名校试卷8高三数学一诊试卷(理)(含答案详解)

高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题（每小题5分）
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3} 2．（5分）已知z是复数，且=1+i，则z在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得224粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．169石B．192石C．1367石D．1164石4．（5分）已知直线l与平面α相交但不垂直，m为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（）
A．m⊥l，m⊂αB．m⊥l，m∥αC．m∥l，m∩α≠∅D．m⊥l，m⊥α5．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a2=1，a2016+a2017=3，S n是数列{a n}的前n项和，则S2017=（）
A．6051 B．4034 C．2017 D．1009
6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．4+2πB．8+2π
C．4+πD．8+π
7．（5分）若圆x2+y2+4x﹣2y﹣a2=0截直线x+y+5=0所得弦的长度为2，则实数a=（）A．±2 B．﹣2
C．±4 D．4
8．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）
A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9
9．（5分）已知实数x，y满足且ax﹣y+1﹣a=0，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，1）B．[﹣1，] C．（﹣1，] D．[﹣，] 10．（5分）已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，1）C．（，1）D．（，0）11．（5分）设抛物线K：x2=2py（p＞0），焦点为F，P是K上一点，K在点P处的切线为l，d为F到l的距离，则（）
A．=p B．=p C．=2p D．=
12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）+﹣f（x）﹣f（y）=0，若一族平行线x=x i（i=1，2，…，n）分别与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，
（x n，y n），且x i，2f（1），x n﹣i+1成等比数列，其中i=1，2，…，n，则=（）A．2n B．1 C．D．
二、填空题（每小题5分）
13．（5分）已知向量=（1，﹣1），•=0，|﹣|=2，则||=．
14．（5分）已知（a+）6（a＞0）展开式中的常数项是5，则a=．
15．（5分）已知函数f（x）=若方程f（x）﹣a=0有唯一解，则实数a 的取值范围是．
16．（5分）设数列{a n}满足：a1=1，a n=e2a n+1（n∈N*），﹣=n，其中符号Π表示连乘，如i=1×2×3×4×5，则f（n）的最小值为．
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且b，c是关于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的两根．
（1）求角A的大小；
（2）已知a=，设B=θ，△ABC的面积为y，求y=f（θ）的最大值．
18．（12分）持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车排放的尾气是造成雾霾天气的重要因素之一．为了贯彻落实国务院关于培育战略性新兴产业和加强节能减排工作的部署和要求，中央财政安排专项资金支持开展私人购买新能源汽车补贴试点．2017年国家又出台了调整新能源汽车推广应用财政补贴的新政策，其中新能源乘用车推广应用补贴标准如表：
某课题组从汽车市场上随机选取了20辆纯电动乘用车，根据其续驶里程R（单词充电后能行驶的最大里程，R∈[100，300]）进行如下分组：第1组[100，150），第2组[150，200），第3组[200，250），第4组[250，300]，制成如图所示的频率分布直方图．已知第1组与第3组的频率之比为1：4，第2组的频数为7．
（1）请根据频率分布直方图统计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程；
（2）若以频率作为概率，设ξ为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
19．（12分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，
∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1．
（1）若M为P A中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）若平面P AD与PBC所成的锐二面角的大小为，求线段PD的长度．
20．（12分）已知椭圆E：x2+3y2=m2（m＞0）的左顶点是A，左焦点为F，上顶点为B．（1）当△AFB的面积为时，求m的值；
（2）若直线l交椭圆E于M，N两点（不同于A），以线段MN为直径的圆过A点，试探究直线l是否过定点，若存在定点，求出这个定点的坐标，若不存在定点，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=（x2﹣x﹣1）e x．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）若方程a（+1）+e x=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），曲线C2的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）射线θ=﹣与曲线C1的交点为P，与曲线C2的交点为Q，求线段PQ的长．
选修4-5：不等式选讲
23．设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．
（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；
（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．B
【解析】∵集合A={1，2，3}，
B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}={﹣1，0，1，2，}，
∴A∪B={﹣1，01，1，2，3}．
故选：B．
2．A
【解析】=1+i，∴z+2=i﹣1，化为：z=﹣3+i，
则z在复平面内对应的点的坐标为（﹣3，1）．
故选：A．
3．B
【解析】由题意，这批米内夹谷约为1536×=192石，
故选：B．
4．D
【解析】设过l和l在平面α内的射影的平面为β，则当m⊥β时，有m⊥l，m∥α或m⊂α，故A，B正确．
若m∥l，则m与平面α所成的夹角与l与平面α所成的夹角相等，即m与平面α斜交，故C正确．
若m⊥α，设l与m所成的角为θ，则0＜θ＜．即m与l不可能垂直，故D错误．
故选：D．
5．C
【解析】在等差数列{a n}中，
因为a1+a2=1，a2016+a2017=3，
所以a1+a2017=a2+a2016=2，
所以S2017==2017，
故选C．
【解析】该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体．
∴该几何体的体积V==8+．故选：D．
7．A
【解析】圆的标准方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5+a2，r2=5+a2，
则圆心（﹣2，1）到直线x+y+5=0的距离为=2，
由12+（2）2=5+a2，得a=±2，故选：A．
8．A
【解析】模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，
求+的值S，并输出S，
由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．
9．C
【解析】实数x，y满足的可行域如图：可知x≤﹣1，
由ax﹣y+1﹣a=0，可得：a=，它的几何意义是可行域内的点与D（1，1）连线的斜率，由图形可知连线的斜率的最大值为K BD==．最小值大于与直线x+y=0平行时的斜率．可得a∈（﹣1，]．故选：C．
【解析】∵f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，∴将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，可得：g（x）= sin[2（x﹣）+]+1=sin2x+1，
∴令2x=kπ，k∈Z，可得x=，k∈Z，
∴当k=﹣1时，可得函数的图象的对称中心为（﹣，1），
故选：A．
11．D
【解析】设P（x0，y0），则K在点P处的切线方程为l：y﹣y0=（x﹣x0），
则x02=2py0，得l：x0x﹣py﹣py0=0，
又F（0，），
所以d====•⇒=，
故选：D
12．C
【解析】由题意，f（1）=，
∵x i，2f（1），x n﹣i+1成等比数列，
∴x i x n﹣i+1=1，
∴f（x i）+f（x n﹣i+1）=f（x i x n﹣i+1）+=1，
∴2=1+1+…+1=n，
∴=
故选：C．
二、填空题
【解析】∵向量=（1，﹣1）=，•=0，
∴|﹣|2=||2﹣2+||2=4，
∴||2=2，
∴||=，
故答案为：
14．
【解析】（a+）6（a＞0）展开式中，
通项公式为：
T r+1=••=a6﹣r•••，
令3﹣=0，解得r=2；
∴展开式的常数项是a4••=5，解得a=±；
又a＞0，∴a=．故答案为：．
15．（1，+∞）
【解析】函数f（x）=的图象如图所示，当a＞1时，函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象有唯一个交点，即方程f（x）﹣a=0有唯一解，故答案为（1，+∞）．
16．﹣
【解析】∵a1=1，a n=e2a n+1（n∈N*），∴a n=e﹣2（n﹣1）．
﹣=n，化为：f（n）==．
考查函数f（x）=，f′（x）=（4x2﹣12x+3）•，令f′（x）=0，解得x1=，x2=，
∴0＜x1＜1，2＜x1＜3．
当x＜x1时，f′（x）＞0；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0；
当x＞x2时，f′（x）＞0．即f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）上单调递减，
∴h（x）min=h（x2），即f（n）min=min{f（2），f（3）}，f（2）=＞f（3）=﹣．∴f（n）min=f（3）=﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题
17．解：（1）在△ABC中，由题意可得：bc=﹣a2+b2+c2，可得：b2+c2=a2+bc，
∴cos A==，
又∵A∈（0，π），
∴A=．
（2）由a=，A=及正弦定理可得：，
∴b=2sin B=2sinθ，c=2sin C=2sin（﹣B）=2sin（﹣θ），
∴y=bc sin A=sinθsin（﹣θ）=sinθ（cosθ+sinθ）=sin2θ﹣cos2θ+
=sin（2θ﹣）+，
由于0＜θ＜，可得：﹣＜2θ﹣＜，
∴当2θ﹣=，即θ=时，y max=．
18．解：（1）由表格知第一组的频率为0.1，第二组的频率为，
第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，
∴频率分布直方图估计这20辆纯电动乘用车的平均续驶里程为：
125×0.1+175×0.35+225×0.4+275×0.15=205（公里）．
（2）由题意知ξ的可能取值为2，3.6，4.4，
P（ξ=2）=0.1，
P（ξ=3.6）=0.75，
P（ξ=4.4）=0.15，
∴ξ的分布列为：
Eξ=2×0.1+3.6×0.75+4.4×0.15=3.56．
19．证明：（1）设PC交DE于点N，连结MN，
在△P AC中，∵M，N分别是P A，PC的中点，
∴MN∥AC，
又AC⊄平面MDE，MN⊂平面MDE，
∴AC∥平面MDE．
解：（2）设PD=a，（a＞0），
∵四边形PDCE是矩形，四边形ABCD是梯形，
平面PDCE⊥平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD，
又∵∠BAD=∠ADC=90°，
以D为原点，DA，DC，DP所在直线分为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，a），B（1，1，0），C（0，2，0），
，
平面P AD的法向量=（0，1，0），
设平面PBC的法向量=（x，y，z），
则，取x=a，得=（a，a，2），
∵平面P AD与PBC所成的锐二面角的大小为，
∴cos===，
解得a=．
∴线段PD的长度为．
20．解：（1）由椭圆方程：，则a=m，b=，c=，
由三角形AFB的面积S，S=b×（b﹣c）=，
则（m﹣）﹣，解得：m=，
∴m的值为；
（2）由线段MN过直径的圆过A点，则MA⊥NA，
设直线AM的斜率为k（k＞0），则直线AN的斜率为﹣，AM为y=k（x+m），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
整理得：（3k2+1）x2+6k2mx+（3k2﹣1）m2=0，
则x1（﹣m）=，则x1=，故y1=k（x1+m）=，
则M（，），
直线AN的方程为y=﹣（x+m），同理可得：N（，﹣），
当l的斜率不存在时，显然可得k=1，此时M（﹣，），N（﹣，﹣），
则圆心为P（﹣，0），
由直线l总穿过x轴，证明当l的斜率存在时，也过点P（﹣，0），
当l的斜率存在时，k PM===k PN（k＞0，k≠1），
综上可知：l过定点（﹣，0）．
21．解：（1）f′（x）=（x2+x﹣2）e x=（x﹣1）（x+2）e x，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜1，
故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）方程a（+1）+e x=e x可化为e x﹣ax2+（a﹣e）x=0，
令g（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x，则g（x）在（0，1）内有零点，易知g（0）=1，g（1）=0，g′（x）=e x﹣2ax+a﹣e，设g′（x）=h（x），则h′（x）=e x﹣2a，
①a＜0时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，h（0）=1+a﹣e＜0，
h（1）=﹣a＞0，即h（x）在区间（0，1）只有1个零点x1，
故g（x）在（0，x1）递减，在（x1，1）递增，
而g（0）=1＞0，g（1）=0，得g（x1）＜g（1）=0，故g（x）在（0，x1）内存在唯一零点；
②当0≤a≤时，h′（x）＞0，即h（x）在区间（0，1）递增，
h（x）＜h（1）=﹣a≤0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）无零点；
③当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），
∴h（x）在区间（0，ln（2a））上递减，在（ln（2a），1）递增，
h（x）在区间（0，1）上存在最小值h（ln（2a）），
故h（ln（2a））＜h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e＜a﹣＜0，
故＜a＜时，∀x∈（0，1），都有g′（x）＜0，g（x）在（0，1）递减，
又g（0）=1，g（1）=0，故g（x）在（0，1）内无零点；
④a≥时，h′（x）＜0，h（x）在区间（0，1）递减，h（1）=﹣a＜0，h（0）=1+a﹣e，若h（0）=1+a﹣e＞0，得a＞e﹣1＞，
则h（x）在区间（0，1）只有1个零点x2，
故g（x）在（0，x2）递增，在（x2，1）递减，
而g（0）=1，g（1）=0，得g（x）在（0，1）无零点，
若＜a时，则h（0）=1+a﹣e＜0，得g（x）在（0，1）递减，得g（x）在（0，1）内无零点，
综上，a＜0时，方程a（+1）+e x=e x在（0，1）内有解．
22．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数，﹣π＜α＜0），
普通方程为（x﹣1）2+y2=1，（y＜0），
极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈（﹣，0），曲线C2的参数方程为（t为参数），普通方程2x+y﹣6=0；
（2）θ=﹣，，即P（，﹣）；
θ=﹣代入曲线C2的极坐标方程，可得ρ′=6，即Q（6，﹣），
∴|PQ|=6﹣=5．
23．解：（1）∵函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣（x﹣1）|=3，
故函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|的最小值为3，
此时，﹣2≤x≤1．
（2）函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|=，而函数y=﹣ax+1表示过点（0，1），斜
率为﹣a的一条直线，
如图所示：当直线y=﹣ax+1过点A（1，3）时，3=﹣a+1，∴a=﹣2，当直线y=﹣ax+1过点B（﹣2，3）时，3=2a+1，∴a=1，
故当集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，函数f（x）＞﹣ax+1恒成立，
即f（x）的图象恒位于直线y=﹣ax+1的上方，
数形结合可得要求的a的范围为（﹣2，1）．。