初三九年级数学学沪科 第22章 训练习题课件专题技能训练(三) 1.相似三角形的基本模型

专题技能训练
(2)若∠ABD＝45°，AC＝3，求 BF 的长． 解：∵∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，∴AD＝BD. ∵△ACD∽△BFD， ∴ABCF＝ABDD＝1，∴BF＝AC＝3.
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3．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，M 是斜边 BC 的中点， BN⊥AM，垂足为点 N，且 BN 的延长线交 AC 于点 D.
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第22章 相似形
专题技能训练(三) 1.相似三角形的基本模型
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1．[天长期末]如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB＝ 2CD，E，F 分别是 AB，BC 的中点，EF 与 BD 交于点 H.
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(2)如图②所示，在矩形 ABCD 中，AB＝4 cm，BC＝10 cm，点 E 在 BC 上，连接 AE，过点 E 作 EF⊥AE 交 CD(或 CD 的延 长线)于点 F.
①若 BE∶EC＝1∶9，求 CF 的长； 解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，
(1)求证：△ABC∽△ADB； 证明：∵∠BAC＝90°，M 是斜边 BC 的中点， ∴AM＝CM，∴∠MAC＝∠C. ∵∠MAC＋∠BAN＝90°，∠ABD＋∠BAN＝90°， ∴∠MAC＝∠ABD，∴∠C＝∠ABD. ∵∠BAC＝∠DAB＝90°，∴△ABC∽△ADB.
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(2)如果 BC＝20，BD＝15，求 AB 的长度． 解：∵△ABC∽△ADB，∴AACB＝DBCB＝2105＝43， 设 AC＝4x，则 AB＝3x， 由勾股定理得(4x)2＋(3x)2＝202，解得 x＝4(负值舍去)， ∴AB＝3x＝12.
(1)求证：△EDH∽△FBH； 证明：∵AB∥CD，且 AB＝2CD，E 是 AB 的中点， ∴DC＝12AB＝EB，DC∥BE， ∴四边形 DCBE 是平行四边形， ∴FB∥DE，∴△EDH∽△FBH.
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(2)若 BD＝6，求 DH 的长． 解：易知 BC∥DE，BC＝DE， ∵F 为 BC 的中点，∴FB＝12BC，∴FB＝12DE. ∵△EDH∽△FBH，∴DBFE＝DBHH＝2. ∵DH＋BH＝BD＝6，∴DH＝4.
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2．[2018·滁州期末]如图，在△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC， 垂足分别为 D，E，AD 与 BE 相交于点 F.
(1)求证：△ACD∽△BFD； 证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEC＝90°. ∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠DBF. ∴△ACD∽△BFD.
5．[2018·宿松期末]如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E 分别 在边 BC，AC 上，∠ADE＝60°.
(1)求证：△ABD∽△DCE； 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°， ∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE.
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(2)如果 AB＝3，EC＝23，求 DC 的长． 解：由(1)得△ABD∽△DCE，∴BADB＝DCEC，
设 CD＝x，则 BD＝3－x，
2
∴3－3 x＝
3 x，∴x＝1 或 x来自2，∴DC＝1 或 DC＝2.
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6．[2019·利辛期中](1)如图①所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝ 90°，AC＝BC，点 D 在斜边 AB 上，点 E 在直角边 BC 上， 若∠CDE＝45°，求证：△ACD∽△BDE； 证明：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠B＝45°，∴∠ACD＋∠ADC＝135°， ∵∠CDE＝45°，∴∠ADC＋∠BDE＝135°， ∴∠BDE＝∠ACD，∴△ACD∽△BDE.
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4．[2019·青阳月考]已知：如图，∠1＝∠2＝∠3，求证： AC·DE＝AE·BC. 证明：∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠ADC＝∠ABC＋∠1＝∠ADE＋∠2， ∴∠ADE＝∠ABC， ∴△ADE∽△ABC，∴AAEC＝DBCE， ∴AC·DE＝AE·BC.
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∴∠CEF＋∠BEA＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△BAE∽△CEF，∴ACBE＝BCEF. ∵BE∶EC＝1∶9， ∴BE＝110BC＝1 cm，CE＝9 cm， ∴49＝C1F，CF＝94 cm.
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②若点 F 恰好与点 D 重合，请在备用图上画出图形，并求 BE 的长． 解：如图所示，设 BE＝x cm， 由①得△BAE∽△CEF， ∴ACBE＝BCEF，即104－x＝x4， 整理，得 x2－10x＋16＝0，解得 x1＝2，x2＝8， ∴BE 的长为 2 cm 或 8 cm.