数学人教B必修4课后导练：3两角和与差的余弦 含解析

课后导练
基础达标
1.cos(-15°)的值为（ ） A.462- B.4
26- C.462+ D.4
62+- 解析：cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°=
462+. 答案：C
2.cos78°·cos18°+sin78°·sin18°的值为（ ） A.21 B.3
1 C.23 D.33 解析：原式=cos(78°-18°)=cos60°=2
1. 答案：A
3.化简cos(α+β)·cosα+sin(α+β)·sinα得（ ）
A.cosα
B.cosβ
C.cos(2α+β)
D.sin(2α+β)
解析：原式=cos(α+β-α)=cosβ.
答案：B
4.若sinα-sinβ=1-23,cosα-cosβ=-2
1,则cos(α-β)的值为（ ） A.2
1 B.23 C.43 D.1 解析：将两式平方后相加，可得2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=2-3,即有cos(α-β)=
23. 答案：B
5.若sin(π+θ)=53-
,θ是第二象限角，sin(2π+φ)=552-,φ是第三象限角，则cos(θ-φ)的值是（ ） A.55- B.55 C.25
511 D.5 解析：由sin(π+θ)=53-,得sinθ=53,又θ是第二象限角，得cosθ=5
4-.
由sin(2
π+φ)=552-,得cosφ=552-,又φ是第三象限角,得sinφ=55-, 则cos(θ-φ)=cosθcosφ+sinθsinφ=
55. 答案：B
6.若cos （α-β）=
3
1,则(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=___________. 解析：(sinα+sinβ)2+(cosα+cosβ)2=2+2cos(α-β)=3
8. 答案：38 7.在△ABC 中，若sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 的形状为________.
解析：∵sinAsinB<cosAcosB,
∴cos(A+B)>0.又A+B+C=π,
∴cos(π-C)>0.∴cosC<0.
∴△ABC 为钝角三角形.
答案：钝角三角形
8.已知α、β均为锐角，则sinα=
55，cosβ=1010，则α-β的值为_________. 解析：∵α、β均为锐角，
∴cosα=552.sinβ=10
103. 又sinα<sinβ,∴α<β.
∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=2
2. ∴α-β=4
π-
. 答案：4π- 综合运用
9.已知tanα=34,cos(α+β)=1411-
,α、β均为锐角，求cosβ的值. 解：∵tanα=34,α为锐角，
∴sin 2α=48cos 2α=48(1-sin 2α).
∴sinα=734.∴cosα=7
1.
又cos(α+β)=1411-，及0°<α+β<180°, ∴sin(α+β)=1435. ∴cosβ=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)·cosα+sin(α+β)sinα=1411-×71+1435×734=2
1. 10.已知锐角α、β满足sinα=734,sin(α+β)=14
35,求β. 解：由已知锐角α、β满足sinα=
734,sin(α+β)=1435，得 cosα=7
1)734(12=-, 又sinα>sin(α+β),故α+β必为钝角，
∴cos(α+β)=-14
11)1435(12-=-. ∴cosβ=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cosα+sin(α+β)·sinα=1411-
×71+734×1435=21. ∴β=60°.
11.使cosx-3sinx=
123--m m 有解，其中x ∈［-2π,2
π］,求m 的范围. 解：由cosx-3sinx=123--m m ,得2cos(3
π+x)=123--m m . 由x ∈［-2π,2π］,则3
π+x ∈［6π-,65π］, ∴2cos(3
π+x)∈［-3,2］. ∴-3≤1
23--m m ≤2. 解得45≤m≤3+3. 拓展探究
12.重量为G 的小车在地面上，卷扬机通过定滑轮牵引着它（如图），若设小车和地面间的动摩擦因数为μ，问牵引角φ多大时，用力最小？
解：可由物理学中的受力分析作图,由平衡条件得⎪⎩
⎪⎨⎧==-+=-.,0sin ,0cos N f G F N f F μϕϕ
即得F=)sin
sin cos (cos 1sin cos 2ϕαϕαμμϕμϕμ++=+G G )cos(12
ϕαμμ-+=G (μ=tanα),
要使F 最小,分母应最大,即cos(α-φ)=1,即α=φ. 又tanα=μ,所以当φ=arctanμ时,F 最小,
最小值为F min =
21μμ+G =Gsinα=Gsinφ.。