广东省石门中学、顺德一中、佛山一中高一数学下学期期末三校联考试题

2015-2016高一下学期期末石门中学、顺德一中、佛山一中三校联考
数学
2016年7月
本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间150分钟。

一、选择题．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡上．
1.
（ ） A C ．22bc ac < D ．22b ab a >>
2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，
若2222a b c +=
，则cos C
的最小值为（ ）
3．下列叙述错误的个数是 （ ）
A ． 频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一定会越来越接近概率
B ． 有甲乙两种报纸可供某人订阅，事件B:”至少订一种报”与事件
C ：“至多订一种报”是
对立事件
C ． 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
D ．从区间()10,10-内任取一个整数，求取到大于1且小于5的概率模型是几何概型 A.1 B.2 C.3 D.4
4.一元二次不等式02>++c bx ax 的解集是
，则02<+
+a bx cx 的解集是（ ）。

5.设R y x ∈,，)4,2(),,1(),1,(-===c y b x a ，若c b c a //,且⊥则x y +=( )
A.0
B.1
C.2
D.-2
6.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则131211a a a ++= ( ）
A
．90 D
．75
7．则 错误!未找到引用源。

( )
8. 在平行四边形 错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

与 错误!未找到引用源。

交于点 错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

是线段 错误!未找到引用源。

的中点，错误!未找到引用源。

的延长线与 错误!未找到引用源。

交于点 错误!未找到引用源。

．若 错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，则 错误!未找到引用源。

( ) A.
b a 4143+ B.b a 3231+ C. b a 4
341+ D. b a 3132+
9. 在 错误!未找到引用源。

中，错误!未找到引用源。

是以 错误!未找到引用源。

为第三项，错误!未找到引用源。

为第七项的等差数列的公差，错误!未找到引用源。

是以 3
1
为第三项，错误!未找到引用源。

为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 ( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 以上都不对 10. 若02
π
α<<
，31
)3
cos(=
+απ
，则αcos
（ ）. A.
6
3
22+ B.
61
62- C.
6
1
62+ D.
63
22-
11. 设{}n a 是等比数列，公比2=q ，n S 为{}n a 的前n 项和，记)(,171
2*+∈-=N n a S S T n n
n n ，设0
n T 为数列{}n T 的最大项，则=0n （ ）
A.2
B.3
C.4
D.5 12.
中，
，
的平分线
把
的面积分成 两部分，则 等
于 A. 3
1
B.
21 C. 43 D. 43或31
二、填空题．本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应的横线上．
13.已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域，⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+21
2y x y x 上的一个动点，则OM OA •的取值范围是
14.春节时，中山公园门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互不影响，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后它们第一次闪亮的时刻相差不超过1秒的概率是 15． 给出下列命题：
(1) 函数x y tan =在定义域内单调递增;
(2) 若αβ，是锐角△ABC 的内角，则sin α>cos β;
(3)
(4) 的图象.
其中正确的命题的序号是 . 16. 设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则=-5123)]([a a a f
三、解答题．本大题共6小题，满分80分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分10分) （1）若B y A x ∈∈,且均为整数，求y x >的概率。

（2）若B y A x ∈∈,且均为实数，求y x >的概率。

18. （本小题满分10分）设向量 错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

．
(1) 若a 与c b 2- 垂直，求 错误!未找到引用源。

的值；
（2 错误!未找到引用源。

的取值范围；
19．（本小题满分12分）
（ω＞0
（I ）求函数的单调递增区间)(x f ；
（II ） 在△ABC 中，角A 、B 、C 所的对边分别是a 、b 、c ，求ABC
S ∆
20.（本小题满分12 (1) 当2,1==b a 时，求函数)1(),(≠x x f 的值域，
(2) 当0=a 时，求1)(<x f 时，x 的取值范围。

21.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数
x x x f 2)(2+=的图象上，记n a 与1+n a 的等差中项为n k ．
（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若n k n
a b n ⋅=2，求数列}{n b 的前n 项和n T ；
}{n c 的任意一项
B A c n I ∈，其中1c 是B A I 中的最小数，且11511010<<c ，求}{n c 的通项公式.
22．（本小题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足下列条件：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[]D b a ⊆,，使)(x f 在[]b a ,上的值域为[]b a ,，则把
D x x f y ∈=),(叫闭函数．
（1）求闭函数3
x y -=符合条件②的区间[]b a ,；
（2
（3）已知m 是正整数，且定义在()m ,1的函数是闭函数，求正整数m 的最小值，及此时实数k 的取值范围。

数学答案
二、填空题． 13 []2,0 14 15
x
y
A B
E
C D
F
14 [解析] 设这两串彩灯在第一次闪亮时的时间分别为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪
⎧
0<x <4，0<y <4，
|x －y |≤1，作出不等式组
率为P ＝16－916＝7
16
.
表示的区域，由几何概型的概率公式得所求概
16【解析】125112255()()()(2cos )(2cos )(2cos )5f a f a f a a a a a a a π++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=，即
1251252()(cos cos cos )5a a a a a a π++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，而{}n a 是公差为
8π
的等差数列，代入1251252()(cos cos cos )5a a a a a a π++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，即)4
[cos(1033π
--a a
π
π
ππππ5cos )18cos 24cos 2(10)]4cos()8cos(cos )8cos(333333=+++=+++++-+a a a a a a 3(2cos 21)cos 48
cos a ππ
++Q 3cos )2221(a +++=的结果不含π，
2,51033ππ=∴=∴a a .22315[()](20)()()22424
f a a a πππππ
∴-=⨯---+
16
132
π= 三 解答题．
17、解：设事件A:”x>y ”
基本事件有：(1，2) ，(1，3) ，(1，4) ，(1，5)， (1，6)， (2，2)， (2，3) ，(2，4)， (2，5)， (2，6) ，(3，2) ，(3，3)， (3，4)， (3，5)， (3，6)， (4，2) ，(4，3)， (4，4)，(4，5) ，(4，6)， (5，2)，(5，3) (5，4) (5，5) (5，6)共25个。

( 3分）
（1）其中事件A 包含的基本事件有(3，2)， (4，2) ，(4，3)， (5，2) ，(5，3)， (5，4)共6∴25
6
)(=
A p ( 5分）
(2) 设事件B:”x>y ” （画图 6分）
其中事件B:”x>y
所围成的面积为图中阴影部份。

E 的坐标为(2，2)，
F 的坐标为(5，5)，B 的坐标为(2，5)
（10分） 18. （本小题满分10分）
18 （1
=0 4分
（2）
19．解析：（I 1分
2分
3分
∵()x f 的最小正周期为π，且ω＞0。

∴,1=ω……………………………………………………4分
5分
得()x f 的增区间为6分
（II
① 当︒=45B 时，︒=105C
② 当时︒
=135B ︒=15C ,
20 解：分 ①当1>x 时，即x-1>0.
分
当且仅当x=0时取等号
所以函数f(x)的值域(][)+∞∞-,73,Y …………………………5分
(2)当a=0⇔0)1)(2(<--x bx ……………7分
① 8分
② 9分
③ 10分
④ ………11分
⑤ 12分
21.解：（I ）Q 点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2
+=的图像上，
∴2*2()n S n n n N =+∈, …………………………………1分
当n 2≥时，12 1.n n n a S S n -=-=+ …………………………………2分 当ｎ＝1时，113a S ==满足上式，………… ……………………3分 所以数列}{n a 的通项公式为2 1.n a n =+ …………… …………………4分
（II ）∵n k 为n a 与1+n a 的等差中项
.1
4)12(+⋅+=n n n b ………………5分
14324)12(474543+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ ①
由①×4，得2
5434)12(4745434+⋅+++⋅+⋅+⋅=n n n T Λ
①-②得：
2
1434)12()444(2483++⋅+-++++=-n n n n T Λ
……………………7分
………………………………8分 （III
∴B B A =I
∵B A c n I ∈，1c 是B A I 中的最小数，
16c ∴=.…………9分
{}n c Q 是公差为4的倍数的等差数列，*1046()c m m N ∴=+∈.
又10110115c <<Q ，
*
11046115
m m N
<+<⎧∴⎨∈⎩,解得ｍ＝27.所以10114c =，…………… ……………10分
设等差数列的公差为d ，则11分
6(1)12126n c n n ∴=++⨯=-，
∴126n c n =-. ……………………………………………12分
22.解：22.解：（1）由题意，3
x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩
⎪⎨⎧>-=-=a b b a a b 33
……………1分
解得⎩
⎨
⎧=-=11
b a 所以，所求的区间为[-1，1] ……………3分
（2）取,10,121==x x
即)(x f 不是),0(+∞上的减函数。

取
即)(x f 不是),
0(+∞上的增函数…………5分
所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。

……6分 （3则存在区间[]b a ,，使函数)(x f 的值域为[]b a ,，在[]b a ,，b a ,∴为方程7分
在()m ,1上有两个不等的实根。

………8分 ∵函数）在（
2,1)(x g 上递减，∴2>m Θg(x)在),2(m 递增,。

而函数y=g(x)与k y =
在()m ,1有两个交点。

所以正整数m 的最小值为3，
12分。