2019年江苏省高三上学期期末数学试题分类：应用题【精品版】

十、应用题
（一）试题细目表
1.（南通泰州期末·18）
如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O .规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F .（道路宽度忽略不计）
【答案】【解】以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系. （1）直线PB 的方程为2y x =，
半圆O 的方程为222
40x y +=(0)y ≥，
由222
2,40(0),y x x y y =⎧⎨+=≥⎩
得y =所以，点P 到AD 的距离为.
（2）①由题意，得(40cos ,40sin )P θθ. 直线PB 的方程为
sin 2
80(40)cos 1
y x θθ++=
++，
令0y =，得
80cos 8040sin 2E x θθ+=
-+80cos 40sin sin 2
θθ
θ-=+.
直线PC 的方程为sin 2
80(40)cos 1
y x θθ-+=--，
令0y =，得80cos 8040sin 2F x θθ-=
++80cos 40sin sin 2θθ
θ+=+.
所以，EF 的长度为
()F E f x x θ=-80sin sin 2θθ=
+，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为
1180sin 80802sin 2S θθ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪
+⎝⎭6400
sin 2
θ=+， 区域Ⅱ的面积为
2140sin 2S EF θ=⨯⨯180sin 40sin 2sin 2θθθ⎛⎫=⨯⨯ ⎪+⎝⎭21600sin sin 2
θθ=
+， 所以2121600sin 6400
sin 2
S S θθ++=
+(0)2πθ<<. 设sin 2t θ+=，则23t <<，
2121600(2)6400
t S S t
-++=
. 8
1600(4)t t
=+-4)≥1)=.
当且仅当t =，即sin 2θ=时“”成立.
所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积12S S +的最小值为21)m .
答：当sin 2θ=时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大.
2.（无锡期末·17）
如图，点C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD 为海岸线，3
CAB π
∠=
，AB BD ⊥，BC 是以A
为圆心，半径为1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从C 通往海岸的观光专线CP PQ -，其中P 为BC 上异于,B C 的一点，PQ 与AB 平行，设PAB θ∠=.
（1）证明：观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小；
（2）已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路CP 的单位成本的2倍.当θ取何值时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低？请说明理由. 【答案】解：（1）由题意，3
CAP π
θ∠=
-，所以3
CP π
θ=
-，
又cos 1cos PQ AB AP θθ=-=-， 所以观光专线的总长度
()1cos 3
f π
θθθ=
-+-cos 13
π
θθ=--+
+，03
π
θ<<
，
因为当03
π
θ<<
时，'()1sin 0f θθ=-+<，
所以()f θ在(0,
)3
π
上单调递减，
即观光专线CP PQ -的总长度随θ的增大而减小. （2）设翻新道路的单位成本为(0)a a >， 则总成本()(
22cos )3
g a π
θθθ=-+-(2cos 2)3
a π
θθ=--+
+，03
π
θ<<
，
'()(12sin )g a θθ=-+，
令'()0g θ=，得1sin 2θ=，因为03πθ<<，所以6
πθ=， 当06
π
θ<<
时，'()0g θ<，当
6
3
π
π
θ<<
时，'()0g θ>.
所以，当6
π
θ=时，()g θ最小.
答：当6
π
θ=时，观光专线CP PQ -的修建总成本最低.
3.（镇江期末·17）
如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC 与BD 焊接而成，焊接点D 把杆
AC 分成 AD , CD 两段，其中两固定点A ，B 间距离为1米，AB 与杆 AC 的夹角为60︒，杆AC 长为1米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是2a 元
/米，制作杆BD 成本是4a 元/米.设∠ADB = α，则制作整个支架的总成本记为 S 元.
（1）求S 关于α的函数表达式，并求出α的取值范围； （2）问AD 段多长时，S 最小？
【答案】在△ABD 中,由正弦定理得12sin sin sin()33BD AD
ππαα==
-，
所以1
2
BD AD =
=+，
则11)2[1)]422S a a α=++-+
3
)2
a =+，
由题意得2(,)33
ππ
α∈
（20
1
cos 4
α=
所以当1
cos 4
α=
时，S 最小，
此时15sin 42sin 210
AD ααα=
=+=
答：（1）S 关于α的函数表达式为3
(
)2sin 2
S a αα=+，且
2(,)33ππα∈；
（2）当510
AD =
时S 最小. 4.（扬州期末·17）
如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P 、Q 分别在射线OA 和OB 上。

经测量得，扇形OPQ 的圆心角（即∠POQ ）为
3
2π、半径为1千米。

为了方便菜农经营，
打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA 、OB 交于M 、N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点 。

设∠POS= （单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计. (1) 试将公路MN 的长度表示为 的函数，并写出 的取值范围： (2) 试确定 的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值.
【答案】解：⑴因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN .
在RT OSM 中，因为OS =1，∠MOS=α，所以SM =tan α， 在RT
OSN 中，∠NOS=
23πα-，所以SN=2tan()3
π
α-，
所以22tan tan()
3MN παα=+-=
，.………4分 其中
6
2
π
π
α<<
..………6分
⑵因为
6
2
π
π
α<<
10α->，
令10t α=->，则tan 1)3
t α=
+，
所以4
2)MN
t t
=
++，..………8分
由基本不等式得2)MN ≥
=，………10分 当且仅当4
t t
=
即2t =时取“=” . .………12分
此时tan α
=6
2
π
π
α<<
，故3
π
α=
. . .………13分
答：⑴2tan tan()3MN παα=+-=
，其中62ππα<<
⑵当3
π
α
=
时，MN 长度的最小值为 .. .………14分
注：第⑵问中最小值对但定义域不对的扣2分
5.（常州期末·17）
已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光从M 发出，小明在地面上的影子记作AB'．
（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积； （2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，3
π
1=
∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．
（第17题）
【答案】解：（1）由题意AB OM ∥，
' 1.81
' 3.62AB AB OB OM ===
，3OA =，所以'6OB =，
小明在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为22
6327()πππ⨯-⨯=平方米；
（2）经过t 秒，小明走到了0A 处，身影为00'A B ，由（1）知
000'1
2
A B AB OB OM ==，所
以000()'f t A B OA ===
化简得()10f t t =<≤
，()f t =32t =时，()f t
的最小值为2，
答：()10f t t <≤，当3
2
t =（秒）时，()f t
（米）． 6.（南京盐城期末·17）.
有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD （如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．
能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF 是以O 为圆心、120EOF ∠=︒的扇形，
且弧»EF ,¼GH 分别与边BC ,AD 相切于点M ,N ．
（1）当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积； （2）当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
【答案】解：（1）在图甲中，连接MO 交EF 于点T ．设OE OF OM R ===，
在Rt OET ∆中，因为1602EOT EOF ∠=
∠=︒，所以2
R
OT =，则2R MT OM OT =-=．
M
N 第17题-图甲
F
H
第17题-图乙
M
从而2
R
BE MT ==
，即22R BE ==.……………2分 故所得柱体的底面积OEF OEF S S S ∆=-扇形
22114sin120323
R R ππ=-︒=……………4分 又所得柱体的高4EG =， 所以V S EG =⨯
=
163
π
-答：当BE 长为1分米时，折卷成的包装盒的容积
为
163
π
-. …………………6分 （2）设BE x =，则2R x =，所以所得柱体的底面积
OEF OEF S S S ∆=-
扇形222114sin120(323
R R x π
π=-︒=.
又所得柱体的高62EG x =-， 所以V S EG =⨯
=328(
3)3
x x π
--+，其中03x <<.…………………10分 令3
2
()3,(0,3)f x x x x =-+∈，则由2
()363(2)0f x x x x x '=-+=--=， 解得2x =.…………………12分 列表如下：
所以当
x =答：当BE 的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大.…………………14分
7.（苏州期末·17）
如图，B ,C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B ，C 之间的距离为100m
，海岛A 在城市B 的正东方50km 处．从海岛A 到城市C ，先乘船按北偏西θ角（π2αθ<≤
，其中锐角的正切值为1
2）航行到海岸公路P 处登陆，再换
乘汽车到城市C ．已知船速为25m/h ，车速为75m/h .
（1）试建立由A 经P 到C 所用时间与θ的函数解析式； （2）试确定登陆点P 的位置，使所用时间最少，并说明理由．
A
M N
【答案】解（1）由题意，轮船航行的方位角为θ，所以90BAP θ∠=︒-，50AB =， 则5050cos(90)sin AP θθ
=
=
︒-，50sin(90)50cos 50tan(90)cos(90)sin BP θθ
θθθ︒-=︒-==︒-． 50cos 100100sin PC BP θ
θ
=-=-
． ················································································· 4分 （注：AP ，BP 写对一个给2分） 由A 到P 所用的时间为12
25sin AP t θ=
=
， 由P 到C 所用的时间为250cos 10042cos sin 7533sin t θ
θθθ
-
=
=-， ········································· 6分 所以由A 经P 到C 所用时间与θ的函数关系为
12242cos 62cos 4
()sin 33sin 3sin 3
t f t θθθθθθ-==
+=++-． ·
················································ 8分 函数()f θ的定义域为(,]2
απ
，其中锐角的正切值为12
. （2）由（1），62c o s 4()3sin 3f θθθ-=
+，(,]2
θαπ
∈，
2(13cos )()9si 6n f θθθ-'=
，令()0f θ'=，解得1cos 3θ=
， ··············································· 10分 设θ0∈(0,)2
π
，使01cos 3
θ=
··········································· 12分 所以，当0θθ=时函数f (θ)取得最小值，此时BP =
0050cos sin θθ=≈17.68 km ，
答：在BC 上选择距离B 为17.68 km 处为登陆点，所用时间最少． ················· 14分 （注：结果保留根号，不扣分）
8.（苏北四市期末·17）
某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的
高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10cm ，设∠BAO=θ，π
02
θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2．
⑴求S 关于θ的函数关系式；
⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．
【答案】（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为
E ，
在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分 在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅， …………………………………………………………4分 所以1
220sin cos 20cos 2
S θθθ=
⋅π⋅⋅ 2400sin cos θθ=π，(0)2
π
θ<<
……………………6分
（2）要使侧面积最大，由（1）得：
23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<<
则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=
得：x =
当x ∈时，()0f x '>
，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x
在区间
上单调递增，在区间上单调递减，
图1
（第17题）
所以()f x 在x =
时取得极大值，也是最大值；
所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值，…………………………11分
此时等腰三角形的腰长20cos AB θ====
答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB ．…………14分。