线性代数n维向量空间小结

为零的数 k 1 , k 2 , L , k r , 使 k 1α 1 + k 2 α 2 + L + k r α r = 0 考虑线性方程
k 1 x1 + k 2 x 2 + L + k r x r = 0 因为 r ≥ 2 , 它必有非零解 , 设 ( t 1 , t 2 , L , t r )为任一非 零解 , 则对任意向量 β , 都有
关于向量空间和子空间: 基，维数。 关于向量空间和子空间: 维数。 组(I)无关，组(I)可由(II)表出， (I)无关， (I)可由(II)表出， 无关 可由(II)表出 则组(I)的个数< (II)的个数 (I)的个数 的个数。 则组(I)的个数<组(II)的个数。
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四、 { X AX = 0} 解空间，维数：n - R( A)
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解二
1 0 − 1 Q α 1 = − 2 ,α 2 = 2 ,α 3 = 0 , 3 − 5 2 0 − 1 1 0 , ∴ 矩阵A = (α 1 ,α 2 ,α 3 ) = − 2 2 3 −5 2
当P ≠ 0，
P
α1,α2,α3 ) = (α1 α2,α2 α3,α3 +α1) P−1 ＋ ＋ (
组 1 α2,α2 α3,α3 +α1与 1， 2， 3等 。 α＋ ＋ α α α 价
当P＝时 R(α1 +α2,α2 +α3,α3 +α1) 0 ， in ≤ m { R(α1,α2,α3 ) , R(P)} < 3
即向量方程
k 1α 1 + k 2 α 2 + L + k r α r + (k 1 t 1 + k 2 t 2 + L + k r t r )β = 0
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是否有某组不全为零的 数 k 1 , k 2 , L , k r , 而使得对 每个 β 恒有非零解 ,因此可得如下证明 .
证明 因为 α 1 , α 2 , L , α r 线性相关 , 所以存在不全
(α1,α2,L,αm) P
P ≠ 0， 价 ， 。
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典 型
例 题
一、向量组线性关系的判定 二、求向量组的秩 三、向量空间的判定 四、基础解系的证法 五、解向量的证法
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一、向量组线性关系的判定
研究这类问题一般有两个方法 方法1 方法1 从定义出发
令 k 1 α 1 + k 2 α 2 + L k m α m = 0, a11 a 21 a m1 0 a12 a 22 am 2 0 = k1 + k 2 + L + k m M M M M 0 a1 n a2n a mn
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例：α1 ,L,α n ∈ 无关 ⇔ 任一n维向量可由α1 ,L,α n线性表出；
n
⇒ 证： ) : 是最大无关组，显然。 ⇐) : ε1， ,ε n可由其表出； L
α1， ,α n可由ε1， ,ε n 表出； L L
等价。所以秩相等。
论设 量 T 秩 r 则中 意个 性 关 结 : 向 组的 为， T 任 r 线 无 向 均 T 最 无 组 的 量 为的 大 关 。
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证明 不失一般性 , 设 α i1 , α i 2 , L , α i r 是 α 1 , α 2 , L ,
α s 中的任意 r个线性无关的向量 , 于是对于任意 的 α k ( k = 1,2, L , s ),向量组 α i1 , α i 2 , L , α i r , α k 线性
L , α m 线性无关 .
(∗)
若线性方程组 (∗ )只有唯一零解 , 则 α 1 , α 2 , 若线性方程组 (∗ )有非零解 , 则 α 1 , α 2 , L , α m 线性相关 .
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方法２ 方法２
利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 系判定
给出一组 n维向量 α 1 ,α 2 ,L ,α m , 就得到一个 相应的矩阵 A = (α 1 ,α 2 ,L ,α m ), 首先求出 R( A). 若 R( A) = m , 则α 1 ,α 2 ,L ,α m 线性无关 , 若 R( A) < m , 则α 1 ,α 2 ,L ,α m 线性相关 .
2.
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = 0 LLL ai1 x1 + ai 2 x2 + L + ain xn = 1 对i = 1,2,L n LLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = 0 ⇔ A ≠0
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证 ε1， 2，， n可 α1， 2，， n线 ： ε L ε αL α
为零的数 t 1 , t 2 , L , t r , 使对任何向量 β 都有 α 1 + t 1 β ,α 2 + t 2 β ,L ,α r + t r β ( r ≥ 2) 线性相关 . 分析 我们从定义出发 , 考察向量方程
k 1 (α 1 + t 1 β ) + k 2 (α 2 + t 2 β ) + L + k r (α r + t r β ) = 0
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例3 已知向量组 α 1 , α 2 , L , α s 的秩是 r , 证明 : α 1 ,
α 2 , L , α s 中任意 r个线性无关的向量均构 成它的
一个最大线性无关组 .
分析 证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是： 关组的基本方法就是： 根据最大线性无关组的定义来证， 根据最大线性无关组的定义来证，它往往还 与向量组的秩相联系． 与向量组的秩相联系．
第四章 n维向量空间小结 维向量空间小结
n维向量空间 维向量空间 线性方程组
主要内容： 主要内容： 一．两个重要概念： 两个重要概念：
线性相关性： 本质上考察 x1α1 + x2α 2 + L + xnα n = 0 是否“只有”x1＝L＝xn＝0 时成立； 线性表出：
•8†ð: 0 组，⋅ α1 +L +0 ⋅ α n = 0 ⇒ α1 ,L,α n线 关。
×
2
二、 (1) 向量组α1 ,α 2 ,L,α n线性相关 ⇔ AX = 0有非零解，A = (α1 ,L,α n )
⇔ R( A) < n
n: 个数， 个数。
矩阵 组线 关⇔
组 组
。 < 个数
3
相关结论： 相关结论：
一个向量线性无关 ⇔ 非零向量 两个向量线性无关 ⇔ 不成比例 向量个数 > 向量维数 ⇒ 相关 部分相关 ⇒ 整体相关，整体无关 ⇒ 部分无关 部分无关
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k 1α 1 + k 2 α 2 + L + k r α r + (k1 t1 + k 2 t 2 + L + k r t r )β = 0
由 k 1 , k 2 , L , k r 不全为零得知 : α 1 + t 1 β ,α 2 + t 2 β ,L ,α r + t r β 线性相关 .
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0 − 1 1 1 0 − 1 初等行变换 A = − 2 2 0 ~ 0 2 − 2 3 −5 2 0 0 0
R ( A ) = 2 < 3, 故向量组 α 1 ,α 2 ,α 3 线性相关 .
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例2
设 α 1 , α 2 , L , α r 线性相关 , 证明 : 存在不全
， ，
α1， 2，， n可 ε1， 2，， n线 αL α εL ε
组 价 ， 。
1.
α1 α 2，α 2＋α 3， ，α n−1 α n ,α n＋α1 关 ？ ＋ L ＋
(1 n为 数 ) ： (2)n为 数 线 ： 关 。 关⇔α1， 2，， n线 αL α 关 。
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n=3 ， 时 1 0 1 α1 α2,α2 α3,α3 +α1) = (α1,α2,α3 ) 1 1 0 ( ＋ ＋ 0 1 1
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整理得到
− k 3 = 0, k1 = 0, − 2 k1 + 2 k 2 3 − 5 + 2 = 0. k1 k2 k3
−1 0 = 0, 2
(∗)
Q 线性方程组 (∗ )的系数行列式 1 −2 3 0 2 −5
∴ 线性方程组 (∗ )必有非零解 , 从而 α 1 , α 2 , α 3 线性相关 .
P
当P = lm−1≠ 0， 可 时 两 ，
组 价 ， 关 。
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4.
α1 = β 2 + β 3 + L + β m ,α 2 = β1 + β 3 + L + β m ,L, α m = β1 + β 2 + L + β m−1， 两 组 关系。 0 1 1 1 1 0 1 1 ŽY ( β1, β2,L βm ) = ( α1,α2,Lαm ) : , , 1 1 0 1 1 1 1 0
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例１
研究下列向量组的线性相关性 1 0 − 1 α 1 = − 2 ,α 2 = 2 ,α 3 = 0 . 3 − 5 2
解一
令 k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 = 0, 即 1 0 − 1 0 k1 − 2 + k 2 2 + k 3 0 = 0 3 − 5 2 0