2020年高中数学第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球课件新人教B版必修2

个几何体可能是( )
A．圆锥
B．圆柱
C．球
D．以上都有可能
答案：B
知识点二 圆锥的结构特征
2．圆锥过轴的截面是( A．圆 C．矩形
) B．等腰三角形 D．抛物线
答案：B
知识点三 圆锥与圆台
3．把一个圆锥截成圆台，若圆台的上、下底面半径的比是
1∶4，圆台的母线长是 10，则原来的圆锥的母线长是( )
第一章 立体几何初步
1.1 空间几何体 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
课前基础梳理
自主学习 梳理知识
|目 标 索 引| 1．理解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念，初步掌握运用 旋转的观点去观察问题． 2．理解这几种几何体的轴截面的概念和它在决定几何体时 的重要作用.
几种简单旋转体的比较
名称
定义
若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其 面积为 3，则这个圆锥的母线长为________．
解析：设母线长为 l，则有 43l2＝ 3，则 l＝2. 答案：2
一个圆锥的母线长为 20 cm，母线与轴的
夹角为 30°，则圆锥的高为( )
A．10 3 cm
B．20 3 cm
C．20 cm
D．10 cm
解析：由题可得，圆锥的高为 20·cos30°＝20× 23＝10 3.
综上，圆台的高为 OO′＝14 cm， 母线长为 l＝ 2OO′＝14 2 cm， 两底面的半径分别为 7 cm,21 cm.
【知识点拨】 (1)圆锥的性质：圆锥的轴截面是等腰三角 形，底为底面圆的直径，腰为母线；平行于底面的截面为圆面， 将圆锥分为一个小圆锥与一个圆台．
(2)圆台的性质：圆台的上、下底面为两个不等的圆面；轴 截面为等腰梯形，上、下底为上、下两底面圆的直径，腰为母 线；平行于底面的截面将圆台分为两个小圆台．
【知识点拨】 (1)球的截面的性质：球的截面是圆面；球 心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；设球的半径为 R， 截面圆的半径为 r，球心到截面圆的距离就是球心到截面圆心 O1 的距离，则有 OO1＝ R2－r2.
(2)球面上两点间的距离是指过这两点的球的大圆上两点间 的劣弧长，求球面距离的步骤是先求两点间的直线距离，在大 圆中求球心角，再求球面距离．
图形表示
以_矩__形_的__一_边_____所在的直线为旋转轴，将矩 圆柱 形旋转一周而形成的__曲_面___所围成的几何
体叫圆柱
名称
定义
图形表示
以直角三角形的_一_条__直_角__边_____所在的直线 圆锥 为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的
__曲_面___所围成的几何体叫圆锥
以直角梯形中_垂__直_于__底_边__的_腰______所在的直 圆台 线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的
【知识点拨】 圆柱的性质：(1)圆柱的上下底面为两个相 等的圆面．(2)圆柱的轴截面为矩形，一组对边为底面的直径， 一组对边为母线．(3)平行于底面的截面是与底面全等的圆面．
边长为 5 cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴
截面，则从 E 点沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短距离是( )
A．10 cm
__曲_面___所围成的几何体叫圆台
名称
相关概念
圆柱 高：在_轴__上___的这条边(或它的长度)； 圆锥 底面：_垂__直_于__轴____的边旋转而成的圆面；
侧面：_不__垂_直__于_轴_____的边旋转而成的曲面； 圆台
母线：无论旋转到什么位置，_这__条_边____都叫做侧面的母线
名称
2 2 R.
设∠AO′B 的度数为 α，
即1α8π0°·AO′＝1α8π0°·22R＝ 42πR， ∴α＝90°.
连接 AB，则 AB＝ AO′2＋BO′2＝
在△AOB 中，AO＝BO＝AB＝R， 则△AOB 为正三角形， ∴∠AOB＝60°.
22R2＋
22R2＝R.
∴A，B 两地间的球面距离为6108π0R＝π3R.
定义
图形表示
一个球面可以看作一个半圆绕着它的_直__径___ 球 所在的直线旋转一周所形成的_曲__面___.
__球_面___围成的几何体叫做球
名称
相关概念
球心：形成球的半圆的_圆__心___
球的半径：连接球心和球面上一点的__线_段___
球的直径：连接球面上两点并且通过_球__心___的线段 球
A．130
B．730
C．430
D．13
解析：设原圆锥的母线长为 l，由题意l－l10＝14，所以 l＝430. Nhomakorabea答案：C
知识点四 球与组合体
4．正方体的全面积是 a2，它的顶点都在同一个球面上，这
个球的半径是( )
A． 63a
B． 42a
C．
2 2a
D．
3 2a
解析：正方体外接球的直径等于正方体的体对角线的长， 所以 2R＝ 3· a62＝ a22＝ 22a， ∴R＝ 42a，故选 B． 答案：B
课堂互动探究
典例精析 规律总结
类型 1 圆柱
(1)下列命题中正确的是( ) A．连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个圆柱体 C．直线绕定直线旋转形成柱面 D．以矩形的一边为旋转轴，将矩形旋转一周形成圆柱
(2)用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱
轴截面面积为( )
A．8
B．8π
C．4π
D．2π
【解析】 (1)由圆柱的概念可知 D 正确． (2)若矩形的长为圆柱底面周长，则 2πR＝4，所以 2R＝4π. 因此圆柱轴截面面积 S1＝2R·2＝8π； 若矩形的宽为圆柱底面周长，则 2πR＝2， 所以 2R＝2π，则圆柱轴截面面积 S2＝2R·4＝8π. 综上可知，圆柱的轴截面面积为8π. 故选 B． 【答案】 (1)D (2)B
两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是
经过这两点的_大__圆___在这两点间的一段__劣_弧___的长度，把 这个_弧__长___叫做两点的球面距离
1．下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱 ②六棱锥 ③正方体 ④球体 ⑤四面体
A．①和⑤
B．①
C．③和④
D．①和④
解析：圆柱、球体是旋转体，其余均为多面体，故选 D．
答案：D
2．一个圆柱的母线长为 5，底面半径为 2，则圆柱的轴截
面面积为( )
A．10
B．15
C．20
D．40
解析：圆柱的轴截面为矩形，长为 4，宽为 5，所以轴截面
的面积为 4×5＝20，故选 C．
答案：C
3．有下列说法： ①球的半径是连接球心和球面上任意一点的线段； ②球的直径是连接球面上两点的线段； ③不过球心的截面截得的圆叫做小圆． 其中正确说法的序号是________． 答案：①③
B．5 2 cm
C．5 π2＋1 cm
D．52 π2＋4 cm
解析：作出侧面展开图，如图所示．
∴EG＝ EF2＋GF2＝
π×522＋52
＝52 π2＋4(cm)，故选 D．
答案：D
类型 2 圆锥与圆台
圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，轴 截面的面积等于 392 cm2，母线与轴的夹角为 45°，求这个圆台 的高、母线长和底面半径．
一圆柱内接于球，已知圆柱的底面半径
为 2，高为 2，则球的半径为( )
A．2 C．2 2
B． 5 D． 2
解析：如图所示，BC＝2，AB＝2，∴OB＝1，
∴球的半径为 OB2＋BC2＝ 1＋4＝ 5，故选 B． 答案：B
基础知识达标
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知识点一 圆柱的结构特征
1．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这
故选 A． 答案：A
类型 3 球
(1)已知球的半径为 10 cm，若它的一个截面圆的面 积是 36π cm2，则球心与截面圆圆心的距离是________；
【解析】 设截面圆半径为 r，球心与截面圆圆心的距离为 d，球半径为 R.由已知，R＝10 cm，πr2＝36π cm2，∴r＝6 cm. ∴d＝ R2－r2＝ 100－36＝8 cm.
知识点五 球 5．如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬 60°纬线长 和赤道长的比值为________． 解析：设地球半径为 R，则北纬 60°纬线圈的半径为 Rcos60° ＝12R，而圆的周长之比等于半径之比，故为12.
答案：12
【分析】 对于圆台的轴截面，我们一般将其两腰延长转 化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例定理、三 角形相似等知识来解决．
【解】 圆台的轴截面如图，设圆台的上、 下底面半径分别为 x cm 和 3x cm，延长 AA′，交 OO′的延长线于点 S.
在 Rt△SOA 中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，所以 SO＝ AO＝3x，SO′＝A′O′＝x，所以 OO′＝2x，又因为 S 轴截面＝12(6x＋ 2x)2x＝392，所以 x＝7.
【答案】 8 cm
(2)设地球半径为 R，在北纬 45°圈上有 A，B 两地，它们的
纬线圈上的弧长等于 42πR，求 A，B 两地间的球面距离． 【解】 如图所示，A，B 是北纬 45°圈上的两点，AO′为此
纬线圈的半径，
∴OO′⊥AO′，OO′⊥BO′.
∵∠OAO′＝∠OBO′＝45°，
∴AO′＝BO′＝OA·cos45°＝