a a ++++=-=+--+=+-，即122k k a a +=+，所以
()111+11
21
22212222
k k k k k k a a +-+--++-===，这就是说,当1n k =+时，结论成立， 根据(1)和(2)可知对任意正整数结论都成立，即1212
n n n a --= ()n N +
∈.
点睛：（1）本题主要考查不完全归纳法和数学归纳法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）数学归纳法证明的关键是证明当n=k+1时命题成立，这时要利用已知和假设. 25．（1）1
n n
S n =+；（2）见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据特值，猜想前n 项和n S 的表达式；（2）数学归纳法证明上一问的猜想.
试题 （1）112S =
,223S =,334S =, 猜想：1
n n
S n =
+. （2）证明：①当1n =时，猜想的n S 显然成立； ②假设当n k =时，1
k k
S k =
+成立， 则当1n k =+时，()()
()()
11
112112K K k S S k k k k k +=+
=
++++++ ()()()()()()()()()2
221
121
112121211
k k k k k k k k k k k k k ++++++====++++++++， 即当1n k =+时n S 也成立；
综合①②，猜想的数列前n 项和n S 成立。

26．（1）表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32
表()3n n ≥各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列. （2）()121n
n S n =-⋅+
【分析】
（1）根据已知条件进行归纳，得到表4；计算出表1到表4的平均数，然后再计算出表n 的平均数，得到推广结论；（2）根据（1）中所得，得到n b 通项，然后利用错位相减法得到其前n 项的和. 【详解】 解：（1）表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32
它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．
将这一结论推广到表()3n n ≥，
表n 的第1行是1，3，5，…，21n -，其平均数是
()
135...21n n n
++++-=.
即表()3n n ≥各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，表n 中最后一行的唯一一个数为12n n b n -=⋅． 设123...n n S b b b b =++++
0121122232...2n n -=⨯+⨯+⨯++⋅
1232122232...2n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅
由上式减下式得，0
1
2
1
222...22n n n S n --=++++-⋅
整理得：()121n
n S n =-⋅+.
【点睛】
本题考查归纳推理，错位相减法求和，属于中档题.。