最小二乘法中的不确定度评估及应用

接近传感器的实际工作曲线，通过参考工作曲线 方程及传感器的输入信息，得到的输出值是否准 确，直接关系到传感器测量的准确度，因此需评 定参考工作曲线的不确定度。本文结合位移传感 器的校准实例，评定了其估计值的测量不确定度。
2最小二乘法中的不确定度评估原理
设传感器的输入量X与输出量y有线性关系 y=a+bx,对其独立测得若干对数据(x”必)，(x2, y2),……，(x„, y„), n>2,欲得到预期估计值及其 标准不确定度，要用到最小二乘法，^y=a+bx, 误差方程为：
则，截距厶的计算公式如下：
丈厶Y,tY-t厶丈彳厶
i=l Z=0 Al f=l _ Z=1
1=1
（为町-吃彳
f（^-n2
截距Lo引入的不确定度分量为:
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汽车科技 / AUTO SCI-TECH 2020年第3期
u5——拟合直线截距引入的不确定度分 量。
灵敏系数：
（4）
d(L),
~d(Y)=k
（5）
叫1
0（厶）
(6)
根据 ⑷、（5）、（6）式得标准不确定度：
uc2（L） = Y2u2（k）+k2u2（Y）+u2（L„）
（7）
3.1数学模型
3.2.1拟合直线斜率引入的不确定度分量u（k） 根据残差平方和》（厶-仏乙+厶。）尸最小的原
刘茹 毕业于湖南大学，测控技
术与仪器专业，现就职于国家 汽车质量监督检验中心(襄 阳)，任主管工程师，主要从 事汽车专用检测仪器设备的计 量工作。
1引言
传感器广泛应用于社会发展及人类生活的各 个领域，如工业自动化，农业现代化，环境监 测、交通运输等，通过传感器将被测量的信息， 按一定的规律转换为电信号或其他所需形式的信 息输出。在计量工作中，我们需找出传感器输入 信息与输出信息的规律，常用最小二乘法拟合曲 线，得到传感器的参考工作曲线方程，该曲线最
Vi=y2-(a+bx2)
v”=A”_(a+bx”)
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最小二乘法中的不确定度评估及应用
式中匕为残差。
残差平方和为
为(” _ (a +bxi))2
要使
Sv,2= min(最小)
只需
------- =0 及----- =0
8a
8b
列方程求解得: a=y-b兀
b=L
式中：
S” = [(x；-壬)(H-刃] S” = [(x厂壬)(x厂壬)]
doi:10.3969/j.issn.l005-2550.2020.03.012
汽车科技 / AUTO SCI-TECH 2020年第3期
收稿日期：2020-01-03
最小二乘法中的不确定度评估及应用
刘茹，李昕，李均胜 (国家汽车质量监督检验中心(襄阳)，襄阳441004) 摘要：本文分析了当被测量的估计值由实验数据用最小二乘法拟合的直线或曲线上得 到时，预期的估计值或表征曲线拟合参数的标准不确定度的评定方法，并实例演示了计算过 程，最后得到预期估计值的测量不确定度。 关键词：最小二乘法；不确定度评定 中图分类号：TH-39文献标识码：A 文章编号：1005-2550 ( 2020 ) 03-0063-03
式中：^oi---- 第i校准点的标准值; 厶一第i校准点拟合直线计算出的拟合值。 3.2.2由传感器输出值测量引入的不确定度分量"（F） 校准用万用表电压测量误差0.01%也0005V,服 从均匀分布，则：
M（y）=
=0.0058%7+0.00029 （11）
V3
3.2.3由拟合直线截距引入的不确定度分量“（厶）） 根据残差平方和Y（厶-仏乙+厶）尸最小的原
距，mm; k——用最小二乘法得到的拟合直线的斜
率，mm/V。 因为各输入量彼此独立，依不确定度传播定
律：
=
（2）
J=1
由公式1得方差：
Mc2（Z）=C12M2（A：）+C22M2（y）+ C32M2（Z｛）） （3） 式中："（― 感器输出值测量引入的不确定度 分量；
Evaluation and application of uncertainty in least squares
LIU Ru, LI Xin, LI Jun-sheng (National Automobile Quality Supervision and Test Center ( XiangYang ) , XiangYang
441004, China ) Abstract: In this paper, the evaluation method of standard uncertainty of estimated value or characteristic curve fitting parameter is analyzed when the estimated value of measured is obtained from the experimental data by the line or curve fitting with least squares, an example is given to demonstrate the calculation process, and the uncertainty of measurement of the estimated value is obtained. Key Words: Least squares; Evaluation of uncertainty
上式中的［］为求和符号。
将a, b代回误差方程，求得残差％,实验标 准差：
因此，参数a, 0的标准不确定度为:
3最小二乘法不确定度评估实例
3.1数学模型
以位移传感器为例，用最小二乘法求出拟合
宜线方程：
L=kY+L0
（1）
式中：L一校准位移传感器的拟合输出
值，mm; Y——被校准位移传感器的输出值，V; 厶——用最小二乘法得到的拟合直线的截
则，斜率E的计算公式如下：
£厶丈丫厂恳厶乙丈(Y-Y)(L-L)
冋 1 _ i=l i=l
* — /（丄n _\\ 2
i=l _ j=1
旦 _2
Ln（^“ -n—、2
（8）
\l=l ）
»M =1 2
2=1
斜率g引入的不确定度分量为:
（9）
In
—2
\沖）
式中s为残余标准差，计算方法为:
厂厶）J
n-2
(10)