高二数学的三个专题讲座人教实验版选修2-2知识精讲

高二数学的三个专题讲座人教实验版选修2－2
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
选修2－2的三个专题讲座
［知识分析］
专题一 导数中几个常见易错点
导数是高考考查的重点内容之一，同学们在解题时往往由于概念不清，方法不当而出错，下面我们对常见错误及原因进行分析。

一. 错误理解导数定义
例1 设)x (f 在0x 处可导，
则h
)
h x (f )h x (f lim
000h --+→等于（ ）
A. )x (f 20'
B. )x (f 2
1
0' C. )x (f 0' D. )x (f 40'
错解：选（C ）．
分析：导数定义中，增量x ∆形式有多种，但不论x ∆选择哪种形式，相应的y ∆也应
选择正确的形式。

该例中函数值增量为00f (x h)f (x h)+--，自变量增量应为
00(x h)(x h)2h +--=，而不是h 。

故/000h 0f (x h)f (x h)lim f (x )h
→+--≠ 正解：h
)
h x (f )h x (f lim
000h --+→
h
)
h x (f )x (f )x (f )h x (f lim
00000h --+-+=→ h )
h x (f )x (f lim
h )x (f )h x (f lim 000h 000h --+-+=→→ ).x (f 20'=
故选（A ）。

二. 忽视导数几何意义的条件
例2 已知曲线3x 31y =
上的一点)3
8
,2(P ，求过点P 的该曲线的切线方程。

错解：23x )x 3
1(y ='='，
42|y 22x =='=，即过点P 的切线的斜率为4。

所以过点P 的切线方程为)2x (43
8
y -=-。

即016y 3x 12=--。

分析：此解法混淆了“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”，本例中的点P 8
(2,)3
可能是切点，也可能不是切点。

正解：设切点为（00y ,x ），
则切线的斜率2
0x x x |y k 0='==。

故切线方程为)x x (x y y 02
00-=-。

又切线过点P 且（00y ,x ）在曲线3
x 3
1y =
上， 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=-.x 31y ),x 2(x y 3
830002
00
整理得：04x 3x 2
03
0=+-。

解得：2x 0=或1x 0-=。

当2x 0=时，3
8
y 0=
，切线斜率为4， 切线方程为016y 3x 12=--；
当1x 0-=时，3
1
y 0-=，切线斜率为1，
切线方程为02y 3x 3=+-。

三. 对可导函数某一点处的导数认识不清
例3 已知2
x 1x
)x (f -=，求)2(f '。

错解：由2
x 1x
)x (f -=得： .32
212)2(f 2
-=-=
所以0)3
2()2(f ='-='。

分析：上述错解中未弄清可导函数某一点处的导数的概念。

正解：由2x 1x
)x (f -=得：
.)x 1(1x x 1x )x (f 2
222-+='
⎪⎭⎫
⎝⎛-=' 所以9
5
914)2(f =+='。

四. 复合函数求导时对复合过程的认识不到位
例4 求函数)a x x (n 1)x (f y 22-+==的导数。

错解：)a x x (a x x 1
y 2222'-+-+=
' ).a
x 21
1(a x x 12
222-+-+=
分析：最后一步求导时漏掉了22a x -对x 求导，错因是对复合函数的复合过程认识不
到位。

正解：)a x x (a x x 1
y 222
2'-+-+=
'
)a
x 2x 21(a
x x 12
2
2
2
-+
-+=
2
2
2
2
222
2
a
x 1a
x x a x a
x x 1-=
-+--+=
五. 忽视函数单调性的充要条件
例5 已知函数7x ax 3ax )x (f 23+-+=在R 上为减函数，求a 的取值X 围。

错解：易求得1ax 6ax 3)x (f 2-+='。

因为当)R x (0)x (f ∈<'时，)x (f 为减函数， 所以)R x (01ax 6ax 32∈<-+。

故⎩⎨
⎧<+=∆<.
0a 12a 36,
0a 2
解得：0a 3
1
<<-。

所以a 的取值X 围为（3
1
-，0）。

分析：可导函数)x (f 在（a ，b ）内为单调递增（或减）函数的充要条件为：对于任意)b ,a (x ∈，有0)x (f ≥'（或0)x (f ≤'）且)x (f '在（a ，b ）任意子区间内都不恒为零。

正解：由上述分析易知a 的取值X 围是［3
1
-，0］。

专题二 反证法的应用
反证法是从否定要证明的结论出发，并以此为重要的“附加条件”，根据有关的定义、公理和给出命题的条件进行推理，直到得出矛盾，从而判定命题结论的否定不成立，即可肯定命题成立．反证法有着广泛的应用，是高中数学中重要的解题方法，它在解题时，常表现出独特的优势．因此，同学们应深刻认识并熟练掌握这一重要的解题方法．
反证法是正难附反的数学思想的重要体现，一些数学问题若不容易入手解答或者解答比较麻烦，如果从问题的反面入手，换一个角度去思考，则有可能会很顺利地得到解决． 一. 反证法的理论依据
由四种命题的相互关系可知，原命题“如果p ，则q ”与命题“如果非q ，则非p ”是一对逆否命题，具有同真同假性，即等价性．根据这一逻辑，要证原命题“如果p ，则q ”为真，可以改证逆否命题“如果非q ，则非p ”为真，这种证题方式反证法，也就是说，如果非q （即否定结论，假设结论的反面成立，经过推理论证），则非p （得出与题设条件相矛盾的结论），从而根据等价性原则，可以肯定原命题正确．
二. 反证法的证明步骤
第一步：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； 第二步：从这个假设出发，经过推理证明，得出矛盾； 第三步：由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确。

三
我们归纳出几种常见的否定情形： “p 或q ”与“非p 且非q ”互为否定，“一定是”与“不一定是”互为否定，“n 个中至少有k 个”与“n 个中至多有1k -个（n,k N ,k n +∈≤）”互为否定
四. 反证法中探求矛盾的常见情形
（1）与已知条件矛盾；（2）与假设矛盾；（3）与已知的定义、定理、公理矛盾；（4）与现实生活中公认的事实矛盾；（5）自相矛盾． 下面通过几个实例谈谈如何运用反证法证题，并希望同学们注意体会反证法证题的书写格式
例1 求证：三角形的三个内角中至少有一个内角不大于60°
证明：因为在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，所以︒=++180C B A 。

若假设三个角都大于60°，
即︒>60A ，︒>60B ，︒>60C ，
则︒>++180C B A ，与︒=++180C B A 矛盾。

故假设错误。

因此，三角形的三个内角中，至少有一个内角不大于60°。

例2 已知p ，q 是奇数，求证：方程0q px x 2=++没有整数根。

证明：假设方程0q px x 2=++有整数根0x ， 则0q px x 02
0=++。

当0x 为奇数时，2
0x ，0px 均为奇数。

故q px x 02
0++为奇数，不可能为0。

当0x 为偶数时，2
0x ，0px 均为偶数。

故q px x 02
0++为奇数，也不可能为0。

因此假设错误，原命题成立。

例 3 已知下列三个方程：03a 4ax 4x 2=+-+，0a x )1a (x 22=+-+，
0a 2ax 2x 2=-+中至少有一个方程有实数根，某某数a 的取值X 围。

解：假设三个方程均无实数根，则有：
.0)3a 4(4)a 4(2<+-⨯- （1）
.0a 4)1a (22<--
（2） .0)a 2(4)a 2(2<-⨯-
（3）
由（1）得：2
1
a 23<<-；
由（2）得：1a -<或3
1
a >；
由（3）得：0a 2<<-。

取（1），（2），（3）的交集得集合}1a 2
3
|a {-<<-。

则使三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值X 围是（∞+-⋃-∞-,1[]2
3,）。

评注：本题要求“三个方程中至少有一个方程有实数根时a 的取值X 围”，只要先求出其反面，即“三个方程均无实根时a 的取值X 围”，再求其补集即可。

例4 已知二次函数1y f (x)=的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数2y f (x)=的图象与直线y x =的两个交点间的距离为8，12f (x)f (x)f (x)=+
（1）求函数f (x)的表达式；
（2）求证：当a ＞3时，关于x 的方程f (x) = f (a)有三个不相等的实数解 （1）解：由已知，设21ax )x (f =， 由1)1(f 1=，得1a =，所以21x )x (f =。

设)0k (x
k
)x (f 2>=，它的图象与直线x y =的交点分别为A （k ，k ）
，B （k -，k -）。

由8|AB |=，得8k =，所以x
8)x (f 2=。

所以x
8x )x (f 2+
=。

（2）证明：由)a (f )x (f =，得a
8a x 8x 22+=+。

即0)ax
8
a x )(a x (=-
+-。

得方程的一个解a x 1=。

方程0ax
8
a x =-+，化为08x a ax 22=-+。

由3a >，0a 32a 4>+=∆得：
a 2a 32a a x 422+--=，a
2a 32a a x 423++-=。

因为0x 2<，0x 3>，所以21x x ≠，且32x x ≠。

若31x x =，即a
2a
32a a a 42++-=，
则a 32a a 342+=。

解得0a =或34a =。

这与3a >矛盾，所以31x x ≠。

由21x x ≠，32x x ≠，31x x ≠知
当3a >时，)a (f )x (f =有三个不相等的实数解。

专题三 复数解题中的几个常见错误
一. 对复数的有关概念理解不清致误
例1 当m 为何实数时，复数i )1m m 2(3m 5m 222--+--是纯虚数？
错解：令03m 5m 22=--，解得：3m =或2
1m -=。

所以当3m =或2
1
m -
=时，复数i )1m m 2(3m 5m 222--+--为纯虚数。

剖析：错解只考虑复数的实部，而没有顾及虚部，纯虚数的定义要求复数的实部为零而
虚部不为零．本例中，当1m 2
=-
时，2
2m m 10--=，不满足纯虚数的条件。

正解：由上述分析知，m ＝3时，满足上述要求．
例2 试研究方程2x 5x 60-+=在复数集上解的个数。

错解：因为06|x |5x 2=+-，
所以06|x |5|x |2=+-，
所以2|x |=或3|x |=，即2x ±=或3x ±=。

剖析：复数的“模”与实数的“绝对值”是两个不同的概念。

正解：设)R b ,a (bi a x ∈+=，原方程可化为：
.0abi 26b a 5b a 2222=+++--
根据复数相等的定义，得： ⎪⎩⎪⎨
⎧==++--.
0ab 2,
06b a 5b a 2222 解得⎩⎨⎧-==,1b ,0a 或⎩⎨⎧==,1b ,0a 或⎩⎨⎧==,0b ,3a 或⎩⎨⎧=-=,0b ,
3a 或⎩⎨⎧==,0b ,2a 或⎩⎨⎧=-=.0b ,2a
所以方程2
x 5x 60-+=在复数集上有6个解。

二. 盲目套用实数集上的性质致误
例3 若︒︒=15cos 15sin x ，求x 4)i (-的值。

错解：11])i [()i (x x 4x 4==-=-。

剖析：错解中没有根据地将实数中底数是正数时的幂指数运算法则mn n m a )a (=搬到复数中去。

正解：因为︒︒=15cos 15sin x ，所以130sin 2x 4=︒=。

所以i )i ()i (1x 4-=-=-。

例4 设三个复数321z ,z ,z 满足条件1332212
32
22
1z z z z z z z z z ++=++，试判断它们在复平面上三个对应点321Z ,Z ,Z 构成怎样的三角形？
错解：因为1332212
32
22
1z z z z z z z z z ++=++， 所以)z z z z z z (2)z z z (21332212
32
22
1++=++。

所以0)z z ()z z ()z z (213232221=-+-+-。

故0z z 21=-，0z z 32=-，0z z 13=-。

即321z z z ==。

所以三点321Z ,Z ,Z 重合，不能构成三角形。

剖析：错解也是无根据地将只有实数才具有的性质搬到复数中去。

正解：因为1332212
32221z z z z z z z z z ++=++且三个复数321z ,z ,z 不相等， 所以0)z z )(z z (z z z z z z z )z z (23311332212
3212≠--=++--=-。

所以212
31312z z z z z z z z --=--。

同理32312123z z z z z z z z --=--。

所以
3
23
121231312z z z z z z z z z z z z --=--=--。

设上式比值为k ，则)z z (k z z 1312-=-，)z z (k z z 2123-=-，)z z (k z z 3231-=-。

以上三式相乘，得1k 3-=，所以1|k |=。

所以|z z ||z z ||z z |132312-=-=-。

所以三点321Z ,Z ,Z 组成一个等边三角形。

三. 转化不等价致误
例5 已知复数)20(i )sin 2(cos 2z π≤θ≤θ+-+θ+-=，求复数z 对应点的轨迹。

错解：设)R y ,x (yi x z ∈+=，
则i )sin 2(cos 2yi x θ+-+θ+-=+，两边取模得：
.)sin 2()cos 2(y x 2222θ+-+θ+-=+
即)4sin(249y x 22π+θ-=+。

因为1)4
sin(1,20≤π
+θ≤-π≤θ≤，
所以22)122()4
sin(249)122(+≤π
+θ-≤-。

故复数z 对应点的轨迹是圆222)122(y x -=+和222)122(y x +=+之间的圆环（包
括圆周）。

剖析：错解中误认为12z z =与12z z =等价，实际上，条件x yi 1i +=+与条件
x yi 1i +=+不等价，前者只表示点（1，1），而后者表示以点（0，0为半径的圆。

正解：设)R y ,x (yi x z ∈+=，则有： i )sin 2(cos 2yi x θ+-+θ+-=+。

根据复数相等的定义，有⎩
⎨⎧θ+-=θ+-=.sin 2y ,
cos 2x
消去参数θ，有1)2y ()2x (22=+++。

所以复数z 对应点的轨迹是以点（2-，2-）为圆心，1为半径的圆。

【模拟试题】
1. 下列说法正确的是( )
A. 函数的极大值就是函数的最大值
B. 函数的极小值就是函数的最小值
C. 函数的最值一定是极值
D. 在闭区间上的连续函数一定存在最值
2. 函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A. 等于0 B. 大于0 C. 小于0 D. 以上都有可能
3. 函数y =2
342
13141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A. 0
B. －2
C. －1
D.
12
13
4. 确定下列函数的单调区间
（1）y =x 3－9x 2
+24x （2）y =x －x 3
5. 求下列函数的极值.
（1）y =2x 2
+5x
（2）y =3x －x 3
6. 计算下列定积分
（1）121(1)2
x dx -⎰+（2）0
1xdx -⎰
（3）30(1)x dx ⎰-（4）2sin o xdx π
⎰
试题答案
1. D
2. A
3. A
4. （1）解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2
－18x +24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2
∴y =x 3－9x 2
+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4
∴y =x 3－9x 2
+24x 的单调减区间是(2，4) （2）解：y ′=(x －x 3
)′=1－3x 2
=－3(x 2
－
31)=－3(x +33)(x －3
3) 令－3(x +
33)(x －3
3
)＞0 解得－
33＜x ＜3
3 ∴y =x －x 3
的单调增区间是(－
33，3
3
) 令－3(x +
33)(x －33
)＜0 解得x ＞
33或x ＜－3
3 ∴y =x －x 3
的单调减区间是(－∞，－
33)和(3
3
，+∞) 5. （1）解：y ′=(2x 2
+5x )′=4x +5. 令y ′=0，解得x =－4
5
当x 变化时，y
当x =－
4
5时，y 有极小值，且y 极小值=－825
（2）解：y ′=(3x －x 3
)′=3－3x 2
=3(1+x )·(1－x )
令y ′=0，解得x 1=－1，x 2=1
当x 变化时，′，的变化情况如下表：
当x =－1极小值当x =1时，y 有极大值，且y 极大值=2 6. 913(1)
(2)(3)(4)04
2
2
-
-。