江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：不等式选讲(含解析)
【2020年江苏省高考数学考点探究】专题79 不等式选讲(理)(解析版)
专题79 不等式选讲（理）专题知识梳理1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)加(减)：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)乘(除)：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)乘方：a >b >0⇒a n >b n ，其中n 为正整数，且 n ≥2.(6)开方(取算术根)：a >b >0⇒n a >nb ，其中n 为正整数，且n ≥2. (7)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (8)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . 2．含绝对值不等式的解法(1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法：①c >0，则|ax ＋b |≤c 的解集为－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 的解集为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a 、b 的值解出即可．②c <0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R .(2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法，解这类含绝对值的不等式的一般步骤是： ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根． ②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间．③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集． ④这些解集的并集就是原不等式的解集． 3．不等式证明的基本方法 (1)比较法； (2)综合法与分析法； (3)反证法和放缩法． 4．基本不等式与柯西不等式定理1：设a 、b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋＋a n n ≥na 1a 2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．定理5：(柯西不等式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．定理6：(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|等号当且仅当α，β共线时成立．5．利用不等式求最大(小)值对于一些特殊的函数，有时需要运用平均不等式、柯西不等式求它们的最大(小)值． 6．运用数学归纳法证明不等式某些与自然数有关的不等式，可以用数学归纳法进行证明．考点探究【例1】 (1)解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，求a 的值．【解析】 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3； 当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}． (2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.【例2】（1）已知a ，b ，c 为正实数，1a 3＋1b 3＋1c3＋27abc 的最小值为m .(2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【解析】 (1) 因为a 、b 、c >0，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋27abc ＝3abc ＋27abc ≥23abc·27abc ＝18，当且仅当a ＝b ＝c ＝313时，取“＝”，所以m ＝18.(2)因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.【例3】已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3【解析】 (1)因为x >0，y >0，x －y >0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2 ＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )21(x －y )2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 题组训练1.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，求实数a 的取值范围． 【解析】 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.2.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝6，求4x 2＋y 2的最小值．【解析】 根据柯西不等式的性质可得：(12＋12)≥(2x ＋y )2＝62，化为：4x 2＋y 2≥18，当且仅当2x ＝y ＝3时取等号．∴4x 2＋y 2的最小值为18.3.已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥a ＋b ＋c .【证明】 (证法1：基本不等式)∵a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a 2c ≥2a ，∴a ＋b 2a ＋b ＋c 2b ＋c ＋a 2c ≥2a ＋2b ＋2c ，∴b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥a ＋b ＋c .(证法2：柯西不等式)∵(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥(b ＋c ＋a )2，∴b 2a ＋c 2b ＋a2c ≥a ＋b ＋c . 4.设a 、b 、c 均为实数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b.【证明】 ∵a ，b ，c 均为实数，∴12(12a ＋12b )≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．5.（2018·常州期末）已知0,0a b >>，求证：3322a b a b++．【证明】0,0a b >>，不妨设0a b >≥，则5522a b ≥，1122a b ≥，由排序不等式得5151515122222222a ab b a b b a +≥+，所以51515151222222222222a ab b a b b aa b a b ++≥=++．6.（2018·苏锡常镇二模）已知实数a 、b 、c 满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：－23≤c ≤1【解析】证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1. 所以－23≤c ≤1.7.（2018·苏北四市期末）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【证明】因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d ++++++++++++++2≥2()1a b c d =+++=，又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．。
专题13 2020版不等式选讲(解析版)
专题13 不等式选讲2020真题模拟篇1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．【解析】（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像．()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--．由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方，故不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-．2．【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )= |x -a 2|+|x -2a +1|．（1）当a =2时，求不等式f (x )≥4的解集； （2）若f (x )≥4，求a 的取值范围．【解析】（1）当2a =时，72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式()4f x ≥的解集为311{|}22x x x ≤≥或．（2）因为222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-，故当2(1)4a -≥，即|1|2a -≥时，()4f x ≥．所以当a ≥3或a ≤-1时，()4f x ≥．当-1<a <3时，222()|21|(1)4f a a a a =-+=-<， 所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．3．【2020年高考全国III 卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =． （1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{,,}a b c ． 【解析】（1）由题设可知，a ，b 均不为零，所以 22221[()()]2ab bc ca a b c a b c ++=++-++2221()2a b c =-++0<.（2）不妨设max{a ，b ，c }=a ，因为1,()abc a b c ==-+，所以a >0，b <0，c <0.由2()4b c bc +≤，可得34a abc ≤，故a ≥，所以max{,,}a b c ≥.4．【2020年高考江苏】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【解析】当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203x <<； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤； 当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2|2}3{x x -<<．2020模拟篇1．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】已知函数()1=-f x x .（1）解不等式()(1)4f x f x ++≥；（2）当0x ≠，x ∈R 时，证明：1()()2f x f x-+≥.【答案】（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）由()(1)4f x f x ++≥得14x x -+≥，当1x >时，得214x -≥，所以52x ≥； 当01x ≤≤时，得14≥，所以x ∈∅； 当0x <时，得124x -≥，所以32x ≤-； 综上，此不等式的解集为：35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）由1()()f x f x -+=111x x++- ， 由绝对值不等式得1111x x x x++-≥+， 又因为1,x x 同号，所以11x x x x+=+，由基本不等式得：12x x+≥，当且仅当1x =时，等号成立， 所以1()()2f x f x-+≥.【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式解法，以及合理应用绝对值三角不等式和基本不等式求最值是解答本题的关键，着重考查了分类讨论思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力. 2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考】设a 、b 、c 均为正数， （Ⅰ）证明：222a b c ab bc ca ++≥++；（Ⅰ）若1ab bc ca ++=，证明a b c ++≥【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅰ）见解析【解析】（Ⅰ）因为a ，b ，c 均为正数，由重要不等式可得222a b ab +，222b c bc +，222c a ca +，以上三式相加可得222222222a b b c c a ab bc ca +++++++，即222a b c ab bc ca ++++；（Ⅰ）因为1ab bc ca ++=，由（Ⅰ）可知2221a b c ++，故2222()222123a b c a b c ab bc ca ++=++++++=，所以3a b c ++得证．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式和变形，考查推理能力，属于基础题． 3．【2020·四川省泸县第二中学高三二模】已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值.【答案】（1）[]0,1（2【解析】（1）因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以32a b +=，从而9122a b +++=，从而()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()21222339129a b a b ⎡⎡⎤+⎛⎫+=++≥+=⎢⎢⎥ ⎪++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣ 当且仅当()21212a b a b ++=++，即1114,22a b -==时，等号成立， ∴1212a b +++. 【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.4．【2020·辽宁省高三三模】设函数()234f x x x =-+-． （1）解不等式()2f x >；（2）若()f x 最小值为m ，实数a 、b 满足343a b m +=，求()222a b -+的最小值．【答案】（1）{|1x x <或2}x >；（2）1625． 【解析】（1）()46,2423422,23446,3x x f x x x x x x x ⎧⎪-≥⎪⎪=-+-=-<<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩，由()2f x >得2462x x ≥⎧⎨->⎩或423222x x ⎧<<⎪⎨⎪->⎩或43462x x ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩， 得2x >或∅或1x <，∴不等式解集{|1x x <或2}x >．（2）根据图象知：()min 4233f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴342a b +=， 所求可看做点()2,0到直线3420x y +-=的距离的平方，45d ==． ∴()222a b -+的最小值为1625．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为点到直线的距离是解题的关键.5．【2020·山西省高三其他】已知函数()36f x x =+，()3g x x =-. （1）求不等式()()f x g x >的解集；（2）若()()232f x g x a a +≥-对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）[]3,5-. 【解析】（1）由()()f x g x >，得363x x +>-， 平方得()()22363x x +>-，得229363669x x x x ++>-+，得2842270x x ++>， 得()()29430x x ++>，解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）若()()232f x g x a a +≥-恒成立，即236392x x a a ++-≥-恒成立.只需2min (3633)2++-≥-x x a a 即可. 而()3639363915x x x x ++-≥+--=，所以2215a a -≤，得22150a a --≤， 解得35a -≤≤.故实数a 的取值范围是：[]3,5-.【点睛】本题考查了含有绝对值不等式的解法、含参不等式的恒成立问题，考察了数学运算技能和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.6．【2020·河北省高三其他】已知函数()122f x x x =++-，()13g x x x m m =-++-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅰ）对于任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅰ）31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】（Ⅰ）()31,11223,1131,1x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩，(],1∴-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()()12min f x f ∴==，故当1x =时，()f x 取得最小值2. （Ⅰ）由（Ⅰ）得()min 2f x =，而()1313g x x x m m x x m m =-++-≥----13m m =+-， 当1x =时等号成立，由题意知，对任意1x R ∈，存在2x R ∈使得()()12f x g x ≥成立， 则()()min min f x g x ≥， 即213m m ≥+-，所以2220(2)(13)m m m +≥⎧⎨+≥+⎩，解得：3142m -≤≤， 即m 的取值范围为31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查根据分类讨论和单调性求函数的最值，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质和根据不等式恒成立问题求参数取值范围，考查转化思想和运算能力． 7．【2020·山西省太原五中高三月考】已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R . （1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数a ，b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 【答案】（1）{}|05x x ≤≤（2）证明见解析【解析】(1)()|4||1|f x x x =-+-25,43,1425,1x x x x x ->⎧⎪=⎨⎪-+<⎩. ()5f x ,∴2554x x -⎧⎨>⎩或14x 或2551x x -+⎧⎨<⎩, 45x ∴<或14x 或01x <,05x ∴,∴不等式的解集为{|05}x x ;(2)因为()|4||1||(4)(1)|3f x x x x x =-+-≥-+-=(当且仅当14x ≤≤等号成立),所以()f x 的最小值3M =,即223a b +=, 所以()()222222111112121216a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++⨯ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭1(26≥+⨯ 23=(当且仅当21a =,22b =等号成立). 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值,属于中档题.8．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他】已知函数24()|2|(0)a f x x x a a+=+++<，()8|3|g x x =-+.（1）当1a =-时，求不等式()11f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[2,1]--，求a 的取值集合.【答案】（1）[]4,7-；（2）{}2-【解析】（1）当1a =-时，()32,2527,2523,5x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，由32112x x -≤⎧⎨≤-⎩得：42x -≤≤-；由71125x ≤⎧⎨-<<⎩得：25x -<<；由23115x x -≤⎧⎨≥⎩得：57x ≤≤， 综上所述：()11f x ≤的解集为[]4,7-.（2）由题意可知：当[]2,1x ∈--时，24283a x x x a++++≤-+恒成立， 即24832a x x x a++≤-+-+恒成立， 0a <，240a a +∴<，当[]2,1x ∈--时，240a x a++<，30x +>，20x +≥， 2483232a x x x x a +∴--≤----=-，243a x a+∴≥-在[]2,1--上恒成立， 244a a+∴≥-，又0a <，可解得：2a =-， a ∴的取值集合为{}2-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解；关键是能够根据解集的子集将问题转化为在不等式在子集范围内恒成立问题的求解，进而通过分离变量将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系求解问题.9．【2020·广东省湛江二十一中高三月考】函数()f x x a x b c =++-+，其中0a >，0b >，0c >．（1）当1a b c ===时，求不等式()4f x >的解集；（2）若()f x 的最小值为3，求证：2223b c a a b c++≥． 【答案】（1）33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）见解析 【解析】（1）当1a b c ===时，不等式()4f x >， 即1114x x ++-+>，即113x x ++->．当1x ≥时，化为113x x ++->，解得32x >； 当11x -<<时，化为()113x x +-->，此时无解；当1x ≤-时，化为()()113x x -+-->，解得32x <-． 综上可得，不等式()4f x >的解集为：33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由绝对值三角不等式得()()()3f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=． 由基本不等式得22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥， 三式相加得222222b c a a b c a b c a b c+++++≥++， 整理即得2223b c a a b c a b c++≥++=，当且仅当1a b c ===时，等号成立． 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，绝对值三角不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．【2020·银川高级中学高三月考】已知()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M .（1）求集合M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+.【答案】（1）(2,2)M =-；（2）证明见解析.【解析】（1）21()1121121x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩， 所以()4f x <等价于124x x <-⎧⎨-<⎩或1124x -≤≤⎧⎨<⎩或124x x >⎧⎨<⎩， 21x -<<-或11x -≤≤或12x <<，22,(2,2)x M ∴-<<=-；（2）当,a b M ∈时，即22,22a b -<<-<<，2222224()(4)4416a b ab a b a b +-+=+--22(4)(4)0a b =--<，224()(4),2|||4|a b ab a b ab ∴+<+∴+<+.【点睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明，分类讨论去绝对值是解题的关键，利用作差法证明不等式，属于中档题.11．【2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他】已知函数()=-++f x x a x b ，()0,0a b >>.（1）当1a =，3b =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为2，求证：11111a b +≥++. 【答案】（1）()4,2-；（2）证明见解析.【解析】（1）依题意136x x -++<，当1x ≥时，136x x -++<，解得2x <，即12x ≤<，当31x -≤<时，136x x -++<，解得46<成立，即31x -≤<，当3x <-时，136x x ---<，解得4x >-，即43x -<<-，综上所述，不等式的解集为()4,2-.（2）()()()f x x a x b x a x b a b a b =-++≥--+=--=+，所以2a b +=()11111111112111411411b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭. 当且仅当1a b ==时，取等号.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式证明不等式，属于基础题.12．【2020·重庆高三月考】已知函数()13222f x x a x =++-. （1）当1a =-时，解不等式()3f x x ≤；（2）当2a =时，若关于x 的不等式()421f x b <-的解集为空集，求实数b 的取值范围.【答案】（1）1{|}2x x ≥-；（2）[6,8]-.【解析】（1）当1a =-时，不等式可化为()3f x x ≤1413(2)()322x x x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-++-≤⎪⎩或3213(2)()322x x x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪+--≤⎪⎩ 或134213(2)()322x x x x ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪++-≤⎪⎩ 1124x ∴-≤<-或32x ≥ 或1342x -≤< 故不等式()3f x x ≤的解集为1{|}2x x ≥- （2）当2a =时，117()|2||23|(2)(23)|222f x x x x x =++-≥+--= （ 当且仅当1342x -≤≤时取等号），则不等式min 7[4()]4142f x =⨯= 因此4()2|1|f x b <-的解集为空集等价于2|1|14b -≤， 解得68b -≤≤故实数b 的取值范围是 [6,8]-【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、绝对值三角不等式应用，考查基本分析求解能力，属中档题.13．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模】已知a ，b ，c 均为正实数，求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=≤【答案】证明过程详见解析【解析】(1)要证()()24a b ab c abc ++≥，可证222240a b ac ab bc abc +++-≥，需证()()2222b 220a c ac a c b bc +-++-≥，即证()()220b a c a c b -+-≥，当且仅当a b c ==时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式()()24a b ab c abc ++≥成立．(2)因为,,a b c 均为正实数，12322a a +++≤=，当且仅当12a +=时，取等号， 12322b b +++≤=当且仅当12b +=时 12322c c +++≤=当且仅当12c +=时，取等号，62a b c d +++≤=≤1a b c ===时，取等号．【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．14．【2020·河南省高三三模】关于x 的不等式|x ﹣2|＜m （m ∈N*）的解集为A ，且32∈A ，12∉A ． （1）求m 的值；（2）设a ，b ，c 为正实数，且a +b +c ＝3m【答案】（1）m ＝1；（2）最大值为3．【解析】（1）∵32∈A ，12∉A ， ∴|32-2|＜m ，|12-2|≥m ， ∴12＜m 32≤， ∵m ∈N *，∴m ＝1；（2）a ，b ，c 为正实数，且a +b +c ＝3，=()311133322222a b c a b c +++++++≤++===． 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号．的最大值为3．【点睛】本题考查利用不等式的解集确定参数值，以及利用基本不等式求最值，属综合基础题. 15．【2020·宁夏回族自治区银川一中高三其他】已知()|1|1f x x =-+，()(),3123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨->⎩. （1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1[,)3-+∞；（2）(1,3).【解析】（1）不等式()23f x x ≤+，即为1123x x -+≤+.当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥，当1x <时，即化为()1123x x --+≤+，解得13x ≥-， 此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，. （2）()1131233x x F x x x ，，，⎧-+≤=⎨->⎩即()21131233x x F x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，，，，. 作出函数()F x 的图象如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图象有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<.所以实数a 的取值范围是()13，. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：不等式选讲(含解析)
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练不等式选讲1、（南京市2018高三9月学情调研）解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）若正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，求111111a b c +++++的最小值．4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）设x ，y ，z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=，求证：3147x y z ++=．6、（苏州市2019届高三上学期期中调研）已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围．7、（徐州市2019届高三上学期期中质量抽测）对于实数x ，y ，若满足｜x －1｜≤1，｜y －2｜≤1，求｜x －2y+1｜的最大值．8、（苏州市2018高三上期初调研）已知,,x y z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z ++≥++.9、（海安县2019届高三上学期期末考试）已知x ，y ，z 均为正数，且x+y+z ＝1，求222111x y z x y z+++++的最小值。
10、（南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥．11、（苏州市2019届高三上学期期末考试） 设a ，b ，c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++12、（徐州市2019届高三12月月考）已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z++≤++.13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围．16、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 18、（盐城市2019届高三第三次模拟）求不等式|1||2|24-≤+-x x 的解集.19、（南通市2019届高三练习卷（四模））已知实数x ，y ，z 满足222491212x y z ++=．证明：22222111323x y y z z ++≥++．20、（南通市2019届高三适应性考试）已知关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{}|12x x <<，其中m n ∈R ，．求证： (1)3(1)45m x n x --+--≤．参考答案1、解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分 2、解：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．……………2分 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， …………………6分 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4． ……………………10分 3、解：因为正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，所以()()()1214110a b c +++++=，所以()()()()()211112*********a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，…………5分 即111116211110a b c ++++++≥， 当且仅当231027a -=，152177b -=，8527c -=时，取最小值116210+． …10分4、解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)5、6、解：因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝(3，1)·(x ＋2，14－x )…………………3分 ≤3＋12·(x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5分当且仅当x ＋214－x ＝31,即x ＝10时取等号． …………………7分所以f (x )＋g (x )的最大值是8． …………………8分 所以a <8，即实数a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10分7、由21-+=x y (1)2(2)2----x y …………………………………………………4分(1)2(2)2≤---+x y 12225≤-+-+=x y ，…………………8分当且仅当0,3x y =⎧⎨=⎩时，取“=”.可知，12+-y x 的最大值为5.…………………………………………………10分8、证明：因为,,x y z 都是为正数，所以12x y y x yz zx z x y z⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭， 同理可得22,y z z x zx xy x xy yz y+≥+≥， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++. 9、10、【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭22222221111119111a +b +c a b c ⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 11、12、证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++…………………5分 则2221111113x y z x y z⨯++≥++, 即2223111111()3x y z x y z++≤++………………………10分 13、【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭22222221111119111a +b +c a b c ⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 14、【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤，所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号．…………………………10分 15、【解】因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤． …… 4分当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤；当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<；当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤，综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤． …… 10分16、17、解：∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥， …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立，当且仅当15a +≥， ………7分 ∴4a ≥或6a -…． ………………………………………………………………………10分 18、解：①当2x -≤时，原不等式可化为42(2)1x x ++-≤，解得73x -≤，此时73x -≤；……3分②当21x -<<时，原不等式可化为42(2)1x x -+-≤，解得x ≥1-，此时11x -<≤； ……6分③当x ≥1时，原不等式可化为42(2)1x x -+-≤，解得x ≥13，此时x ≥1. ……………9分综上，原不等式的解集为[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦U ． …………………10分19、20、【解】因为关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{}|12x x <<，所以=1+2=3=12=2m n ⨯，． ······················································3分 所以(1)3(1)4234m x n x x x --+--=-+-，由柯西不等式可得，22222(234)(21)[(3)(4)]5x x x x -+-+-+-=≤， 当且仅当234x x -=-，即16[34]5x =∈，时取等号． 所以，(1)3(1)45m x n x --+--≤． ········································10分。
2020年江苏省高考数学填空题考前压轴冲刺——专题02 不等式(恒成立与有解问题)(解析版)
2020年江苏省高考数学填空题考前压轴冲刺专题02 不等式（恒成立与有解问题）2020年江苏高考填空题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型有恒成立，有解问题，此类题型丰富多变，综合性强，有一定的难度，但只要我们理解问题的本质，就能解决这类问题，常用的知识点如下：1.若)(x f 在区间D 上存在最小值，A x f >)(在区间D 上恒成立，则A x f >min )(.2.若)(x f 在区间D 上存在最大值，B x f <)(在区间D 上恒成立，则B x f <max )(.3.若)(x f 在区间D 上存在最大值，A x f >)(在区间D 上有解，则A x f >max )(.4.若)(x f 在区间D 上存在最小值，B x f <)(在区间D 上有解，则B x f <min )(.5.],,[,21b a x x ∈∀)()(21x g x f ≤，则min max )()(x g x f ≤.6.],,[1b a x ∈∀],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max max )()(x g x f ≤.7.],,[1b a x ∈∃],[2n m x ∈∃，)()(21x g x f ≤，则max min )()(x g x f ≤.8.],,[b a x ∈∀)()(x g x f ≤,则0)()(≤-x g x f .例1.不等式0152>+-ax e x 在R 上恒成立，正整数a 的最大值为___________.【答案】14【解析】法一：（分离参数）不等式0152>+-ax e x 变形为152+<xe ax（1）当0≤x 时，不等式恒成立. （2）当0>x 时，xe a x 152+<令x e x g x 152)(+=，215)1(2)(x e x x g x --='， 令15)1(2)(--=x e x x t ，02)(>='x xe x t ，15)1(2)(--=xe x x t 在0>x 单调增.0x ∃，使0)(0=x t ，)3,2(0∈x 设015)1(2)(200=--='x e x x g x 得),0(0x x ∈，0)(<'x g ；),(0+∞∈x x ，0)(>'x g 所以：0x x =时，11515115152)(0000min 0-=+-=+=x x x x e x g x )3,2(0∈x ，即)15,215(115)(0min ∈-=x x g 所以：min )(x g a <时正整数a 的最大值为14.法二：（数形结合）由题意152->ax e x过)15,0(-作x e y 2=的切线，设切点)2,(00x e x ，x e y 2='，切线为)(22000x x e e y x x -=-过)15,0(-，得015)1(2=--xe x . 15)1(2)(000--=x e x x g 在0>x 单调增，0)3()2(<g g ，)3,2(0∈x 所以)15,215(115200∈-==x e a x ， 所以：min )(x g a <时正整数a 的最大值为14.例2.0ln 1)1(≤--+x x a 对任意]1,21[∈x 恒成立，则a 的最大值为___________.【答案】2ln 21-【解析】法一：（分离参数）0ln 1)1(≤--+x x a 对任意]1,21[∈x 恒成立得：。
2020年江苏省高考数学填空题考前压轴冲刺——专题01 不等式(最值问题)(解析版)
2020年江苏省高考数学填空题考前压轴冲刺专题01不等式（最值问题）2020年江苏高考填空题考点预测江苏高考近几年不等式常以压轴题的题型出现，常见的考试题型就有最值,范围形式出现，有些可以转化为函数问题，有些则是用不等式比较简单,常用的不等式结论如下：1.如果.2,,22时，等号成立，当且仅当那么b a ab b a =≥+∈R b a 2.如果.2,,时，等号成立，当且仅当那么b a ab b a =≥+∈+R b a 3.如果.3,,,3时，等号成立，当且仅当那么b a c b a =≥++∈+abc R c b a 4.如果.)())((,,,,22222时，等号成立，当且仅当那么bc ad =+≥++∈bd ac d c b a R d c b a 5.如果.11222,,22时，等号成立，当且仅当那么b a ab b a =+≥≥+≥+∈+b a b a R b a 例1.(高考题改编)的最大值为，则，且满足，已知y x y x y x 24422+=+∈+R ___________. 【答案】22【解析】法一：（基本不等式）由已知等式两边同时加xy 4，得22)22(24224)2(y x y x y x ++≤⋅+=+，得,8)2(2≤+y x 即222≤+y x ，当y x 2=时，等号成立.即y x 2+的最大值为22. 法二：（换元，判别式法）令t y x =+2，得y t x 2-=，代入已知等式得,044822=-+-t ty y 在]1,0(上有解,得0≥∆，解得22≤t .即y x 2+的最大值为22.法三：（柯西不等式）8)11)(4()2(222=++≤+y x y x ，即222≤+y x ，当y x 2=时等号成立.即y x 2+的最大值为22.法四：（消元）由已知得212y x -=得21222y y y x -+=+ 设]1,0(,122)(2∈-+=y y y y f ，则2214)1(8)(y y y y f ---='令0)(='y f 得22=y ，当)22,0(∈y 时0)(>'y f ，)(y f 增； 当)1,22(∈y 时0)(<'y f ，)(y f 减， 所以：22=y 时，22)(max =y f ，即y x 2+的最大值为22.法五：（三角换元）令)2,0(,sin ,cos 2πθθθ∈==y x ， 得22)4sin(22cos 2sin 22≤+=+=+πθθθy x .即y x 2+的最大值为22.例2.已知,1422=++xy y x 求y x +2的最大值.法一：（基本不等式）2222)22(23122313134)2(y x y x xy xy xy y x y x ++≤⋅⋅+=+=+++=+， 即1)2(83)2(22≤+-+y x y x ，得85)2(2≤+y x ，即510225102≤+≤-y x .所以y x +2的最大值5102.法二：（换元法）令t y x =+2得x t y 2-=，代入,1422=++xy y x 得。
2020年高考数学分类之不等式选讲详解
（2）求不等式 f (x) f (x 1) 的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）
,
7 6
.
【详解】
x 3, x 1
（1）因为
f
x 5x 1,
1 3
x 1 ，作出图象，如图所示：
x 3, x 1 3
（2）将函数 f x 的图象向左平移1个单位，可得函数 f x 1 的图象，如图所示：
四.基本不等式 9．（2020 海南卷 12 山东卷 11)已知 a 0 ， b 0 ，且 a b 1，则（ ）
A． a2 b2 1 2
B． 2a b 1
2
C． log a log b 2
2
2
D． a b 2
【答案】ABD
【详解】对于
A， a2
b2
a2
1 a 2
2a2
2a1
x 1,
的最大值为_________．
【答案】7
【详解】不等式组所表示的可行域如图
因为 z 3x 2y ，所以 y 3x z ，易知截距 z 越大，则 z 越大，
22
2
平移直线 y 3x ，当 y 3x z 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大，
2
22
y 2x x 1
由
x 1
，得
y
2
，
A(1,
2)
，
所以 zmax 3 1 2 2 7 .
故答案为：7.
2x y 2 0,
7．（2020·全国Ⅰ卷高考真题（文理
13））若
x，y
满足约束条件
x
y
1
0,
y 1 0,
则z x7y
的最大值为____________.
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题11.8 不等式选讲(讲)答案解析
【最新考纲解读】内容要求备注A B C不等式选讲不等式的基本性质√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.含有绝对值的不等式的求解√不等式的证明（比较法、综合法、分析法）√算术-几何平均不等式与柯西不等式√利用不等式求最大（小）值√运用数学归纳法证明不等式√【考点深度剖析】1. 江苏高考中，主要考查解不等式、不等式证明、柯西不等式、排序不等式和均值不等式，尤其关注不等式的证明.2.注意了解不等式及其证明的几何意义与背景，提高分析问题、解决问题的能力.注意控制难度，力争少做或不做无用功.【课前检测训练】【练一练】1.解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－ (x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4).2.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，求实数a 的取值范围. 解 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.3.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.4.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，求m 2＋n 2的最小值.解 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.5.若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值. 解 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2 ≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3.6.设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值.解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy .∵2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立. ∴⎣⎡⎦⎤(1x ＋1y )(x ＋y )min ＝4，即－λ≤4，λ≥－4. 【题根精选精析】 考点1:绝对值不等式【1-1】【泰州2015高三模拟】已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，则t ＝____________ 【答案】0【解析】|2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.【1-2】不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为______ 【答案】k <－3【解析】根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于|P A |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．【1-3】【2015扬州调研考试】在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为____________． 【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32【1-4】【无锡2015届高三模拟】若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[－2,4]【解析】利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.【1-5】 (2015常州质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 【答案】2【解析】原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 【基础知识】 1．绝对值不等式(1)定理1：如果,a b 是实数，则a b a b a b -≤±≤+,对于a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时，等号成立．(2)定理2：如果,,a b c 是实数，则a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式x a <与x a >的解集：①ax b c c ax b c +≤⇔-≤+≤； ②ax b c ax b c +≥⇔+≤-或ax b c +≥;(3)x a x b c -+-≥( 0c >)和x a x b c -+-≤ (0c >)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【思想方法】.1.解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定.2. 含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对0a >，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔>或x a <-.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．这适应于两边都是正数的绝对值不等式.(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点; ②划区间,去掉绝对值符号; ③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．3.证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式a b a b a b -≤±≤+进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．4对于求y x a x b =-+-或y x a x b =---型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y x a x b =-+-的函数只有最小值，形如y x a x b =---的函数既有最大值又有最小值．【温馨提醒】证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． 考点2：不等式的证明【2-1】已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______． 【答案】510.【解析】∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2， ∴(3x ＋4y )max ＝510.【2-2】(如皋2015届模拟) 已知a ，b ，c ∈R ＋，则1a ＋1b ＋1c 与1ab ＋1bc ＋1ac 的大小关系是________． 【答案】详见解析【2-3】设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系是__________．【答案】M <1【解析】∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1. 210个【2-4】已知c >b >a ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 【答案】详见解析【2-5】已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 【答案】详见解析【解析】要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ， 即证(a －c )2<c 2－ab ， 即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ， 即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立． 【基础知识】 1．不等式证明的方法 (1)比较法：①求差比较法：知道0a b a b >⇔->，0a b a b <⇔-<，因此要证明a b >只要证明0a b ->即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法：由01aa b b>>⇔>且0,0a b >>，因此当0,0a b >>时，要证明a b >，只要证明1ab>即可，这种方法称为求商比较法． (2)综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． (3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． (4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法． 2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设1212,,,a a b b 均为实数，则()()()2222212121122a a bb a b a b ++≥+(当且仅当1212a ab b =时，等号成立)． ②柯西不等式的向量形式：设,αβ为平面上的两个向量，则αβαβ⋅≥⋅ .③二维形式的三角不等式：设1212,,,x x y y R ∈，那么+≥.④柯西不等式的一般形式：设1212,,,,,,,n n a a a b b b 为实数，则()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ ，当且仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立． (2)平均值不等式：定理：如果,,a b c为正数，则3a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立． 我们称3a b c++为正数,,a b c,,a b c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 一般形式的算术—几何平均值不等式：如果12,,,n a a a 为n个正数，则12n a a a n+++≥ 12n a a a === 时，等号成立．3.易错点：使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件． 易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果． 【思想方法】1. 绝对值不等式的证明：含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：a b a b a b -≤±≤+，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2. 利用柯西不等式证明不等式：使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大，从而证得问题．利用柯西不等式求最值的一般结构为：()()222221222212111111n n a a a n a a a ⎛⎫++++++≥+++= ⎪⎝⎭ ，在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件． 3.放缩法证明不等式的技巧(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等．其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度，既不能放的过小，也不能放过了头．常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头． (2)常见的放缩技巧有： ①()()211111k k k k k >>-+ (2,k k N *≥∈)；>>>22k >2k ＋k ＋1(k ≥2，且k ∈N *)． 4.对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号． 用作商法证明不等式应注意：10A A B B B ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭. 10A A B B B ⎫>⎪⇒<⎬⎪<⎭.因此，用作商法必须先判定符号． 5.应用不等时注意以下几点：（1）使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧．（2）基本不等式及其变式中的条件要准确把握．如222a b ab +≥(,a b R ∈)，a b +≥,a b R +∈)等．（3）含绝对值三角不等式：a b a b a b a b -≤-≤±≤+中等号成立的条件应注意a b a b +≤+中0ab ≥，而a b a b -≤+中0ab ≤等．（4）分析法证明不等式的每一步都是寻求不等式成立的充分条件．（5）换元法证明不等式时要注意换元后新元的取值范围忽视它会导致错误结论或无法进行下去．（6）用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的项便于应用归纳假设．（7）应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件．（8）柯西不等式及排序不等式中,i i a b (i ＝1,2，…，n )均为实数，而平均值不等式中i a 为正数．【温馨提醒】对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号．【易错问题大揭秘】在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.。
2020年高考江苏版高考数学 22.3 不等式选讲
考向二 含绝对值不等式的证明
例2 已知x,y∈R,且|x+y|≤ 16 ,|x-y|≤ 14 ,求证:|x+5y|≤1.
证明 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|. 由绝对值不等式性质,得 |x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|
=3|x+y|+2|x-y|≤3× 1 +2× 1 =1,所以|x+5y|≤1.
证明 因为x,y,z均为正实数,且xyz=1,
所以 1 x3 y
+xy≥2 x12
= 2x =2yz,即 x13 y
≥2yz-xy.
同理,得 1 ≥2zx-yz, 1 ≥2xy-zx,当且仅当x=y=z=1时取等; 1 + 1 ≥xy+yz+zx. x3 y y3z z3x
例1 在实数范围内解不等式|2x-1|+|2x+1|≤6.
解析 解法一:当x> 1 时,原不等式转化为4x≤6⇒ 1<x≤ 3;
2
22
当- 1 ≤x≤ 1 时,原不等式转化为2≤6,恒成立;
2
2
当x<- 1 时,原不等式转化为-4x≤6⇒- 3≤x<- 1.
2
2
2
综上,原不等式的解集为
x
考点清单
考点一 含绝对值的不等式
考向基础 1.绝对值不等式的解法 (1)|ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法: 若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b ≤-c,然后根据a、b的值解出即可. 若c<0,则|ax+b|≤c的解集为⌀,|ax+b|≥c的解集为R. (2)解|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的一般步骤: a.令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根.
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第十章附加考查部分8第8讲不等式选讲课件文
1．若∃x∈R，使|x－a|＋|x－1|≤4 成立，则实数 a 的取值范围 是________． 解析：因为|x－a|＋|x－1|≥|x－a－x＋1|＝|1－a|，所以原命题 等价于|1－a|≤4，解得 a∈[－3，5]． 答案：[－3，5]
2．已知不等式|x－2|>1 的解集与不等式 x2＋ax＋b>0 的解集相 同，则 a＋b 的值为________．
3．不等式的证明 (1)比较法 ①求差比较法 由 a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明 a＞b，只要证 明 a－b＞0 即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由 a＞b＞0⇔ab＞1 且 a＞0，b＞0，因此当 a＞0，b＞0 时要证 明 a＞b，只要证明ab＞1 即可，这种方法称为求商比较法．
4．柯西不等式 (1)柯西不等式的二维形式 柯西不等式的代数形式：设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则(a21＋ a22)(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2(当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号成立)． (2)柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn 为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋… ＋anbn)2，等号当且仅当ba11＝ab22＝…＝bann时成立(当 ai＝0 时，约 定 bi＝0，i＝1，2，…，n)．
解析：由|x－2|>1，得 x<1 或 x>3，依题意得 x＝1 是方程 x2＋ ax＋b＝0 的解，因此 a＋b＝－1. 答案：－1
3．已知 a，b 是不相等的正数，x＝
a＋ 2
b，y＝
y 的大小关系是________．
a＋2 b，则 x，
专题8 不等式选讲 -2020届高三数学一轮复习解答题专题训练含答案
专题不等式选讲1．选修4-5：不等式选讲（1）如果关于的不等式无解，求实数的取值范围；（2）若为不相等的正数，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）令，则当时，；当时，；当时，，综上可得，即．故要使不等式的解集是空集，则有，所以实数的取值范围为．（2）证明：由为不相等的正数，要证，即证，只需证，整理得，①当时，，可得，②当时，，可得，综上可得当均为正数时，从而成立．2．已知函数.（Ⅰ）当时，求的解集；（Ⅱ）记的最小值为，求时的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【解析】解：（Ⅰ）当时，原不等式变为.①当时，，得，所以；②当时，，得，所以；③当时，恒成立，所以. 综上，得.故的解集为.（Ⅱ），所以.①当时，，最大值为；②当时，，最大值为.综上，得时的最大值为2.3．已知.（1）解不等式；（2）若，求实数的最大值.【答案】(1) (2) 最大值为【解析】（1）得或无解或.所以不等式的解集为.（2）恒成立恒成立令结合二次函数的性质分析可知，上单调递减，在上单调递增..实数的最大值为.4．已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）设，若，求证：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）可化为，即，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得．综上可得，故不等式的解集为．（Ⅱ）因为，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号,所以，即．5．选修4－5：不等式选讲已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式上恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，.当时，，即，故；当时，即，即，故；当时，，即，故无解.综上所述，不等式的解集为.（2）依题意，，故（*），显然时，（*）式不恒成立，当时，在同一直角坐标系中分别作出的图象如下图所示，观察可知，，即实数m的取值范围为.6．选修4-5：不等式选讲已知.（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）由，即，解得，所以，的解集为.（Ⅱ）恒成立，即恒成立.当时，；当时，.因为（当且仅当，即时等号成立），所以，即的最大值是.7．设函数.（1）求不等式的解集；（2）证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）∵，∴，即，当时，显然不合；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为.（2）证明：当时，；当时，，则；当时，，则.∵，∴.∵，∴.故.8．选修4－5：不等式选讲已知函数．（1）若，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵，∴，即，解得，故实数的取值范围为.（2）由，得，∵，可得，∴，即为，化简得，∵时，恒成立，∴，解得．故实数的取值范围为.9．已知是正实数，且，证明：；.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】是正实数，，，∴，当且仅当时，取∴∴∴当且仅当时，取10．已知对任意实数，都有恒成立.（1）求实数的范围；（2）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值. 【答案】(1) (2)9【解析】解（1）对任意实数，都有恒成立，又（2）由（1）知，由柯西不等式知：当且仅当时取等号，的最小值为.11．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，，在同一坐标系内分别作出的图像得，解得交点的坐标为，所以不等式的解集为；（2）在时，，因为不等式上恒成立，所以不等式上恒成立，所以不等式上恒成立，所以，解得，即的取值范围是.12．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）设关于的不等式有解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）当时，不等式等价于，或，或，解得，即.所以不等式的解集是.（2）由题意得，因为，故.13．已知函数（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）设实数为（1）中的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) .【解析】解：（Ⅰ）因为，所以，解得.故实数的取值范围为.（Ⅱ）由（1）知，，即. 根据柯西不等式等号在时取得.所以的最小值为.14．已知函数.（1）求证：；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）因为，所以,即（2）由已知，①当m≥-时，等价于,即，解得所以②当m<-时，等价于，,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<综上，实数的取值范围是.15．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，函数，解不等式化为，即，，解得不等式的解集为；（2）由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由；由题意知存在，使得上式成立；而函数上的最大值为，，即b的取值范围是16．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数的图象与函数的图象存在公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）当时，，此时不等式.当时，，解得，所以；当时，，解得，所以；当时，，解得，此时无解.综上，所求不等式的解集为.（2），该函数在处取得最小值.，分析知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，且. 据题设知，，解得.所以实数的取值范围是.17．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）若恒成立，求实数的最大值；（2）在（1）成立的条件下，正数满足，证明：.【答案】（1）（2）见证明【解析】解：（1）由已知可得，所以因为恒成立，所以，从而可得所以实数的最大值（2）由（1）知，，所以，要证，只需证，即证，即证，即，又因为是正数，所以，故只需证，即，而，可得，故原不等式成立18．已知函数．(1)当时，解不等式；(2)若的值域为[2，+∞)，求证：.【答案】(1)；(2）详见解析.【解析】(1)解：当a=b=1时，i)当时，不等式可化为：，即，所以ii)当时，不等式可化为：2>x+2，即x<0，所以iii)当x>1时，不等式可化为：2x>x+2，即x>2，所以x>2综上所述：不等式的解集为(2)证明，∵f(x)的值域为，∴a+b=2，∴a+1+b+1=4∴，当且仅当，即a=b=1时取“=”即.19．已知．的解集为，求a的值；若对任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）不等式，即两边平方整理得由题意知是方程的两个实数根即，解得（2）因为所以要使不等式恒成立，只需当时，，解得，即；当时，，解得，即；综上所述，的取值范围是20．选修4-5：不等式选讲已知f（x）＝|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x﹣1|的解集为[0，2]，求a的值；（2）若对任意x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥3a﹣2恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）不等式f（x）≥|2x﹣1|，即|x+a|≥|2x﹣1|，两边平方整理得3x2﹣（2a+4）x+1﹣a2≤0，由题意知0和2是方程3x2﹣（2a+4）x+1﹣a2＝0的两个实数根，即，解得a＝1；（2）因为f（x）+|x﹣a|＝|x+a|+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|＝2|a|，所以要使不等式f（x）+|x﹣a|≥3a﹣2恒成立，只需2|a|≥3a﹣2，当a≥0时，2a≥3a﹣2，解得a≤2，即0≤a≤2；当a＜0时，﹣2a≥3a﹣2，解得a≤，即a＜0；综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]．。
2020版高考数学大一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明课件理新人教A版选修4_5
“放”和“缩”的常用技巧
在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．
常见的放缩变换有：
(1)变换分式的分子和分母，如k12<k（k1－1），k12>k（k1＋1），1k
<
2 k＋
k－1，
1k>
2 k＋
k＋1.上面不等式中
k∈N*，k>1；
(2)利用函数的单调性； (3)真分数性质“若 0<a<b，m>0，则ab<ab＋ ＋mm”． [提醒] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一 个度．
2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法、数学归纳法等． 3．数学归纳法证明不等式的关键 使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由 n＝k 时不等式成立推证 n＝k＋1 时不等式成立，此步的证明要具有 目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以 便确定解题方向．
(2)证明：要证1a－b－abcc>1，只需证|1－abc|>|ab－c|， 只需证 1＋a2b2c2>a2b2＋c2，只需证 1－a2b2>c2(1－a2b2)， 只需证(1－a2b2)(1－c2)>0， 由 a，b，c∈A，得－1<ab<1，c2<1，所以(1－a2b2)(1－c2)>0 恒 成立． 综上，1a－b－abcc>1.
所以 a2＋2ab＋b2＝1.
因为 a>0，b>0，
所以a12＋b12＝（a＋a2b）2＋（a＋b2b）2＝1＋2ab＋ba22＋1＋2ba＋ab22＝
2 ＋ 2ab＋2ba ＋ ba22＋ab22 ≥ 2 ＋ 2
2ab·2ba ＋ 2
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案理(含解析)苏教版
第三节 基本不等式及其应用1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[小题体验]1．(2019·南京调研)已知m ，n 均为正实数，且m ＋2n ＝1，则mn 的最大值为________． 解析：∵m ＋2n ＝1，∴m ·2n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2n 22＝14，即mn ≤18，当且仅当m ＝2n ＝12时，mn 取得最大值18.答案：182．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案：2 23．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：251．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [小题纠偏]1．(2019·启东检测)函数y ＝x ＋9x －1(x ＞1)的最小值为________． 解析：∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴y ＝x ＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋1≥2x －9x －1＋1＝7，当且仅当x ＝4时取等号．答案：72．函数f (x )＝x ＋1x的值域为____________________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)考点一 利用基本不等式求最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2018·启东期末)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋4b的最小值为________．解析：∵a ＋b ＝1，∴b a ＋4b ＝b a＋a ＋b b ＝b a ＋4ab ＋4≥2b a ·4a b ＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立， ∴b a ＋4b的最小值为8. 答案：82．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________．解析：因为x ＞－4，所以x ＋4＞0， 所以f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2 x ＋9x ＋4－4＝2， 当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号． 答案：23．(2018·徐州调研)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则1x ＋y2＋4x －2y2的最小值为________．解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，1x ＋y2＋4x －2y2＝1t ＋4μ＝115(t ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4μ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号，所以1x ＋y2＋4x －2y2的最小值为35.答案：35[由题悟法]利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．[即时应用]1．设0＜x ＜32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．又因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 答案：922．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得y ＝3－x22x，所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：33．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：4考点二 基本不等式的实际应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1， 所以1＝3－k ，解得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1， 每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，所以2018年的利润y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． 所以利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． (2)由(1)知y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋＋29(m ≥0)． 因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥2 16m ＋1m ＋＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时取等号． 所以y ≤－8＋29＝21， 即当m ＝3时，y 取得最大值21.所以当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．[由题悟法]解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[即时应用]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x ＞1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)．(2)S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝ 5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m. 考点三 利用基本不等式求参数的值或范围重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·淮安调研)若x ∈(0,1)时，不等式m ≤1x ＋11－x 恒成立，则实数m 的最大值为________．解析：∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1， ∴1x ＋11－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋11－x [x ＋(1－x )]＝2＋1－x x ＋x 1－x ≥2＋21－x x ·x1－x＝4， 当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取等号，∴m ≤4，即实数m 的最大值为4. 答案：42．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173.所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ [由题悟法]求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]1．(2019·东台月考)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的最小值为________．解析：x x 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x，∵x ＞0，∴x ＋3＋1x≥3＋2x ·1x ＝3＋2＝5，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，∴0＜1x ＋3＋1x≤15， ∴要使x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15，故a 的最小值为15.答案：152．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，求实数λ的最小值． 解：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)若x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋2y的最小值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝2， ∴xy ＝4， ∴1x ＋2y ≥22xy＝2，当且仅当1x ＝2y且xy ＝4，即x ＝2，y ＝22时取等号，∴1x ＋2y的最小值为 2. 答案： 22．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：13．(2018·苏州期末)已知a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________．解析：∵a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝1，∴3a ＋2b ＋b a＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋ba＝5＋3a b ＋3b a≥5＋29＝11，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴3a ＋2b ＋b a的最小值为11. 答案：114．当3＜x ＜12时，函数y ＝x －2－xx的最大值为________．解析：y ＝x －－xx＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3. 当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，y max ＝3. 答案：35．(2018·通州期末)若log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 解析：∵log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 2a ＋4b ＝log 2ab ，a ＋4b ＞0，ab ＞0. ∴a ＋4b ＝ab ，即a ＋4b ＝ab ， ∴1b ＋4a＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋4a ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝2b ＝6时取等号． ∴a ＋b 的最小值是9. 答案：96．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城调研)若x ＞0，y ＞0，且x ＋1x ＋y ＋4y ≤9，则1x ＋4y的最大值为________．解析：令x ＋y ＝n ，1x ＋4y＝m ，∴m ·n ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥9.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ≥9，m ＋n ≤9⇒9≥m ＋n ≥m ＋9m.∴m 2－9m ＋9≤0，解得9－352≤m ≤9＋352.∴1x ＋4y 的最大值为9＋352. 答案：9＋3522．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．解析：由题意得b ＝14a ，所以0＜14a ＜1，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫44－4a ＋24a －1＝2＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－4a 4a －1＋a －4－4a≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝a －4－4a时等号成立，所以所求最小值为4＋423.答案：4＋4233．(2018·连云港期末)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4，则2x ＋1y的最小值是________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4， ∴4＝2x＋4y≥22x ＋2y，即x ＋2y ≤2，∴2x ＋1y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4y x ＋x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋24y x·x y ＝4，当且仅当x ＝2y 时等号成立，∴2x ＋1y的最小值是4.答案：44．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92.答案：925．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6，所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2(2≤x ＜6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 36．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案：947．(2018·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y的最小值是________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝yx＋x ＋y y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4xy＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8. 答案：88．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2yy －1的最小值为________．解析：∵x ＋y ＝xy ， ∴3x x －1＋2y y －1＝3x y －＋2y x －x －y －＝5xy －3x －2y xy －x －y ＋1＝5x ＋5y －3x －2y x ＋y －x －y ＋1＝2x ＋3y .又∵x ＋y ＝xy 可化为1y ＋1x＝1，∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x＝2x y ＋3yx＋5≥22x y·3y x＋5＝26＋5，当且仅当2x 2＝3y 2时取等号，∴3x x －1＋2y y －1的最小值为26＋5. 答案：26＋59．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x－2x的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x ＜32时，有3－2x ＞0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0＜x ＜2，所以2－x ＞0， 所以y ＝x－2x＝2·x－x ≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x－2x的最大值为 2.10．(2019·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝4. (1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x ＋3y的最小值及相应的x ，y 的值． 解：(1)因为4＝2x ＋y ≥22xy ⇒xy ≤2， 所以xy 的最大值为2，当且仅当2x ＝y ＝2， 即x ＝1，y ＝2时取“＝”． (2)因为9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y＝18，所以9x ＋3y的最小值为18，当且仅当9x ＝3y，即2x ＝y ＝2⇒x ＝1，y ＝2时取“＝”． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为________．解析：∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋－tan 2α2tan α＝32tan α＋tan α2≥232tan α·tan α2＝3，当且仅当tan α＝ 3，即α＝π3时取得等号，∴2tan α＋3tan 2α的最小值为 3.答案： 32．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a ＜－2时，对称轴t ＝a 2＜－1，(*)式恒成立；当a ＞2时，对称轴t ＝a2，要使(*)式恒成立，则a 2＜4，且16－4a ＋1≥0，得2＜a ≤174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤174，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t min ＝174，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1743．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部 售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x.所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．命题点一 一元二次不等式1.(2017·山东高考改编)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：[－2,1)2．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，fm ＋＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 3．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9命题点二 简单的线性规划问题1.(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，132．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.答案：63．(2017·全国卷Ⅲ改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 答案：[－3,2]4．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0，得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：95．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________． 解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案：36．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 命题点三 基本不等式1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：302．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tanC 的最小值是________．解析：在锐角三角形ABC 中，因为sin A ＝2sin B sin C ， 所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①因为A ，B ，C 均为锐角，所以tan B tan C －1＞0，所以tan B tan C ＞1. 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C ＞1得tan Atan A －2＞1，所以tan A ＞2.所以tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝A －2＋A －＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案：83．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6.∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：144．(2017·全国卷Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案：16。
2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第34课__不等关系 含解析
第五章 不 等 式____第34课__不__等__关__系____1. 了解日常生活中的不等关系及不等式(组)的实际背景，能通过具体情境建立不等式模型．2. 掌握不等式的简单性质，深刻理解其成立的条件，并能灵活运用．3. 熟悉两个实数比较大小的方法，掌握分类讨论的标准和技巧.1. 阅读：必修5第73～74页．2. 解悟：①现实生活中大量存在不等关系，我们常常用不等式表示这样的关系；②解决相关问题时，未知量与参数的范围要时刻表明，并运用不等式有关知识解决问题；③教材第74页练习第5题，体现了不等式怎样的性质，能够写出;吗？④初中你学过哪些不等式的性质，能列举出;吗？3. 践习：在教材空白处，完成第74页练习第2、3、4题.基础诊断1. 若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1__． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)．因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量y 应不少于2.3%，可用不等式表示为__⎩⎨⎧x ≥2.5%，y ≥2.3%__． 3. 已知a<b<0，给出下列不等式：①|a|>|b|； ②1a －b >1a； ③1a >1b ； ④a 2>b 2.其中正确不等式的序号是__①③④__．解析：因为a<b<0，所以|a|>|b|，a 2>b 2，则①④成立；因为a<b<0，所以－b>0，所以0>a－b>a ，所以1a －b <1a ，则②不成立；因为a<b<0，所以1ab>0，所以在不等式a<b<0两边同时乘以1ab ，得1b <1a，则③成立．故选①③④. 4. 已知2<m<4，3<n<5，则m n 的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫25，43__． 解析：因为3<n<5，所以15<1n <13.又因为2<m<4，所以25<m n <43. 范例导航考向❶ 实际问题中的不等关系例1 已知b 克糖水中有a 克糖(b>a>0)，若再添加m 克糖(m>0)，则糖水变甜了．试根据这个事实，写出a ，b ，m 所满足的不等式，并证明．解析：a b <a ＋m b ＋m.证明如下： 方法一：因为0<a<b ，m>0，所以a －b<0，b ＋m>0.因为a b －a ＋m b ＋m ＝a （b ＋m ）－b （a ＋m ）b （b ＋m ）＝m （a －b ）b （b ＋m ）<0， 所以a b <a ＋m b ＋m. 方法二：因为0<a<b ，m>0，所以b ＋m>0，所以要证a b <a ＋m b ＋m，即证a(b ＋m)<b(a ＋m)，即am<bm. 又m>0，a<b 为已知条件，所以am<bm 成立，所以a b <a ＋m b ＋m成立． 方法三：因为a<b ，m>0，所以am<bm ，所以ab ＋am<ab ＋bm ，即a(b ＋m)<b(a ＋m)．因为0<a<b ，m>0，所以b ＋m>0， 所以a （b ＋m ）b （b ＋m ）<b （a ＋m ）b （b ＋m ），所以a b <a ＋m b ＋m.某野外训练活动队需要用浓度为35%～45%(35%、45%也能使用)的酒精为队员进行物理退热，现只有浓度是75%的消毒酒精，若取a 克浓度是75%的消毒酒精，加入克纯净水稀释后使用，则的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，8a 7__． 解析：由题意得35%≤75%a x ＋a ≤45%，解得2a 3≤≤8a 7. 考向❷ 比较大小或证明不等式例2 已知<y<0，试比较(2＋y 2)(－y)与(2－y 2)(＋y)的大小．解析：方法一：(2＋y 2)(－y)－(2－y 2)(＋y)＝(－y)[(2＋y 2)－(＋y)2]＝－2y(－y)．因为<y<0，所以y>0，－y<0,所以－2y(－y)>0，所以(2＋y 2)(－y)>(2－y 2)(＋y)．方法二：因为<y<0，所以－y<0，2>y 2，所以(2＋y 2)(－y)<0，(2－y 2)(＋y)<0，所以0<（x 2＋y 2）（x －y ）（x 2－y 2）（x ＋y ）＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy<1， 所以(2＋y 2)(－y)>(2－y 2)(＋y)．设a>0，b>0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 解析：因为a>0，b>0，所以a a b b a b b a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b. ①若a>b>0，则a b>1，a －b>0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，所以a a b b >a b b a; ②若b>a>0，则a b<1，a －b<0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，所以a a b b >a b b a . 综上，得a a b b >a b b a .【选讲题】 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较a n ＋b n 与c n 的大小． 解析：因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a n ，b n ，c n >0,a n ＋b nc n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n. 因为a 2＋b 2＝c 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，所以0<a c <1，0<b c <1.因为n ∈N ，n >2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n<⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，所以a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，即a n ＋b nc n <1，所以a n ＋b n <c n .考向❸ 不等关系的简单综合运用例3 设f()＝a 2＋b ，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，(m ，n 为待定系数),则4a －2b ＝m(a －b)＋n(a ＋b)＝(m ＋n)a －(m －n)b,于是⎩⎨⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1，所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4,所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10，所以5≤f(－2)≤10.设f()＝2－＋1，实数a 满足|－a|<1.求证：|f()－f(a)|<2(|a|＋1)．解析：因为|－a|<1，所以|f()－f(a)|＝|2－＋1－a 2＋a －1|＝|2－a 2－＋a|＝|(＋a)(－a)－(－a)|＝|(－a)(＋a －1)|＝|－a||＋a －1|<|＋a －1|＝|－a ＋2a －1|≤|－a|＋|2a|＋|－1|<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)，所以|f()－f(a)|<2(|a|＋1)．自测反馈1. 若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列结论正确的有__④__．(填序号)①a 2>b 2；②b a<1； ③lg (a －b)>0；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b. 解析：当0>a>b 时，有a 2<b 2成立，故①不对；当a ＝0时，b a<1无意义，故②不对；当0<a －b<1时，lg (a －b)<0，故③不对；因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是定义域为R 的减函数的，所以当a >b 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b成立，故④正确．2. 设a>0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是__P>Q__． 解析：因为P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，a>0，所以a 3－1>0，a 2－1>0，所以a>1.又因为(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)>0，所以a 3－1>a 2－1，所以log a (a 3－1)>log a (a 2－1)，即P>Q.3. 设0<a<b ，a ＋b ＝1，则12，b ，2ab ，a 2＋b 2中最大的是__b__． 解析：因为0<a<b ，a ＋b ＝1，所以0<a<12，12<b<1，所以2a<1，2ab<b.因为a 2＋b 2－b ＝a 2＋b(b －1)＝a 2－b(1－b)＝a 2－ab ＝a(a －b)．又因为a<b ，a －b<0，所以a 2＋b 2－b<0，即a 2＋b 2<b.综上，最大为b.4. 一家三口外出旅游，甲旅行社提出，如果户主买全票一张，其余人可享受半价优惠；乙旅行社提出，家庭旅游算集体票，按七五折优惠，如果这两家旅行社的原价相同，__甲__(填“甲”或“乙”)家旅行社的价格更优惠．解析：设这两家旅行社一张全票的价格为a ，则在甲旅行社需要花a ＋2×12a ＝2a ，在乙旅行社需要花3×0.75a ＝2.25a>2a ，所以甲旅行社的价格更优惠．1. 两个实数比较大小方法主要有：作差法，作商法．2. 证明不等式主要有：作差法，综合法，分析法．3. 你还有哪些体悟，写下;：。
高考理数真题训练20 不等式选讲(解析版)
专题20 不等式选讲1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．【解析】（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x x f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像．()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711(,)66--． 由图像可知当且仅当76x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方， 故不等式()(1)f x f x >+的解集为7(,)6-∞-． 2．【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f (x )= |x -a 2|+|x -2a +1|．（1）当a =2时，求不等式f (x )≥4的解集；（2）若f (x )≥4，求a 的取值范围．【解析】（1）当2a =时，72,3,()1,34,27,4,x x f x x x x -≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩因此，不等式()4f x ≥的解集为311{|}22x x x ≤≥或． （2）因为222()|||21||21|(1)f x x a x a a a a =-+-+≥-+=-，故当2(1)4a -≥，即|1|2a -≥时，()4f x ≥．所以当a ≥3或a ≤-1时，()4f x ≥．当-1<a <3时，222()|21|(1)4f a a a a =-+=-<，所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-+∞．3．【2020年高考全国III 卷理数】[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =．（1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{,,}a b c．【解析】（1）由题设可知，a ，b 均不为零，所以22221[()()]2ab bc ca a b c a b c ++=++-++2221()2a b c =-++ 0<.（2）不妨设max{a ，b ，c }=a ，因为1,()abc a b c ==-+，所以a >0，b <0，c <0.由2()4b c bc +≤，可得34a abc ≤，故a ≥，所以max{,,}a b c ≥.4．【2020年高考江苏】[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<．【解析】当x >0时，原不等式可化为224x x ++<，解得203x <<； 当10x -≤≤时，原不等式可化为224x x +-<，解得10x -≤≤；当1x <-时，原不等式可化为224x x ---<，解得 2 1x -<<-． 综上，原不等式的解集为2|2}3{x x -<<． 5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有 222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c ++++≥++==++． 所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．6．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．（2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-． 【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦， 故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43． （2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦， 故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥， 当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +． 由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-． 【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．8．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -． 【答案】1{|1}3x x x <->或． 【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．9．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．10．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞． 【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．11．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2）a b +的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．12．【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】222x y z ++的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．。
考点55 不等式选讲-2020年领军高考数学一轮必刷题(江苏版)(解析版)
考点55 不等式选讲1．已知实数0a >，函数()23f x x x a =+--在区间[]1,1-上的最大值是2，则a =______ 【答案】3或54【解析】因为函数f （x ）＝|x 2+|x ﹣a|﹣3|在区间[﹣1，1]上的最大值是2，可得f （0）≤2， 且a ＞0，得|a ﹣3|≤2，解得1≤a≤5，即有f （x ）＝|x 2﹣x+a ﹣3|，﹣1≤x≤1， 由f （x ）的最大值在顶点或端点处取得，当f （﹣1）＝2，即|a ﹣1|＝2，解得a ＝3或﹣1（舍去）； 当f （1）＝2，即|a ﹣3|＝2，解得a ＝5或a ＝1；当f （12）＝2，即|a ﹣134|＝2，解得a ＝54或214（舍去）．当a ＝1时，f （x ）＝|x 2﹣x ﹣2|，因为f （12）＝94＞2，不符题意；（舍去）．当a ＝5时，f （x ）＝|x 2﹣x+2|，因为f （-1）＝4＞2，不符题意；（舍去）． 当a ＝3时，f （x ）＝|x 2﹣x|，显然当x ＝﹣1时，取得最大值2，符合题意；当a ＝54时，f （x ）＝|x 2﹣x ﹣74|，f （1）＝74，f （﹣1）＝14，f （12）＝2，符合题意．故答案为：3或54．2．（江苏省前黄高级中学、溧阳中学2018-2019学年上学期第二次阶段检测）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 【答案】充分不必要 【解析】由|x ﹣2|＜1得﹣1＜x ﹣2＜1，得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2， （1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要3．（江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高三11月月考）设函数（）．若存在，使，则的取值范围是____．【答案】【解析】存在, 使，，当时,,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在上单调递增，(1) 若，即时，在上单调递增,,解得；(2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，的取值范围是，故答案为.4．（江苏省苏州市2018届高三调研测试三）已知实数，且满足，则的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：利用立方和公式使，设，利用，构造一元二次方程，根据判别式即可解题.解析：又，，设，a，b是方程的两个实根.，①存在时，使，，，即.②存在时，使，，，即..故答案为：5．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）在（1）的条件下，若，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】解：（1）①当时，不等式可化为，解得：，故有；②当时，不等式可化为，解得：，故有；③当时，不等式可化为，解得：，故有.综上，不等式的解集为.（2）由.因为，所以，，所以，，所以.所以，故不等式成立.6．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：不等式选讲设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++.【答案】见证明 【解析】因为,,0a b c >，1a b c ++=，所以a b c b c c a a b +++++1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b ------=++=++-++++++由[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++，由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++⎪+++⎝⎭29≥+=所以11192b c a c a b ++≥+++，即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 7．（江苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）已知实数,,x y z 满足222491212x y z ++=．证明：22222111323x y y z z ++≥++．【答案】见详解. 【解析】设a ＝x 2+2y 2，b ＝y 2+3z 2，c ＝z 2，∴4（a ﹣2b+6c ）+9（b ﹣3c ）+12c ＝12，即4a+b+9c ＝12，∴222221+1123x y y z z +++11111=(49)12b c a b c a b c a ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭21312=…故原不等式成立．8．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）设{}n a 为下述正整数N 的个数：N 的各位数字之和为n ，且每位数字只能取1，3或4 （1）求1a ，2a ，3a ，4a 的值；（2）对*n N ∀∈，试探究222n n a a +⋅与221n a +的大小关系，并加以证明.【答案】（1）11a =，21a =，32a =，44a =；（2）222221n n n a a a ++=，证明详见解析.【解析】（1）1n =，则1N = 11a ∴=； 2n =，则11N = 21a ∴=；3n =，则111N =或3N = 32a ∴=；4n =，则1111N =，13N =，31N =，4N = 44a ∴=；综上：11a =，21a =，32a =，44a =（2）由（1）猜想：222221n n n a a a ++=；记12k N x x x ⋅⋅⋅=，其中{}12,,,1,3,4k x x x ⋯∈且12k x x x n ++⋯+=假定4n >，删去1x ，则当1x 依次取1,3,4时，23kx x x ++⋯+分别等于1n -，3n -，4n -故当4n >时，134n n n n a a a a ---=++先用数学归纳法证明下式成立：21221n n n a a a +-=+①1n =时，由（1）得：312a a a =+，结论成立； ②假设当n k =时，21221k k k a a a +-=+当1n k =+时，2322221k k k k a a a a ++-=++=222212()k k k k a a a a ++++-2221k k a a ++=+∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，21221n n n a a a +-=+，*n N ∈再用数学归纳法证明下式成立：222221n n n a a a ++=①当1n =时，由（1）得：2243a a a =，结论成立；②假设当n k =时，222221k k k a a a ++=当1n k =+时，()2222422232122223222121k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a ++++++++++=++=++=()()222232122212223212323222123k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++=+=+=∴当1n k =+时，结论成立；综合①②，222221n n n a a a ++=，*n N ∈9．（苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）已知,0x y >，且1x y +=【答案】详见解析 【解析】(()()22211111x x y ++++++≤又1x y +=26∴≤10．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）[选修4-5：不等式选讲]已知关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{|12}x x <<，其中,m n R ∈.求证：((m n --≤.【答案】见证明 【解析】因为关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{|12}x x <<，所以123m =+=，122n =⨯=.所以((m n --=由柯西不等式可得，()2222221⎡⎤++⎣≤⎦5=，当且仅当=，即16[3,4]5x =∈时取等号.所以，((m n --≤11．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()2f x x =-，()1g x x x=+-.若存在实数x ，使不等式()()()m g x f x x m R -≥+∈成立，求实数m 的最小值. 【答案】3 【解析】由不等式()()()m g x f x x m -+∈R …可得 |2||1|m x x -++…，∴min (|2||x 1|)m x -++…∵|2||1||2(1)|3x x x x -++--+=…，∴3m …故实数m 的最小值是3.12．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题）已知，若关于的方程有实根，求的取值范围．【答案】【解析】 因为关于的方程有实根，所以，即．当时，，得；当时，4，恒成立，即；当时，，得， 综上：所求的取值范围为．13．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b ++≥+++．【答案】见解析【解析】 证明：正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2()()()2222224b c c a a b a b c a b c b c c a a b b c c a a b +++++⎛⎫++=++⨯⎪++++++⎝⎭ ()()()22214a b c b c c a a b b c c a a b ⎛⎫++⨯+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭=()2211144a b c ≥+=++=故命题2221a b c b c c a a b ++≥+++成立.14．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c的值．【答案】最小值是1110+，此时a b c ==．.【解析】因为243a b c ++=，所以()()()1214110a b c +++++=因为,,a b c 为正数，所以由柯西不等式得：()()()()21111214112111a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++≥+ ⎪⎣⎦+++⎝⎭当且仅当()()()22212141a b c +=+=+等式成立所以1111111110a b c +++≥+++，所以111111a b c +++++的最小值是1110+此时a b c ==15．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）已知,,a b c为正数，且满足22cos sina b cθθ+<，求证：22θθ<【答案】见解析【解析】))()1122222222θθθθcosθsinθ⎡⎤+≤++⎢⎥⎣⎦()1222acosθbsinθ=+<16．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知m，n∈R，向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是矩阵12mn⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M的属于特征值3的一个特征向量，求矩阵M及另一个特征值．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为1x ty t，=+⎧⎨=⎩( t为参数)，椭圆C的参数方程为()sinxyθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，为参数.设直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x，y，z均是正实数，且222416x y z，++=求证：6x y z++≤．【答案】A：=1λ-；B：AB=；C：见解析【解析】A．由题意得，Mα3α=，即1m1132n123mn+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以m2n 1.，==即矩阵12M=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦.矩阵M的特征多项式()()2λ12fλλ1402λ1--==--=--，解得矩阵M的另一个特征值为λ=1-.B ．由题意得，直线l 的普通方程为x y 10--=．①椭圆C 的普通方程为22x y 12+=．② 由①②联立，解得A ()01-，，B 4133⎛⎫⎪⎝⎭，，所以AB 3==． C ．由柯西不等式得，()()22222221x 2y z 11x y z 2⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为222x 4y z 16++=，所以()29x y z 16364++≤⨯=，所以，x y z 6，++≤当且仅当“x 2y z ==”时取等号．17．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）[选修4-5：不等式选讲] 已知实数满足，求证：．【答案】见解析 【解析】 由柯西不等式，得，所以．18．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知数列{}n a 满足113a =，2122n n n a a a +=-+，n *∈N ．（1）用数学归纳法证明：1(0,)2n a ∈；（2）令12n nb a =-，证明：11133nn i i b +=-∑…．【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】（1）证明：当1n =时，1110,32a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，结论显然成立； 假设当*,1,n k k k N =∈…时，10,2k a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则当+1n k =时，2211112220,222k k k k a a a a +⎛⎫⎛⎫=-+=--+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上，10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）由（1）知，10,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以110,22n n b a ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. 因为2122n n na a a +=-+，所以()22211111222222222n n n n n n a a a a a a +⎛⎫-=--+=-+=- ⎪⎝⎭， 即2+12n n b b =，于是212log 2log 1n n b b +=+，所以()()212log 12log 1n n b b ++=+，故{}2log 1n b +构成以2为公比的等比数列，其首项为212211log 1=log 1log 63b ++=.于是1221log 1=(log )23n n b -+⋅，从而12122211log 2)=(log 2log 33n n n b --⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1212=3n n b -⎛⎫⎪⎝⎭，即1213=2n n b -⎛⎫⎪⎝⎭，于是121=23n nb -⋅，因为当1,2i =时，12i i -=，当3i …时，()110110111111211i i i i i i i i C C C C C i--------=+=+++>+=，所以对*i N ∀∈，有12i i -…，所以1233i i -…，所以1212323i ii b -=⋅⋅…，从而()()1211123131111=233323313n nn n i inb bb b +=-++++++=⨯=--∑….19．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）已知，都是正数，且，求证：.【答案】见解析 【解析】因为，都是正数， 所以，，，又因为，所以.20．（江苏省高邮市2018届高三上学期期初考）已知函数，.（1）若有两个不同的解，求的值； （2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围； （3）求在上的最大值. 【答案】(1)或.(2)；(3) 当a ≥0时，h (x )在[－2,2]上的最大值为3a ＋3； 当－3≤a ＜0时，h (x )在[－2,2]上的最大值为a ＋3； 当a ＜－3时，h (x )在[－2,2]上的最大值为0. 【解析】 （Ⅰ）方程，即，变形得，显然，x=1已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1” ………………3分 结合图形，得或………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时………………………………………………………6分②当x≠1时，（*）可变形为，令，因为当x>1时，；而当x<1时，.所以，故此时…………………………………………………………………9分综合①②，得所求的取值范围是……………………………………………………10分（Ⅲ）因为=,①当时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，②且h(-2)="3a+3," h(2)=a+3，经比较，此时h(x)在[-2，2]上的最大值为………11分②当时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，上递减，在，[1，2]上递增，且h(-2)="3a+3," h(2)=a+3，，经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为……………………………………12分③当时，结合图形可知h(x)在[-2，-1]，上递减，在，[1，2]上递增，且h(-2)="3a+3," h(2)=a+3，，经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为……………………………………13分④当时，结合图形可知h(x)在，上递减，在，上递增，且h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，知此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为……………………………………14分⑤当时，结合图形可知h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，故此时h(x) 在[-2，2]上的最大值为h(1)=0……………………………………………15分综上所述，当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为；当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为；当时，h(x) 在[-2，2]上的最大值0………………………………………16分21．（江苏省南通市2018年高考数学模拟）[选修4—5：不等式选讲]已知x>0，y>0，z>0，，求证：．【答案】见解析【解析】证明：因为，所以，又因为，所以．22．（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）[选修4－5：不等式选讲]已知，且，求证：．【答案】证明见解析.【解析】证法：要证，即证，即证，即证，由基本不等式易得．23．（2018年高考题及模拟题汇编）若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．【答案】4.【解析】证明：由柯西不等式，得．因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4．24．（江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测）已知，且.(I)试利用基本不等式求的最小值；(Ⅱ)若实数满足，求证：.【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)证明见解析.【解析】（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论.（2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.（1）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有．4分（2），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即．7分25．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）已知，求证．【答案】见解析【解析】分析：根据（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0则()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋，然后利用基本不等式可证明不等式．证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得()[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥(＋)2＝(1＋2)2＝9． 由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4， 所以．26．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）A 选修4—1：几何证明选讲在△ABC 中，已知AC ＝AB ，CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，求证：BN=2AM ．【答案】见解析【解析】分析：因为CM 是∠ACB 的平分线，由内角平分线定理，可得＝，再由圆的切割线定理，可得BM•BA=BN•BC ，整理，即可得证.证明： 如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线， 所以＝．又AC ＝AB ，所以＝①因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦，所以，BM·BA ＝BN·BC ，即＝②由①、②可知＝，所以 BN=2AM ．。
2020江苏高考数学一轮复习学案：第35课__不等式的解法 含解析.docx
____第35课__不等式的解法____1. 理解一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数之间的关系．2. 熟练掌握一元二次不等式的解法，善于运用数形结合解不等式．3. 能够利用同解变形解决分式不等式、高次不等式以及指对数不等式，逐步形成等价转化思想．4. 会解含参数的不等式，能够对参数进行分类讨论.1. 阅读：必修5第75～80页．2. 解悟：①二次函数图象、一元二次不等式的解与一元二次方程的解有怎样的内在联系？②阅读教材第80页第11题，体现了不等式怎样进行转化？3. 践习：在教材空白处，完成必修5第77页练习第4、5、6题.基础诊断1. 函数y ＝x 2＋x －12的定义域是__(－∞，－4]∪[3，＋∞)__．解析：由2＋－12≥0，解得≤－4或≥3，所以函数y ＝x 2＋x －12的定义域为(－∞，－4]∪[3，＋∞)．2. 不等式22＋2－4≤12的解集为__[－3，1]__．解析：因为22＋2－4≤12，所以22＋2－4≤2－1，所以2＋2－4≤－1，2＋2－3≤0，解得－3≤≤1，所以原不等式的解集为[－3，1]．3. 不等式x －12x ＋1≤0的解集为__⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，1__.解析：因为x －12x ＋1≤0，所以⎩⎨⎧x －1≥0，2x ＋1<0或⎩⎨⎧x －1≤0，2x ＋1>0，解得－12<≤1，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.4. 若二次不等式a 2＋b ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－1<x<13，则a ＝__－3__，b ＝__－2__．解析：因为一元二次不等式a 2＋b ＋1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|－1<x<13，所以方程a 2＋b ＋1＝0的解为－1和13，所以⎩⎨⎧a －b ＋1＝0，19a ＋13b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－2.范例导航考向❶ 解不等式例1 解下列关于的不等式： (1) 22＋4＋5>0； (2) 2－2a －3a 2<0(a<0)； (3)x －2x ＋3≤2. 解析：(1) 因为Δ＝42－4×2×5＝－24<0， 所以方程22＋4＋5＝0没有实数根， 所以不等式22＋4＋5>0恒成立， 所以不等式22＋4＋5>0的解集为R. (2) 因为2－2a －3a 2＝0， 所以1＝3a ，2＝－a .又因为a <0，所以不等式解集为{|3a <<－a }. (3) 原不等式化为x －2x ＋3－2≤0，即－x －8x ＋3≤0，即x ＋8x ＋3≥0，等价于(＋3)(＋8)≥0，且≠－3, 所以原不等式解集为{|≤－8或>－3}．解关于的不等式：a 2－(a ＋1)＋1<0.解析：当a ＝0时，不等式为－＋1<0，所以不等式解集为(1，＋∞);当a ≠0时，原不等式化为a (－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0.①当a <0时，1a <0<1，不等式为(－1)(－1a )>0，其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <1a或x >1.②当0<a <1时，1a >1，不等式为(－1)(－1a)<0，其解集为{|1<<1a}．③当a ＝1时，不等式为(－1)(－1)<0，其解集为∅.④当a >1时，1a <1，不等式为(－1)(－1a )<0，其解集为{|1a<<1}.考向❷ 一元二次不等式的恒成立问题 例2 设函数f()＝m 2－m －1.(1) 若关于的不等式f()<0的解集为R ，求实数m 的取值范围；(2) 若对于∈[1，3], f ()<－m ＋5恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1) ①当m ＝0时，f ()<0，即为－1<0，其解集为R ，符合题意； ②当m ≠0时，f ()<0恒成立，即为m 2－m －1<0恒成立，由⎩⎨⎧m <0，Δ＝（－m ）2－4m ·（－1）<0， 解得－4<m <0， 综上，所求m 的取值范围为(－4，0]．(2) f ()<－m ＋5在[1，3]上恒成立，即m 2－m －1<－m ＋5， 化为m 2－m ＋m －6<0在[1，3]上恒成立． 方法一：若m ＝0，不等式为－6<0，显然成立；若m <0，由二次函数g ()＝m 2－m ＋m －6＝m (－12)2＋34m －6可知，g ()在[1，3]上为减函数，所以g ()ma ＝g (1)＝m －6，由m －6<0得m <6，故m <0时，f ()<－m ＋5在[1，3]上恒成立；若m >0，由二次函数g ()＝m 2－m ＋m －6＝m (－12)2＋34m －6可知，g ()在[1，3]上为增函数，所以g ()ma ＝g (3)＝7m －6，由7m －6<0得m <67，故0<m <67时，f ()<－m ＋5在[1，3]上恒成立．综上，所求m 的取值范围为m <67.方法二：若m ＝0，不等式为－6<0，显然成立；若m ≠0，因为2－＋1>0，所以将m 2－m ＋m <6化为m <6x 2－x ＋1.令函数h ()＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，由∈[1，3]，得67≤h ()≤6， 所以所求m 的取值范围为m <67.若不等式2－2＋5≥a 2－3a 对任意实数 恒成立，则实数a 的取值范围为__[－1，4]__．解析：令f ()＝2－2＋5＝(－1)2＋4，所以f ()min ＝4.若不等式2－2＋5≥a 2－3a 对任意实数恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. 考向❸ 一元二次不等式的应用例3 一个服装厂生产风衣，月销售量(件)与售价p(元/件)之间的关系为p ＝160－2，生产件的成本R ＝500＋30(元)．(1) 该厂月产量多大时，月利润不少于1 300元？(2) 当月产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？ 解析：(1) 由题意知月利润y ＝p －R ，所以y ＝(160－2)－(500＋30)，即y ＝－22＋130－500.由月利润不少于1 300元，得－22＋130－500≥1 300，解得20≤≤45. 故该厂月产量在20～45件时，月利润不少于1 300元． (2) 由(1)得y ＝－22＋130－500＝－2(－652)2＋3 2252，由题意知，为正整数．故当＝32或33时，y 最大为1 612.所以当月产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．某商场若将进货单价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价，减少进货量的办法;增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．问该商场将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所赚的利润最多？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所赚的利润在300元以上？解析：设每件提高元(0≤≤10)，即每件获利润(2＋)元，每天可销售(100－10)件，设每天获得总利润为y 元，由题意有y ＝(2＋)(100－10)＝－102＋80＋200＝－10(－4)2＋360，所以当＝4时，y ma ＝360元，即当定价为每件14元时，每天所赚利润最多．要使每天利润在300元以上，则有－102＋80＋200>300，即2－8＋10<0，解得4－6<<4＋ 6. 故每件定价在4－6元到4＋6元之间时，能确保每天赚300元以上．自测反馈1. 已知函数f()＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，－x ＋2， x>0，则不等式f()≥2的解集为__[－1，1]__．解析：当≤0时，f()＝＋2，代入不等式得＋2≥2，即2－－2≤0，解得－1≤≤2，所以原不等式的解集为[－1，0]；当>0时，f()＝－＋2，代入不等式得－＋2≥2，即2＋－2≤0，解得－2≤≤1，所以原不等式的解集为(0，1]．综上，不等式f()≥2的解集为[－1，1]．2. 1<|＋2|<5的解集为__(－7，－3)∪(－1，3)__．解析：由1<|＋2|<5可得⎩⎨⎧1<|x ＋2|，|x ＋2|<5，所以不等式组的解集为{|－7<<－3或－1<<3}．3. 已知函数f()＝(a －1)(＋b)，如果不等式f()>0的解集是(－1，3)，那么不等式f(－2)<0的解集是__⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞__．解析：因为不等式f()>0的解集是(－1，3)，所以(a －1)(＋b)>0，所以(－a ＋1)(＋b)<0，所以a ＝－1，b ＝－3，所以f(－2)＝[－(－2)－1][(－2)－3]<0，解得>12或<－32.4. 当∈(1，2)时，不等式2＋m ＋4<0恒成立，则实数m 的取值范围是__(－∞，－5]__． 解析：根据题意可构造函数f()＝2＋m ＋4，∈(1，2)．因为当∈(1，2)时，不等式2＋m ＋4<0恒成立，即⎩⎨⎧f （1）≤0，f （2）≤0，解得⎩⎨⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.综上，m 的取值范围为(－∞，－5]．1. 不等式的解法，理清其步骤，体会等价转化、数形结合、分类讨论等各种数学方法．2. 解含参数不等式时，要根据参数的取值范围进行分类讨论．3. 你还有哪些体悟，写下;：。
(江苏专用)2020年高考数学一轮复习考点33基本不等式必刷题(含解析)
考点33 基本不等式1．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知，，且，则的最大值为_________．【答案】【解析】化为，即，解得：，所以，的最大值为。
故答案为：2．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）已知，若，满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由，且，，所以，即，所以，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，综上，的最小值为3．（江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟）已知正实数满足，则的最小值为____．【答案】【解析】正实数x，y满足1，则：x+y＝xy，则：4x+3y，则：437+4，故的最小值为．故答案为：.4．（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_____． 【答案】4 【解析】的定义域为（0，+∞）y'=4x+，当且仅当x=时取等号·即直线的斜率的最小值是4 故答案为：45．（江苏省徐州市2019届高三12月月考）已知正实数x ，y 满足141223x y x y+=++，则x y +的最小值为______． 【答案】94【解析】∵x ＞0，y ＞0，∴2x+y ＞0，2x+3y ＞0，x+y ＞0，12x y ++423x y +=1，x+y=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦， 那么：x+y=（x+y ）×1=()()12234x y x y ⎡⎤+++⎣⎦×（12x y ++423x y +） =14（1+()42234232x y x y x y x y ++++++）=()522342342x y x y x y x y ++++++∵()2232342x y x y x y x y +++≥++，当且仅当2x=y=32时取等号．所以：x+y≥59144+=． 故x+y 的最小值为94．故答案为：9 46．（江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研）在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为________.【答案】【解析】由题得,所以,所以因为所以故答案为：7．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）已知，，且，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，当且仅当时取等号.因此的最小值是8．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）已知正实数 a，b，c满足，，则的取值范围是_____．【答案】【解析】由=1，可得，由，得，或，，，，故答案为.9．（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）已知，，且，则的最小值为____．【答案】．【解析】由，，得，当且仅当时等号成立，又，则，所以x+y的最小值为．故答案为：10．（江苏省南通市2018届高三最后一卷）在斜△ABC中，若，则的最大值是____．【答案】.【解析】在斜中，，，又，，所以，与同号，又在中，，所以，当且仅当时“=”成立，的最大值为，故答案为.11．（）已知,且满足,则的最大值为_______【答案】【解析】根据题意，，又，，且，则，则有，即得最大值为.故答案为：.12．（江苏省盐城中学2018届高三考前热身2）已知正实数，满足，则的最小值为__________.【答案】.【解析】根据题意，1，又，则，则3a+2b[5（a+b）+（a﹣b）]×[][6]；记，,故在上单调递增，即最小值为6∴3a+2b[6]的最小值为6故答案为：6．13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试江苏卷）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.14．（江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试四）已知函数（，为正实数）只有一个零点，则的最小值为__________．【答案】.【解析】∵函数（，为正实数）只有一个零点，∴，∴．∴．令，则，∴，当且仅当，即时等号成立，此时．∴的最小值为.15．（江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试）若正数成等差数列，则的最小值为_________．【答案】【解析】因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以令5a+c=x,2a+c=y，则所以当且仅当时取等号.故答案为：16．（江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研二）已知为正实数，且，则的最小值为____．【答案】.【解析】由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：17．（江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试）已知a ，b ，c 均为正数，且abc ＝4(a ＋b )，则a ＋b ＋c 的最小值为_______．【答案】8 【解析】()4abc a b =+()4a b c ab+∴=()444448a b a b c a b a b abb a +++=++=+++≥=+= 18．（江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研二模）已知a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+，则a b c ++的最小值为____．【答案】8【解析】∵a b c ，，均为正数，且()4abc a b =+∴()4a b c ab+=∴()4448a b a b c a b a b abb a +++=++=+++≥=，当且仅当2a =， 2b =时取等号∴a b c ++的最小值为8 故答案为8.19．（江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测）已知(),,0,a b c ∈+∞，则()222252a b cbc ac++++的最小值为__________．【答案】4【解析】由均值不等式的结论有：22222221455a b c a c b c ⎛⎫⎛⎫++=+++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即)22222ac bc a b c +≤++，当且仅当a b ==时等号成立， 则()222222222225542a b cab ca b c ac bc++++++++≥≥=+综上可得：()222252a b cbc ac++++的最小值为4.20．（江苏省兴化市楚水实验学校、黄桥中学、口岸中学三校2018届高三12月联考）已知函数()33xxf x e e x x -=-++，若整数a,b 满足()()2110f a f b -+-=，则22211a b a b+++的最小值为___． 【答案】94【解析】因为函数()33xxf x e ex x -=-++在R 上单调递增，且为奇函数，又()()2110f a f b -+-=即()()211f a f b -=--所以211b a -=-即 22a b +=，又 22211a b a b +++=()()()22141212121214111a a b a b a b a b a b+-++++=++++-=++++ 又()()()2121211121921415+4=1144144a b a b a b a b a b ⎛⎫+⎛⎫⎡⎤+=+++⨯=+++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭ 当14,33a b ==时取等号. 故答案为94.21．（江苏省盐城市东台中学2018届高三学业质量监测）为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG （图中阴影部分）．以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy （如图所示）．景观湖的边界曲线符合函数模型．园区服务中心P 在x 轴正半轴上，PO ＝百米．（1）若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；（2）若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道直线段PQ最短．【答案】(1) 的最小值为百米．(2) 当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．【解析】（1）设，，则，当且仅当，即时取等号．所以的最小值为百米．（2）当直线与边界曲线相切时，最短．设切点为，由得，所以切线的方程为．因为在轴正半轴上，且PO=，所以点坐标为．因为切线过点，所以，整理得，解得，或．因为，所以，此时切点为，切线方程为．令，得，即点在线段上且距离轴百米．答：当点在线段上且距离轴百米，通道PQ最短．22．（江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测）已知，且.(I)试利用基本不等式求的最小值；(Ⅱ)若实数满足，求证：.【答案】(Ⅰ)3；(Ⅱ)证明见解析.【解析】（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论. （2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.（1）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有． 4分（2），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即．23．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）已知，求证．【答案】见解析【解析】证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．而 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4，所以． 证法二 因为a ＞0，b ＞0，由柯西不等式得()[(2a ＋1)＋(2b ＋1)]≥(＋)2＝(1＋2)2＝9． 由a ＋b ＝1，得 (2a ＋1)＋(2b ＋1)＝4， 所以．24．（江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试）已知1a >，1b >，求2211b a a b +--的最小值. 【答案】8【解析】因为1a >， 1b >， 所以()24141b a b a +-≥-， ()24141a b a b +-≥-.两式相加： ()()22414111b a a b a b +-++-≥-- 44b a +， 所以22811b a a b +≥--. 当且仅当()2411b a a =--且()2411a b b =--时“=”成立.即2a b ==时， 2211b a a b +--取得最小值8.。
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：数列(含解析)
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练数列一、填空题 1、（南京市2018高三9月学情调研）记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为 ▲ ．2、（南京市2018高三9月学情调研）在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1) (n ∈N *)，则a 10的值为 ▲ ．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）设等比数列{}n a 的前n 项积为n P ，若12732P P =，则10a 的值是 ▲ ．4、（苏州市2019届高三上学期期中）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S = ▲ ．5、（徐州市2019届高三上学期期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则12a 的值为 ▲ ．6、（盐城市2019届高三上学期期中）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，749S =，则公差d ＝ ．7、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知n ∈N*,nn a 2=，21n b n =-，1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．数列{}n c 的前n 项和为n T ，若 0≥+n n T a λ对任意的n ∈N*恒成立，则实数λ的最大值是 ▲ ．8、（苏州市2018高三上期初调研）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*16152,n n a S n n n n N -=+∈-≥，若对任意*n N ∈，总有n k S S ≤，则k 的值是 ．9、（宿迁市2019届高三上学期期末）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，121n n a a +-=，11a =，则9S 的值为 ▲ ．10、（扬州市2019届高三上学期期末）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37S =，663S =，则1a ＝ ．11、（镇江市2019届高三上学期期末）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-，则63S S ＝ ．12、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月）） 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ．若324a a -=，416a =，则3S 的值为 ▲13、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 14、（盐城市2019届高三第三次模拟）已知正项数列{}n a 满足112334121111...n n n a a a a a a a a a ++=++++++++，其中*N n ∈，24=a ，则=2019a ____.15、（江苏省2019年百校大联考）已知{}n a 为各项均为正整数的等差数列，127572a a +=，且存在正整数m ，使1a ，14a ，m a 成等比数列，则所有满足条件的{}n a 的公差的和为 ． 16、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）等差数列{}n a 中，410a =，前12项的和1290S =，则18a 的值为 .17、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14760a a a ++=，25851a a a ++=，若对任意n N *∈，都有n S ≤k S 成立，则正整数k 的值为18、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，2221N 22Nn n n a n k k a a n k k *+*⎧+=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩，，，，，则满足2019≤m S ≤3000的正整数m 的所有取值为 ．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）如果数列{a n }共有k (k ∈N *，k ≥4)项，且满足条件：① a 1＋a 2＋…＋a k ＝0； ② |a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝1，则称数列{a n }为P (k )数列．（1）若等比数列{a n }为P (4)数列，求a 1的值；（2）已知m 为给定的正整数，且m ≥2．① 若公差为正数的等差数列{a n }是P (2m ＋3)数列，求数列{a n }的公差；② 若a n ＝⎩⎨⎧q n －13 ，1≤n ≤m ，n ∈N *，m －n 12，m ＋1≤n ≤2m ，n ∈N *，其中q 为常数，q ＜－1．判断数列{a n }是否为P (2m )数列，说明理由．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知数列{a n }各项均不相同，a 1＝1，定义k n k n n a a k b +-+=)1()（，其中n ，k ∈N*．（1）若n b n =）1（，求5a ； （2）若b n ＋1(k )＝2b n (k )对2,1=k 均成立，数列{a n }的前n 项和为S n ． （i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，把满足条件()*1n n a S n N +≤∈的所有数列{}n a 构成的集合记为M ．（1）若数列{}n a 通项为12n na =，求证：{}n a M ∈； （2）若数列{}n a 是等差数列，且{}n a n M +∈，求512a a -的取值范围；（3）若数列{}n a 的各项均为正数，且{}n a M ∈，数列4n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{}n a 的通项；若不存在，说明理由．4、（南京市2018高三9月学情调研）已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N *． （1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）若k ，t ∈N *，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．5、（苏州市2019届高三上学期期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n A ， 35a =，636A =．数列{}n b 的前n 项和为n B ，且21n n B b =-． （1）求数列}{n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．6、（盐城市2019届高三上学期期中）已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足22n n n a a S +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是公比为4的等比数列，且11b a -，22b a -，33b a -也是等比数列，若数列n n a b λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭单调递增，求实数λ的取值范围；（3）若数列{}n b 、{}n c 都是等比数列，且满足n n n c b a =-，试证明: 数列{}n c 中只存在三项．7、（泰州市2019届高三上学期期末）已知数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，1232a a a +=，且对任意的n ∈N*，n ≥2都有1112(25)n n n nS n S S ra +--++=。
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江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练不等式选讲1、（南京市2018高三9月学情调研）解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）若正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，求111111a b c +++++的最小值．4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）设x ，y ，z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=，求证：3147x y z ++=．6、（苏州市2019届高三上学期期中调研）已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围．7、（徐州市2019届高三上学期期中质量抽测）对于实数x ，y ，若满足｜x －1｜≤1，｜y －2｜≤1，求｜x －2y+1｜的最大值．8、（苏州市2018高三上期初调研）已知,,x y z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z ++≥++.9、（海安县2019届高三上学期期末考试）已知x ，y ，z 均为正数，且x+y+z ＝1，求222111x y z x y z+++++的最小值。
10、（南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥．11、（苏州市2019届高三上学期期末考试） 设a ，b ，c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++12、（徐州市2019届高三12月月考）已知x y z、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z++≤++.13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围．16、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 18、（盐城市2019届高三第三次模拟）求不等式|1||2|24-≤+-x x 的解集.19、（南通市2019届高三练习卷（四模））已知实数x ，y ，z 满足222491212x y z ++=．证明：22222111323x y y z z++≥++．20、（南通市2019届高三适应性考试）已知关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{}|12x x <<，其中m n ∈R ，．求证： (1)3(1)45m x n x --+--≤．参考答案1、解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分 2、解：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．……………2分 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， …………………6分 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4． ……………………10分 3、解：因为正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，所以()()()1214110a b c +++++=，所以()()()()()211112*********a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，…………5分 即111116211110a b c ++++++≥， 当且仅当231027a -=，152177b -=，8527c -=时，取最小值116210+． …10分4、解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)5、6、解：因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝(3，1)·(x ＋2，14－x )…………………3分 ≤3＋12·(x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5分当且仅当x ＋214－x ＝31,即x ＝10时取等号． …………………7分所以f (x )＋g (x )的最大值是8． …………………8分 所以a <8，即实数a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10分7、由21-+=x y (1)2(2)2----x y …………………………………………………4分(1)2(2)2≤---+x y 12225≤-+-+=x y ，…………………8分当且仅当0,3x y =⎧⎨=⎩时，取“=”.可知，12+-y x 的最大值为5.…………………………………………………10分8、证明：因为,,x y z 都是为正数，所以12x y y x yz zx z x y z⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭， 同理可得22,y z z x zx xy x xy yz y+≥+≥， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++. 9、10、【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭22222221111119111a +b +c a b c ⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 11、12、证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++…………………5分 则2221111113x y z x y z⨯++≥++, 即2223111111()3x y z x y z++≤++………………………10分 13、【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭22222221111119111a +b +c a b c ⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 14、【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤，所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号．…………………………10分 15、【解】因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤． …… 4分当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤；当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<；当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤，综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤． …… 10分16、17、解：∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥， …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立，当且仅当15a +≥， ………7分 ∴4a ≥或6a -…． ………………………………………………………………………10分 18、解：①当2x -≤时，原不等式可化为42(2)1x x ++-≤，解得73x -≤，此时73x -≤；……3分②当21x -<<时，原不等式可化为42(2)1x x -+-≤，解得x ≥1-，此时11x -<≤； ……6分③当x ≥1时，原不等式可化为42(2)1x x -+-≤，解得x ≥13，此时x ≥1. ……………9分综上，原不等式的解集为[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦． …………………10分19、20、【解】因为关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{}|12x x <<，所以=1+2=3=12=2m n ⨯，． ······················································3分 所以(1)3(1)4234m x n x x x --+--=-+-，由柯西不等式可得，22222(234)(21)[(3)(4)]5x x x x -+-+-+-=≤， 当且仅当234x x -=-，即16[34]5x =∈，时取等号． 所以，(1)3(1)45m x n x --+--≤． ········································10分。