新北师大版八年级下册数学《角平分线(1)》教案

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北师大版八年级数学下册《角平分线(第1课时)》精品教案

应用角平分线的判定定理解决实际问题.
离相等，则 P 点是(
)
A．线段 CD 的中点 B．CD 与过点 O 作 CD 的垂线的交点 C．CD 与∠AOB 的平分线的交点
D．以上都不对答案：C 例 1:如图,在△ABC 中,∠BAC＝60°,点 D 在 BC 上,AD＝10, DE 丄 AB,DF 丄 AC ,垂足分别为 E，F，且 DE＝DF，求 DE 的长.
《角平分线》精品教案
课题
1.4 角平分线（1）
单元第一章
学科
数学年级八年级
学习目标
知识与技能：了解角平分线的性质及判定，会利用角平分线的性质和判定进行简单的推理、判断与计算；过程与方法：在探究发现角平分线的性质和判定的过程中，培养学生的观察力、实验推理能力；情感态度与价值观：使学生在学习中体验几何发现的乐趣，在实际操作中感受几何美.
在师的引导体会所学
下完成中考知识在中
题.
考试题运
用.
课堂总结作业布置
A．30°
B．35°
C．45°
D．60°
答案：B
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知跟着老师回帮助学生
识点：
忆知识，并记加强记忆
问题 1、说一说角平分线的性质定理？
忆本节课的知识.
△POD 的选项是( )
学生回答老探究角平
师的问题，然分线的判
A．PC⊥OA，PD⊥OB C．∠OPC＝∠OPD 答案：D
B．OC＝OD D．PC＝PD
后在老师的定定理. 引导下进行证明.
想一想：你能写出定理：“角平分线上的点到这个角的两

北师大版八年级数学下册教案设计1.4角平分线(1)

北师大八下数学 1.4角平分线（1）教案一、目标引领1.课题名称：北师大版八年级下册数学第一章 1.4角平分线（第1课时）2.达成目标：（提示：旨在让学生明确学习任务和要求）（1）会对角平分线性质定理和判定定理进行严格的证明（2）运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题3.课前准备建议：（提示：复习相关知识或思考问题情境）（1）复习初一下册学过抽对称图形（2）复习上节课学习的线段的垂直平分线，类比进行这节课的学习二、学习指导录像课学习经历案（一）复习引入（前3分20秒）暂停视频动手操作。

复习回忆：1.我们学过的轴对称图形有哪些？2.角是轴对称图形吗？对称轴是谁？有什么性质？我们是如何验证的？3.你能对角平分线的性质进行证明吗？暂停视频，从演草本上动手试一下吧！（二）新课学习（3分20秒—9分40秒）按视频中老师提示听课或练习从演草本上跟随老师一起进行推理和验证。

定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.已知：如图，OC 是∠AOB的平分线，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD =PE .证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.∴∠PDO=∠PEO =90°∵∠1 =∠2 ，OP = OP∴PD =PE （全等三角形的对应边相等）你能写出这个定理的逆命题吗？在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.它是真命题吗？请大家根据上面的命题画出图形，写出已知、求证，并进行证明.（三）学以致用、巩固练习（3分20秒—20分40秒）请你从演草本上，按视频中老师提示先独立尝试完成例题和练习的已知：如图，点P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD =PE.求证：OP平分∠AOB .角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.例：如图，在△ABC 中，∠BAC=60°,点 D 在BC上，AD =10,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 且DE =DF，求DE的长.解答，然后认真听视频中的讲解和提升练习：如图，已知，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD =CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB =FC .巩固练习1.如图，AD、AE 分别是△ABC 中∠A 的内角平分线，则它们的关系是___________.2.如图，在∠AOB 内部求作一点P ，使PC =PD ，并且点P 到∠AOB两边的距离相等.（四）颗粒归仓、自主探究（20分40秒—23分30秒）知识与技能角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.角平分线判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.过程与方法经历“探索——发现——猜想——证明”的数学学习过程；进一步体验了证明的必要性，发展了推理能力.自主探究：三角形的三个内角平分线是否也相交于一点，这个点又有怎样的特殊性质呢？三、当堂检测，则点D到AB的距离DE是1．如图，RT△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD4cm（）A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm2．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若CD＝4，则AD的长为（）A．2B．3C．4D．4.53．如图，已知：△ABC中，∠C=90°，AC=40，BD平分∠ABC交AC于D，AD：DC=5：3，则D点到AB 的距离是_____．4．如图，△ABC中，∠C=，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是__________.5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE 垂直平分线段AB ．（1）求∠A 的度数（2）若DE ＝2cm ，BD ＝4cm ，求AC 的长．四、作业布置（尽量分层，以题目为主（5道左右），根据情况适当布置预习作业和探究性作业，控制时间）一．选择题1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是△ABC 的一条角平分线．若AC ＝6，AB ＝10，则点D 到AB 边的距离为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．42．如图。

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。

学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。

但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。

三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。

五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。

提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。

5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。

学生分组讨论，教师巡回指导。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。

7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。

8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。

2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计

2024北师大版数学八年级下册1.4.1《角平分线的性质定理及逆定理》教学设计一. 教材分析《角平分线的性质定理及逆定理》是北师大版数学八年级下册第1章第4节的内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质定理及逆定理，并通过实例让学生了解这两个定理在实际问题中的应用。

教材通过探究活动，引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理，培养学生的观察、思考、推理能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、线段中点的性质等知识。

但由于角平分线的性质定理及逆定理较为抽象，学生可能难以理解和运用。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过直观演示、实例分析等方式，帮助学生理解和掌握角平分线的性质定理及逆定理。

三. 教学目标1.理解角平分线的性质定理及逆定理；2.学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决实际问题；3.培养学生的观察、思考、推理能力；4.培养学生的合作交流意识。

四. 教学重难点1.角平分线的性质定理及逆定理的理解和运用；2.引导学生发现角平分线的性质定理及逆定理的过程。

五. 教学方法1.启发式教学：通过问题引导，激发学生的思考，培养学生解决问题的能力；2.直观演示：利用教具演示，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理；3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题；4.合作交流：引导学生分组讨论，培养学生的合作交流意识。

六. 教学准备1.教具：角平分线演示教具；2.实例：选取一些实际问题，用于练习和巩固角平分线的性质定理及逆定理；3.课件：制作课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或教具，引导学生回顾角的概念和线段中点的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示角平分线的性质定理及逆定理的定义，引导学生观察和思考。

通过演示教具，让学生直观地理解角平分线的性质定理及逆定理。

3.操练（15分钟）分组让学生进行讨论，分析教材中的实例，运用角平分线的性质定理及逆定理解决问题。

信阳市七中八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线第1课时角平分线的性质定理及逆定理教案新版北师大

四、练习巩固
1．判断．
(1)所有的命题都是公理；所有的真命题都是定理．
(2)所有的定理是真命题；所有的公理是真命题．
2．请你完成下列定理的证明．
(1)同角(等角)的补角相等；
(2)同角(等角)的余角相等．
几何证明如下：
(1)已知：∠1＝∠2，∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角．
求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3是∠1的补角，∠4是∠2的补角(已知)，
三.运用新知 , 深化理解
1.见教材P29例1
2.如以下图 , 已知 : ∠C=90° , DE是AB的垂直平分线 , D为垂足 , 交BC于E , AB=2AC. 求证 : CE=DE.
证明 : 连接AE , 由于∠C=90° , AB=2AC,
∴∠B=30° , ∠CAB=60°.
∵DE是AB的垂直平分线 ,
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0 （ √ ）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
第2课时公理、定理及证明
1．理解公理和定理的概念；会在简单情况下判断一个命题的真假，会区分定理、公理和命题．
2．通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法．
3．使学生在接受专业知识的同时增强学习的兴趣，调动学生探索发现问题的积极性．
[教学说明]请同学们自己尝试着证明上述结论 , 然后在全班进行交流．教师在教学过程中対有困难的学生要给予指导.
[归纳结论]角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
探究2 : 角平分线的判定定理.
已知 : 在∠AOB内部有一点P , 且PD⊥OA , PE⊥OB , D、E为垂足且PD=PE.
求证 : 点P在∠AOB的角平分线上．

北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案

北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。

教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。

本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。

二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。

但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。

因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。

三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。

2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。

3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。

四. 教学重难点1.角平分线的性质。

2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。

五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。

2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。

3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。

4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。

六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。

2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。

3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。

同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。

同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。

在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。

3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。

练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。

北师大版八年级数学下册《角平分线》第一课时教案 (1)

课题
角平分线(一)
课型
新授课
教学目标
1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
教学重点
角平分线性质定理及其逆定理。
6．肯定学生的发现，鼓励学生以后也要通过积极动脑思考，自己探索发现结论。引导学生再来看他们找的生活中的实例，是不是也有利用这个性质的?
7．让学生口述他们的结论，在口述的时候注意纠正学生不正确的数学语言，锻炼学生的数学语言表达能力，同时使学生加深对结论的理解。
8．提醒学生在猜测了数学结论之后，下一步该干什么了?在此时不直接提出猜测需要证明的要求，让学生自己意识到这样做的必要性，培养学生养成说理的好习惯。数学的兴趣，同时体会了数学和现实生活的联系。
4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。
5．说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的。
6．在老师的表扬和鼓励中，树立起自信，知道思考的重要性。继续思考刚才的问题，发现实例中应用角平分线性质的几个例子都有类似的特点。
2．听老师讲学会画图的必要性，联想到上节课图形对于发现数学结论的帮助，对老师的话有很好的认识，做好了学习新知识的积极的心理准备。3．与老师同步，在练习本上作一个角的平分线。
4．依据作图的过程，参照老师的讲解，写出已知和求作以及作法。有的学生可能写得不够规范。
5．对照老师的讲解，完善自己的写法。看书，体会书上写的作法。

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。

通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。

教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。

但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。

四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。

2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。

3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。

六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。

2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。

3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。

2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。

八年级数学下册1.4角平分线教案1(新版)北师大版

我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
（2）你能写出这个定理的逆命题吗?
我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
角平分线
教学目标
知识与技能
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理．
2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．
3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
过程与方法
情感、态度与价值观
教学重点
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
教学难点
（1）引导学生证明性质定理
请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
的平分线）时，过角平分线上的点向两边
作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。
第七环节：布置作业
A：1、2、4 B：1、2、4 C 1、2
教学反思
正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
教学程序
集体备课内容
个案补充
第一环节：导入新课、明确目标
我们用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教学设计

北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。

本节课主要介绍了角平分线的概念、性质及运用。

学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、垂线的性质等知识，为本节课的学习打下了基础。

教材通过引入角平分线的概念，引导学生探索角平分线的性质，并运用角平分线解决实际问题，从而提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对角的概念、垂线的性质等有一定的了解。

但学生在学习本节课时，仍需要通过实例来加深对角平分线概念的理解，并熟练运用角平分线解决实际问题。

此外，学生对几何图形的观察、分析、推理能力还需加强，因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生观察、操作、思考，培养学生的几何素养。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握角平分线的概念、性质，并能运用角平分线解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极参与数学学习的积极性。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的概念、性质及运用。

2.难点：角平分线的性质的证明及运用。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生探索角平分线的性质。

2.操作法：学生通过实际操作，观察角平分线的性质，加深对知识的理解。

3.讨论法：学生分组讨论，分享各自的解题思路，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备等。

2.学具：学生每人一份角平分线的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问：“什么是垂线？垂线有什么性质？”引导学生回顾垂线的知识，为新课的学习做好铺垫。

然后，教师给出一个实例：在三角形中，从一个顶点向对边画一条垂线，这条垂线会把对边平分，那么这条垂线还有什么特殊的性质呢？从而引出本节课的主题——角平分线。

北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的定义、画法以及它在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节关于角平分线的课程后，我认真思考了整个教学过程，有一些深刻的体会和认识。
首先，我发现学生在理解角平分线的定义和性质时，存在一定的难度。这让我意识到，几何概念的教学需要更加直观和生动。在今后的教学中，我应当多采用动态演示、实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握几何概念。
其次，关于角平分线的画法，虽然我进行了详细的讲解和示范，但仍有部分学生操作不够熟练。我觉得这里的问题在于练习不够充分，以及对学生操作过程中的指导不够细致。为此，我计划在接下来的课程中，增加学生的动手操作练习，并在练习过程中，逐一指导学生，帮助他们掌握画角平分线的技巧。
此外，在小组讨论环节，学生们的参与度很高，但部分小组在讨论过程中偏离了主题。为了提高讨论效率，我认为在今后的教学中，应该明确讨论主题，并在讨论过程中适时给予引导，确保学生能够围绕主题展开讨论，提高讨论的质量。

《角平分线》 (第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】

第一章三角形的证明1.4角平分线教学设计第1课时一、教学目标1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.2．证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.二、教学重点及难点重点：角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点：灵活运用角的平分线的性质和判定解题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源角平分线的尺规作图动画演示，微课.五、教学过程【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20 000）？其中“到公路、铁路的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．角是一个轴对称图形，其中角平分线就是它的对称轴．我们曾经用折纸的方法，根据折叠过程中角两边重合说明了角平分线的一个性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．所以在这个问题中，确定民宅位置利用此性质就能完成．设计意图：通过实际情境，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．【探究新知】1.角的平分线的尺规作图已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ．（2）分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ．射线OC 即为所求．师：思考：为什么要以大于MN 的长为半径画弧？生：因为以小于或等于MN 的长为半径画弧时不能形成交点．2．角平分线的性质还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎么得到的？请尝试证明这一性质，并与同伴交流.生：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．生：可用量角器，也可以用对折角的方法．师：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，对折的方法就不行了，那还有别的方法适合吗？生：量角器、尺规作图。

【最新】北师大版八年级数学下册《角平分线(1)》导学案

新北师大版八年级数学下册《角平分线（1）》导学案导学目标: 1、体会证明的必要性，增加证明意识和能力。

2证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力。

3能运用角平分线的性质定理和判定定理。

重点：证明角平分线的判定定理难点：运用角平分线的性质定理和判定定理。

导学过程一、知识回顾：角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到的？二、自主学习：阅读教材P2-3。

并尝试解决课后问题。

1、定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。

（结合题设与结论写出已知与求证）已知：在ΔABC中，求证：证明：推理格式：∵∴导学过程导学后反思你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？2、定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

（结合题设与结论写出已知与求证并证明）已知：求证：证明：推理格式：∵∴三、简单运用巩固新知1、如图下左图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2、如图下中图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP.3、如图上右图，∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=______.4、已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB 于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度.5、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm. [来源:学科网]6.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF 相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.教学反思：[来源:学科网Z.X.X.K]。

北师大版八年级数学下册角平分线教案

教学过程
一、提出问题，创设情境
问题：图中哪条线段的长可以表示点P到直线l的距离？
导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？
二、合作交流探究新知
探究1：
想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
教学重难点
重点：三角形三条角平分线的性质定理．
难点：掌握三角形三条角平分线的性质定理并进行证明．
教学过程
一、前置准备：
三角形角平分线性质定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
判定定理的内容是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
二、自主学习：
如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上．
操作：
1、折出如图所示的折痕PD、PE．
2、你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
画一画：
按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达到明确概念的目的．
[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．
《4角平分线》教案
第1课时
教学目标
（一）教学知识点：角平分线的画法；角平分线的性质．
（二）能力训练要求：掌握角平分线的性质；会用尺规作一个已知角的平分线．
（三）情感与价值观要求：在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
教学重难点
教学重点：利用尺规作已知角的平分线；角平分线的性质．

新北师大版数学八下教案：角平分线

1．4 角平分线第1课时角平分线1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD ＝DF .求证：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即CD ＝DE .再根据Rt △CDF ≌Rt △EBD ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质证明△ADC 和△ADE 全等得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .在Rt △DCF和Rt △DEB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝DF ，DC ＝DE ，∴Rt △CDF≌Rt △EBD (HL)．∴CF ＝EB ；(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴CD ＝DE .在△ADC 与△ADE中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝DE ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (HL)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是()A．6 B．5 C．4 D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝12×4×2＋12×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE＝CF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF ⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC 的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC＝AD，OC＝OD，AO＝AO，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.。

初中数学《角平分线》教学分析北师大版1

∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠A=60°， ∴ ∴ =∴12（∠∠∠1DDM8BB0B°CCC+=+-∠∠12∠∠DANAC）CBBB=C==12，123（×6∠0∠（°DA1C-8B6B00C°=°+12∠-=∠630AA0°0CC°B）B），，=60°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN， ∴ ∴∠∠55++∠∠66=+∠12 ∠1=M12（BC∠，M∠B1C=+∠12 ∠NNCCBB），=150°， ∴∠E=180°-（∠5+∠6+∠1）=180°-150°=30°，
．
探究2.如图，BF平分外角∠CBP，CF平分外角 ∠BCQ，试确定∠A和∠F的数量关系．
解：∵BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，
∴∠FBC＝1 ∠PBC，∠FCB＝ 1 ∠QCB.
2
2
∵∠PBC＝180°－∠ABC，∠QCB＝180°－∠ACB，
∴∠F＝180°－∠FBC－∠FCB
＝180°－ 1 (∠PBC＋∠QCB)
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
6.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与 ∠ACD的平分线交于点A1，∠A1CD的平分线与 ∠A1BD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为＿15°．
拓展提升
1、如图，已知△ABC的内角∠A=a，分别作内角∠ABC与外角
数学思想方法
转化思想
即将未知的、要探索的角之间的数量关系转化为已知的、熟悉的角之间的数量关系, 如：外角与不相邻内角的关系，内角与内角的关系，角的和、差的关系等等。
课后作业：
1.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB

八年级数学下册第一章三角形的证明 1.4.1 角平分线教案 (新版)北师大版教案

2.如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，且DE=DF.
求证：BD=DC
课堂小结2分钟
1、角平分线的判定定理是什么？它的作用是用来证明什么相等？
听、记、回顾所学新知识
归纳小结，突出重点，巩固新知，形成知识网络。
2、在已知条件（特点有垂直）下证明角平分线可考虑用角平分线的判定定理
布置作业1分钟
教学反思
一、重视情境创设，以学生为主体，让学生经历求知过程。本节课引入问题教学的模式，其目的是引导学生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与，倡导同学们要学会用大脑去思考，用耳朵去倾听,用眼睛去观察，用双手去操作，使学生言语与行动逐步起到自觉调控的作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考能力。
.
难点
灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.
教学策略与设计说明
教学策略：
借助多媒体辅助手段，创设问题情景，让学生从角平分线的性质定理角度先对角平分线的判定定理有一个整体的把握，引导学生观察、分析、猜测、论证，然后再重点讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得角平分线判定定理后总结，及时进行反馈应用和反思总结
记作业
1.巩固知识发现和弥补教学中的不足。2.强化学生的基本技能的训练，提高学生运用新知识的熟练程度
探究性作业：
已知如图：AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E,DF⊥AB于F,且BE=CF,求证：AB是∠BAC的平分线
板书设计
角的平分线的性质与判定
好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生，清晰直观，便于学生理解和记忆，理清文章脉络。
求证：OC平分∠AOB（C点在∠AOC的平分线上）