当阳市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

当阳市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
2． 已知集合A={x|a ﹣1≤x ≤a+2}，B={x|3＜x ＜5}，则A ∩B=B 成立的实数a 的取值范围是（ ） A ．{a|3≤a ≤4} B ．{a|3＜a ≤4} C ．{a|3＜a ＜4} D ．∅ 3． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717
100201717
S S -=，则d 的值为（ ） A ．
120 B ．110
C ．10
D ．20 5． 下列命题的说法错误的是（ ）
A ．若复合命题p ∧q 为假命题，则p ，q 都是假命题
B ．“x=1”是“x 2﹣3x+2=0”的充分不必要条件
C ．对于命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1＞0 则￢p ：∃x ∈R ，x 2+x+1≤0
D ．命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2﹣3x+2≠0” 6． 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
7． 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
8． 把函数y=sin （2x ﹣）的图象向右平移
个单位得到的函数解析式为（ ）
A ．y=sin （2x ﹣
） B ．y=sin （2x+
）
C ．y=cos2x
D ．y=﹣sin2x
9． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各 面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中 正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．已知a n =（n ∈N *
），则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是（ ）
A ．a 1，a 30
B ．a 1，a 9
C ．a 10，a 9
D ．a 10，a 30
11．若复数满足
7
1i i z
+=（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ． D ．i -
12．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．12
二、填空题
13．若P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，则P点到该抛物线的焦点F的距离为|PF|=．
14．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若复数z=3﹣i，则z•=．
15．如图所示，在三棱锥C﹣ABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是．
16．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是米．（太阳光线可看作为平行光线）
17．如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和
是．
18．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{a n}（即项数是无穷项），我们定义S n（其中S n是数列{a n}
的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S=S n=，则循环小数0.的分数形式是．三、解答题
19．已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=，DC=2AB=2BC=2，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图
所示的几何体
（Ⅰ）求几何体的表面积
（Ⅱ）判断在圆A上是否存在点M，使二面角M﹣BC﹣D的大小为45°，且∠CAM为锐角若存在，请求出CM的弦长，若不存在，请说明理由．
20．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？
21．啊啊已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为
（t为参数），圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r值．
22．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率
之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
23．在平面直角坐标系中，已知M（﹣a，0），N（a，0），其中a∈R，若直线l上有且只有一点P，使得|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”．由此定义可判断以下说法中正确的是
①当a=7时，坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，坐标平面内有无数条黄金直线；
③当a=3时，黄金点的轨迹是个椭圆；
④当a=0时，坐标平面内有且只有1条黄金直线．
24．已知f（x）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（m）+f（n）=4，且m＜n，求m+n的取值范围．
当阳市第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
2． 【答案】A
【解析】解：∵A={x|a ﹣1≤x ≤a+2}
B={x|3＜x ＜5} ∵A ∩B=B ∴A ⊇B
∴
解得：3≤a ≤4 故选A
【点评】本题考查集合的包含关系判断及应用，通过对集合间的关系转化为元素的关系，属于基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：设数列{a n }的公差为d ，则由a 1+a 5=10，a 4=7，可得2a 1+4d=10，a 1+3d=7，解得d=2， 故选B ．
4． 【答案】B 【解析】
试题分析：若{}n a 为等差数列，
()
()111212n
n n na S d a n n
n -+
==+-⨯，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列公差为2d ,
2017171
100,2000100,201717210
S S d d ∴
-=⨯==,故选B. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式. 5． 【答案】A
【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确；B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确；
C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；
D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确．
故选：A．
6．【答案】D
【解析】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD⊆面PDA，PD⊆面PDC，
∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，
又∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥CD，CD⊥AD
∵PD⊥矩形ABCD所在的平面
∴PD⊥BC，PD⊥CD
∵PD∩AD=D，PD∩CD=D
∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，
∵CD⊆面PDC，BC⊆面PBC，AB⊆面PAB，
∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD
综上相互垂直的平面有5对
故答案选D
7．【答案】C
【解析】解：第一次循环第二次循环得到的结果第三次循环得到的结果
第四次循环得到的结果
…
所以S是以4为周期的，而由框图知当k=2011时输出S
∵2011=502×4+3
所以输出的S是
故选C
8．【答案】D
【解析】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位，
所得到的图象的函数解析式为：y=sin[2（x ﹣）﹣]=sin （2x ﹣π）=﹣sin2x ．
故选D ． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移x 加与减，上下平移，y 的另
一侧加与减．
9． 【答案】B 【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B ．
考点：几何体的结构特征． 10．【答案】C
【解析】解：a
n ==1+
，该函数在（0，
）和（
，+∞）上都是递减的，
图象如图， ∵9＜
＜10．
∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a 10，a 9．
故选：C ． 【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了数形结合的解题思想，解答的关键是根据数列通项公式画出图象，
是基础题．
11．【答案】A 【解析】
试题分析：4
2
7
3
1,1i i i i i ==-∴==-,因为复数满足7
1i i z +=,所以()1,1i i i i z i z
+=-∴=-，所以复数的虚部为,故选A.
考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算. 12．【答案】B
【解析】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a 2+4ab+4b 2=4+4×2×1×cos60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B ．
【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．
二、填空题
13．【答案】5．
【解析】解：P（1，4）为抛物线C：y2=mx上一点，
即有42=m，即m=16，
抛物线的方程为y2=16x，
焦点为（4，0），
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
14．【答案】10．
【解析】解：由z=3﹣i，得
z•=．
故答案为：10．
【点评】本题考查公式，考查了复数模的求法，是基础题．
15．【答案】30°．
【解析】解：取AD的中点G，连接EG，GF则EG DC=2，GF AB=1，
故∠GEF即为EF与CD所成的角．
又∵FE⊥AB∴FE⊥GF∴在Rt△EFG中EG=2，GF=1故∠GEF=30°．
故答案为：30°
【点评】此题的关键是作出AD的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了．
16．【答案】 3.3
【解析】
解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．
设BC=x，则根据题意
=，
AB=x，
在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，
则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米，
故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
17．【答案】64．
【解析】解：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28
∴甲的中位数为28
乙的得分共有9个，中位数为36
∴乙的中位数为36
则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64
故答案为：64．
【点评】求中位数的关键是根据定义仔细分析．另外茎叶图的茎是高位，叶是低位，这一点一定要注意．
18．【答案】．
【解析】解：0.=++…+==，
故答案为：．
【点评】本题考查数列的极限，考查学生的计算能力，比较基础．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，得；
该旋转体的下半部分是一个圆锥，
上半部分是一个圆台中间挖空一个圆锥而剩下的几何体，
其表面积为S=×4π×2×2=8π，
或S=×4π×2+×（4π×2﹣2π×）+×2π×=8π；
（2）作ME⊥AC，EF⊥BC，连结FM，易证FM⊥BC，
∴∠MFE为二面角M﹣BC﹣D的平面角，
设∠CAM=θ，∴
EM=2sinθ，EF=，
∵tan∠MFE=1，∴，∴tan=，∴，
∴CM=2．
【点评】本题考查了空间几何体的表面积与体积的计算问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是综合性题目．
20．【答案】
【解析】解：（1）（x∈N*） (6)
（2）盈利额为…
当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)
答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)
【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）根据直线l的参数方程为（t为参数），
消去参数，得
x+y﹣=0，
直线l的直角坐标方程为x+y﹣=0，
∵圆C的极坐标方程为p2+2psin（θ+）+1=r2（r＞0）．
∴（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．
∴圆C的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2（r＞0）．
（Ⅱ）∵圆心C（﹣，﹣），半径为r，…（5分）
圆心C到直线x+y﹣=0的距离为d==2，
又∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即d+r=3，
∴r=3﹣2=1．
【点评】本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和直角坐标方程的互化等知识．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．
设点P的坐标为（x，y）
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则．
因为sin∠APB=sin∠MPN，
所以
所以=
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．
【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
23．【答案】
①②③
【解析】解：①当a=7时，|PM|+|PN|≥|MN|=14＞10，因此坐标平面内不存在黄金直线；
②当a=5时，|PM|+|PN|=10=|MN|，因此线段MN上的点都满足上式，因此坐标平面内有无数条黄金直线，正确；
③当a=3时，|PM|+|PN|=10＞6=|MN|，黄金点的轨迹是个椭圆，正确；
④当a=0时，点M与N重合为（0，0），|PM|+|PN|=10=2|PM|，点P在以原点为圆心、5为半径的圆上，因此坐标平面内有且无数条黄金直线．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了新定义“黄金直线”、“黄金点”、椭圆的定义、圆的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．
由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f（m）+f（n）=4，∴m＜n≤﹣，∴m+n＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．。