必刷卷05(原卷版)

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2020 年高考必刷卷 05
数学（文）
（本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)
一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。

1．已知集合 A = {x ∈ N | x ≤ 1}，集合 B = {x ∈ Z | y =
x +1
3 - x ,则图中的阴影部分表示的
集合是（
）
A ．
[1, 3] B ． (1, 3] C ．{-1, 2,3} D ．{-1, 0, 2, 3}
2．复数 z 满足 z (1- i )
= 1- 3i ，则复数 z 等于（）
A ．1 - i
B ．1+ i
C ．2
D ．-2 1 3．已知命题 p ：对任意 x ∈（0，+∞），sin x ≤x 2
+ ，则￢p 为（
）
4
A ．∃x 0∈（0，+∞），使得 sin x 0≤x 2 + 1
4 1 B ．∃x 0∈（0，+∞），使得 sin x 0＞x 02 + 4
11 C ．∃x 0∈（﹣∞，0），使得 sin x 0≤x 02 + 1
4
1 D ．∃x 0∈（﹣∞，0），使得 sin x 0＞x 0
2 + 4
A ． 2.1升
B ． 2.2 升
C ． 2.3升
D ． 2.4 升
5．在区间[-1,1]上随机取一个数
x ，则事件“ 0 < cos πx < 1
”发生的概率为（
）
2 2
1 2
1 2 A ． 3
B ．
π
C ．
2
D ． 3
6．若函数 f (x )满足 f (x ) + 2 f (-x ) = 3x ，则 f (2) =（
）
A ． -6
B ． 6
C ． -9
D ． 9
7．某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点 P 与点 Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为 A ，B ，则在该几何体表面上，从点 P 到点 Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）
A ． 5
B ． 6
C ．2 2
D ． 1t
π
r r 8．已知平面向量 a ， b 的夹角为 3 ，且 a = 1， b = 2，则 3a - 2b = （
）
A ．13
B ．
C ．
x 2 - y 2
=
>
>
D ．11
2
9．已知双曲线 a
2
b 2
1(a 0,b 0) 的离心率为 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y
2
= 8 7x 的
准线上，则双曲线的方程为（
）
13 7
- = - = - = - = x 2 y 2
A ． 1
4 3
x 2 y 2
B ． 1
3 4 x 2 y 2 C ． x 2 y 2
D ． 1
12 16 16 12
10．在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， AD 1 与平面 ABCD 所成角的大小为60︒，DC 1 与平面 ABCD
所成角的大小为30°，那么异面直线
AD 1 与 DC 1 所成角的余弦值是（ ）
A ．
2 4
F , F
B ．
3 4
x 2
y 2
C ． 2
8
D ．
3
8
11．已知 1
2 分别是椭圆
Γ :
+
a
2
b 2
= 1(a > b > 0 )的左、右焦点，点 P 是椭圆上一点， I 为
∆PF 1F 2 的内心，若 S ∆PF F = 4S ∆IF F ，则该椭圆的离心率是
1 2
1 2
1 1
A ．
B ．
3 4 C ．
2 2
D ． 2
3
12．函数 f (x ) = sin x - 2x ，若 x , x ∈[-
π π
，且 f (x ) + f (x ) > 0 ，则下列不等式中正确的
是（ ）
A ． x 1 > x 2
， ] 1 2 2 2 1 2
B ．
x 1 < x 2
C ．
x 1 + x 2 > 0 D ．
x 1 + x 2 < 0
第Ⅱ卷（非选择题)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。

把答案填在题中的横线上。

x + 2 y ≤ 2
13．已知 x , y 满足约束条件{2x + y ≥ 1 ，则
x - y - 2 ≤ 0
y
x + 1
的最小值为 ．
14．在 ∆ABC 中，若
a cos B =
b cos A ,则∆ABC 的形状 ．
15．抛物线 y 2=4x 与过其焦点且垂直于 x 轴的直线相交于 A ，B 两点，其准线与 x 轴的交点为 M ，则过 M ，A ，B 三点的圆的标准方程为
.
16．符号[x]表示不超过 x 的最大整数,如[e]=2,[π]=3,[-1.2]=-2,定义函数{x}=x-[x]给出下列四个结论：
①函数{x}的定义域是 R,值域为[0,1] 1
②方程{x}= 2
有无数个解;
1
n
③函数{x}是奇函数;
④函数{x}是增函数,
其中正确结论的序号是 (写出所有正确结论的序号)
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21
题为必做题,每个考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分
17．等比数列{a n }的各项均为正数，2a 4,a 3,4a 5成等差数列，且a 3 = 2a 22． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b = 2n+5
(2n +1൅(2n +3൅
a n ，求数列{
b n }的前 n 项和S n ．
18．如图 1 所示，在等腰梯形 ABCD 中， AB ∥CD ，∠BAD = 45︒，AB = 2CD = 4 ，点 E 为 AB 的中点.将∆ADE 沿 DE 折起，使点 A 到达 P 的位置，得到如图 2 所示的四棱锥 P - EBCD ，点 M 为棱 PB 的中点.
（1）求证： PD ∥平面MCE ；
（2）若平面PDE ⊥ 平面EBCD ，求三棱锥 M - BCE 的体积.
19．如图是某企业2010 年至 2016 年的污水净化量(单位：吨)的折线图. 注：年份代码1～7 分别对应年份 2010～2016 .
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 和t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立 y 关于t 的回归方程，预测 2019 年该企业的污水净化量； (3)请用数据说明回归方程预报的效果.
2
n
4
7
y
7
ˆ
2
9
参考数据： ＝54， ∑(t i - t )( y i - y ) = 21， i =1 ≈ 3.74， ∑( y i - y i ) = ， i =1
参考公式：相关系数 r =
∑(t
i
- t )( y i - y )
，
∑(t i - t )( y i - y )
线性回归方程 y ˆ = a ˆ + b ˆt
， b ˆ = i =1 ， a ˆ = y - b ˆt ，
∑(t i i =1 - t )2
2
n
( y - y )2
反映回归效果的公式为： R = 1-
∑
i i ，其中 R 2 越接近于1，表示回归的效果越好.
20．已知点 M (x , y ) i =1
( y i - y )2
=| x +1|,设点 M 的轨迹是曲线 C ．
（1）求曲线 C 的方程．
（2）过点 D (2, 0) 且斜率为 1 的直线 l 与曲线 C 交于两点 A ,B ,求 ∆AOB （O 为坐标原点）的面积
21．已知函数 f (x )
= e x
， g (x ) = ln x ． (1)求函数 y = g (x )在点 A (e ,1)处的切线方程；
(2)若存在常数t 1 ∈(1, +∞)，对任意 x ∈(-∞, +∞)， f (x )- f (t 1 ) ≥ 2mx - 2mt 1 恒成立，求实数 m
的取值范围．
(3)已知函数 h (x ) = g (x + t 2 )- f (x - t 2 )(t 2 > 0) 在区间[0, +∞)上的最大值为 -1，求实数t 2 的值．
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
⎧⎪ x =
2cos α
在直角坐标
中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎨
⎪⎩ y = sin α
(α为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正半轴
为级轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程ρsin ⎛θ+ π ⎫ = 3
;
2 4 ⎪
⎝ ⎭
(1)求曲线 C 1 的普通方程和曲线 C 2 的直角坐标方程;
(2)设 P 为曲线 C 1 上的动点,求点 P 到曲线 C 2 上的距离的最小值.
23．选修 4-5：不等式选讲
n n 14 ∑ i =1
n
(t - t ) ( y - y )
2 ∑ n
2
i i
i =1
(x -1)2 + y 2
⎨
已知函数 f (x ) =| x - 2 | + | 4x | .
（1）求不等式 f (x ) ≥ 6x +1的解集；
⎧
a + 4 + 6, a < 0, （2）若 g (a ) = ⎪
a 证明：不等式 f ( x ) ³ g (a ) 恒成立.
⎪⎩-a 2 + 2a +1, a ≥ 0,。