2019届二轮复习第26讲考前必背学案（全国通用）

第26讲考前必背
“知识在于积累，积累为了应用”．为了提高高三复习效率，我们归纳概括了一些实用的经验公式、已证明了的小结论、常用的数据，它们或是老师的点评，或是同学们平时学习的感悟，或源于课本例题习题之中，在考前如果能理解熟记之，则能简化解题步骤、优化解题过程、提升解题速度(尤其体现在解答填空题、选择题时)．
第一部分集合与常用逻辑用语
1．设全集为U，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A∪B＝U.
2．设全集为U，则∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．
3．集合{a1，a2，…，a n}的子集个数共有2n个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空真子集有2n－2个．
4．空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．注意：条件为A⊆B，在讨论的时候不要忘了A＝∅的情况．
5．补集思想常用于否定性或正面较复杂问题，注意否定的全集范围．
6．充要条件的判定：
(1)先分清哪是条件，哪是结论，将条件放在左边，结论放在右边；
(2)从条件推到结论，说明条件是充分的；从结论推到条件，说明条件是必要的．
(3)与不等式解集有关的问题常转化为集合的包含关系：若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．注意区分：“甲是乙的充分条件(甲⇒乙)”与“甲的充分条件是乙(乙⇒甲)”．
7．“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题，当p与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
8．原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价．
注意命题p⇒q的否定与它的否命题的区别：命题p⇒q的否定是p⇒綈q；否命题是綈p⇒綈q；命题“p或q”的否定是“綈p且綈q”；“p且q”的否定是“綈p或綈q”．9．全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；全称命题p：∀x∈M，p(x)；全称命题p的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．
10．存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；特称命题p：∃x∈M，p(x)；特称命题p的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．
11．常见结论的否定形式
第二部分函数与导数
1．函数图象与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可有任意
个．
2．函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象． 3．同底数的指数函数与对数函数互为反函数．①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②如果点(a ，b )是原函数图象上的点，那么点(b ，a )就是其反函数图象上的点．
4．关于复合函数
(1)定义域求法：① 若f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 解出；② 若f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，求 f (x )的定义域，相当于x ∈[a ，b ]时，求g (x )的值域．
(2)单调性的判定：①首先将原函数y ＝f [g (x )]分解为基本函数：内函数u ＝g (x )与外函数y ＝f (u )；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性．
5．函数的奇偶性
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； (2)f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝－1；
(3)f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f （－x ）
f （x ）
＝1 ；
(4)奇函数f (x )在原点有定义，则f (0)＝0；
(5)在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； (6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
(7)多项式函数P (x )＝a n x n ＋a n －1x n －
1＋…＋a 0的奇偶性：多项式函数P (x )是奇函数⇔P (x )的偶次项(即奇数项)的系数全为零．多项式函数P (x )是偶函数⇔P (x )的奇次项(即偶数项)的系数全为零．
6．函数的单调性
(1)单调性的定义：f (x )在区间M 上是增(减)函数⇔∀x 1，x 2∈M ，当x 1<x 2时f (x 1)－
f (x 2)<0(>0)⇔(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
>0(<0)；
(2)判定单调性主要用定义法、导数法、复合函数法、图象法； (3)证明单调性主要用定义法、导数法． 7．有关对称性的几个重要结论．
一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值．
若f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b
2
对称. 特别地，若f (a ＋x )＝f (a
－x )，函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；
若f (a ＋x )＝－f (b －x )．则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫
a ＋
b 2，0中心对称．特别地，若f (a ＋x )＝－f (a －x )，则函数f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称．
8．与周期性有关的结论：
(1)若y ＝f (x )对x ∈R 时f (x ＋a )＝f (x －a )恒成立，则 f (x )的周期为2|a |；
(2)若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )的周期为2|a |； (3)若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )的周期为4|a |；
(4) 若y ＝f (x )对x ∈R 时，f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝－1
f （x ）
，则y ＝f (x )的周期为2|a |.
9．对称性与周期性之间的关系．
周期性与对称性是相互联系、紧密相关的．一般地，若f (x )的图象有两条对称轴x ＝a 和x ＝b (a ≠b )，则f (x )必为周期函数，且2|b －a |是它的一个周期；若f (x )的图象有两个对称中心(a ，0)和(b ，0)(a ≠b )，则f (x )必为周期函数，且2|b －a |为它的一个周期；若f (x )的图象有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心(b ，0)(a ≠b )，则f (x )为周期函数，且4|b －a |是它的一个周期．
10．基本初等函数
(1)指数运算法则：①a m ·a n ＝a m ＋n ；②a m ÷a n ＝a m －
n ；③(a m )n ＝a mn ；④a m b m ＝(ab )m .
(2)几个对数运算结论：a log aN ＝N (a >0且a ≠1，N >0)，log b N ＝log a N log a b ，log a b ＝1
log b a
，log a M n
＝n log a M ，log am M n ＝n
m
log a M .
(3)二次函数
①三种形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：y ＝a (x －b )2＋k (a ≠0)，其中(b ，k )为抛物线顶点坐标；零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1、x 2为抛物线与x 轴两个交点的横坐标(有些证明题经常用到零点式)．
②二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴方程与顶点坐标；端点值；图象与坐标轴交点；判别式；两根符号(韦达定理)．
③二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论．
(4)函数y ＝bx ＋a x (a >0，b >0，x >0)在区间⎝⎛⎦⎤0，ab b 上单调递减，在区间⎣⎡⎭⎫ab b ，＋∞上单调递增(记住f (x )＝bx ＋a
x (a >0，b >0，x >0)的图象)．
(5)形如y ＝ax ＋b
cx ＋d
(c ≠0，ad ≠bc )的图象是等轴双曲线(化简时可分离常量)，双曲线两渐
近线分别为直线x ＝－d c (由分母为零确定)、直线y ＝a
c (由分子、分母中x 的系数确定)，双曲
线的中心是点⎝⎛⎭
⎫－d c ，a c . 11．函数图象
函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x 而言)；上下平移—“上加下减”(注意是针对f (x )而言)．
(2)翻折变换：f (x )→|f (x )|；f (x )→f (|x |)． (3)对称变换：
①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上； ②证明图象C 1与C 2的对称性，即证C 1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C 2上，反之亦然；
③函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于直线x ＝0(y 轴)对称；函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于直线y ＝0(x 轴)对称；
④函数y ＝f (a ＋x )，y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a
2对称(由a ＋x ＝b －x 确定)；
⑤函数y ＝f (x －a )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝a ＋b
2
对称；
⑥函数y ＝f (x )，y ＝A －f (x )的图象关于直线y ＝A
2对称(由y ＝f （x ）＋A －f （x ）2
确定)；
⑦函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点成中心对称；函数y ＝f (x )，y ＝n －f (m －x ) 的
图象关于点⎝⎛⎭⎫
m 2，n 2对称；
⑧曲线C 1：f (x ，y )＝0，关于y ＝x ＋a ，y ＝－x ＋a 的对称曲线C 2的方程为f (y －a ，x ＋a )＝0(或f (－y ＋a ，－x ＋a )＝0; 曲线C 1：f (x ，y )＝0关于点(a ，b )的对称曲线C 2方程为：f (2a －x ，2b －y )＝0；
⑨ⅰ.f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)⇒f (x )＝kx (k ≠0)；ⅱ.f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)；f (x 1－x 2)＝
f (x 1)÷f (x 2)⇒f (x )＝a x ；ⅲ.f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)；f ⎝⎛⎭⎫
x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)⇒f (x )＝log a x .
12．函数的零点
(1)零点的求法：直接法(求f (x )＝0的根)；图象法；二分法． (2)零点定理：设函数f (x )在闭区间[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )<0，那么在开区间(a ，b )内
函数f (x )至少有一个零点，即至少有一点ξ(a <ξ<b )使f (ξ)＝0.
13．导数
(1)物理意义：瞬时速度υ＝s ′(t )＝ Δs Δt ＝ s （t ＋Δt ）－s （t ）
Δt
；
几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率f ′(x 0)，相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(2)常见导数公式： C ′＝0；(x n )′＝nx n －
1；(sin x )′＝cos x ；(cos x )′＝－sin x ；(a x )′＝a x ln a ；
(e x )′＝e x ；(log a x )′＝1x ln a ；(ln x )′＝1
x
.
(3)导数的四则运算法则：(u ±v )′＝u ′±v ′；(u v )′＝u ′v ＋u v ′；⎝⎛⎭
⎫u v ′＝u ′v －u v ′
v 2.
(4)复合函数的求导法则： 设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u x ′＝φ(x )′，函数y ＝f (u )在点x 处的对应点u 处有导数y u ′＝f (u )′，则复合函数y ＝f (φ(x ))在点x 处有导数，且y x ′＝y u ′·u x ′，或写作f x ′(φ(x ))＝f ′(u )φ′(x )．
(5)f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数在对应区间递增(或递减)的充分不必要条件．如函数f (x )＝x 3，它的图形是在开区间()－∞<x <＋∞上的立方抛物线，它是递增函数．但是f ′(x )＝3x 2.在开区间()－∞<x <＋∞并非皆为正，而f ′(0)＝0.
(6)可导函数在极值点的导数为零，但导数为零的点不一定是极值点．如函数y ＝||x 在x ＝0处有极小值，f ′(0)不存在；f (x )＝x 3在x ＝0处导数为零，但x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．
(7)处理函数的切线问题应关注切点：切点横坐标对应的导数值是切线的斜率；同时切点在原函数的图象上．
(8)设f (x )的对称中心为P (x 0，y 0)(P 在f (x )的图象上)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是图象上关于P
的两对称点，则由对称性知，f (x )在A 、B 两点处的斜率相等，即f ′(x 1)＝f ′(x 2)，再由x 0＝
x 1＋x 2
2
可求x 0，从而求点P (x 0，y 0)的坐标．如：已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －7的图象是中心对称图形，求其对称中心()1，－3，可用上法求解．
14．定积分
(1)定积分的定义：⎠
⎛a
b f (x )d x ＝∑n i ＝1 b －a
n f(ξi )；
(2)定积分的性质：①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a
b f (x )d x (k 为常数)；
②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛a
b f 2(x )d x ；
③⎠⎛a
b f (x )d x ＝⎠⎛a
c f (x )
d x ＋⎠⎛c
b f (x )d x (其中a<c<b)．
(3)微积分基本定理(牛顿—莱布尼兹公式)：⎠⎛a
b f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F(b)－F(a)．
(4)定积分的应用：①求曲边梯形的面积：S ＝⎠⎛a
b |f (x )－g (x )|d x ；②求变速直线运动的路程：
S ＝⎠⎛a b v (t )d t ；③求变力做功：W ＝⎠⎛a
b F (x )d x .
第三部分 三角函数、三角恒等变换
与解三角形
1．圆心角为α，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式：
l ＝|α|·R ，S 扇＝12l·R ＝1
2
|α|·R 2.
2．三角函数的对称性
(1)y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π
2
(k ∈Z )，对称中心为()k π，0(k ∈Z )．
(2)y ＝cos x 的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，对称中心为⎝⎛⎭
⎫k π＋π
2，0(k ∈Z )．
(3)y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭
⎫k π
2，0()k ∈Z .
3．正弦型函数y ＝A sin ()ωx ＋φ
(1)振幅|A |，周期T ＝2π
|ω|
；
(2)五点作图：令ωx ＋φ依次为0，π2，π，3π
2
，2π，求出x 与y ，再以点(x ，y )作图象；
(3)根据图象求解析式．(求A 、ω、φ值)
列出⎩
⎪⎨⎪⎧ω（x 1）＋φ＝0，
ω（x 2）＋φ＝π2，解方程组求ω、φ值，
正切型函数y ＝A tan ()ωx ＋φ，T ＝π|ω|
.
4．绝对值函数周期，y ＝||sin x ，T ＝π；y ＝cos|x |＝cos x ，T ＝2π；y ＝||sin x ＋||cos x ＝
1＋||sin 2x ，T ＝π
2
；y ＝||tan x ，T ＝π.而y ＝sin x 2，y ＝cos x 不是周期函数．
5．图象变换：(1)平移(2)伸缩(3)对称，注意步骤、表达、名称、符号、方向、单位间关系转化．在三角函数图象平移时最容易错的是平移多少个单位，要注意到ω的作用．
6．同角三角函数的基本关系式sin 2θ＋cos 2θ＝1，tan θ＝sin θ
cos θ
，tan θ·cot θ＝1.
7．正弦、余弦的诱导公式：
sin ⎝⎛⎭⎫n π2＋α＝⎩⎨⎧（－1）n
2sin α，n 为偶数，
（－1）n －1
2cos α，n 为奇数；
cos ⎝⎛⎭⎫n π2＋α＝⎩
⎨⎧（－1）n
2cos α，n 为偶数，
（－1）n ＋1
2
sin α，n 为奇数.
即：“奇变偶不变，符号看象限”．
如cos ⎝
⎛⎭⎫α＋π
2＝－sin α，cos (π－α)＝－cos α.
8．和角与差角公式 sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β
.
sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β(平方正弦公式)； cos(α＋β)cos(α－β)＝cos 2α－sin 2β. 9．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
tan 2α＝2tan α
1－tan 2α
.
10．tan(45°－α)＝1－tan α1＋tan α＝cos α－sin α
cos α＋sin α；
tan(45°＋α)＝1＋tan α1－tan α＝cos α＋sin α
cos α－sin α
；
1－sin α1＋sin α＝1－sin 2α
（1＋sin α）2＝||cos α1＋sin α
.
11．半角公式：tan α2＝1－cos α
sin α＝sin α1＋cos α；
降次公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α
2
.
12．化一公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中，辅助角φ所在象限由点(a ，
b )所在的象限决定，sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b
2，tan φ＝b
a )．
13．若有sin x ±cos x ，sin x ·cos x 出现，则可设sin x ±cos x ＝t ，则sin x ·cos x ＝±t 2－1
2
.
14．常见数据：sin 15°＝cos 75°＝6－2
4
，
sin 75°＝cos 15°＝6＋2
4
，
tan 15°＝2－3，tan 75°＝2＋3，sin 18°＝5－1
4
.
15．常见三角不等式：
(1)若x ∈⎝
⎛⎭⎫0，π
2，则sin x <x <tan x .
(2) 若x ∈⎝
⎛⎭⎫0，π
2，则1<sin x ＋cos x ≤ 2.
(3)|sin x |＋|cos x |≥1. 16．正弦定理 a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R . 17．余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B; c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 18. 射影定理
a ＝
b cos C ＋
c cos B ，b ＝a cos C ＋c cos A ，c ＝a cos B ＋b cos A . 19．三角形面积公式
S △ABC ＝12底·高＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝pr ＝abc
4R ，其中p ＝a ＋b ＋c 2
，r 为内切圆
半径，R 为外接圆半径．
20．在△ABC 中，有
(1)A ＋B ＋C ＝π⇔C ＝π－(A ＋B )⇔C 2＝π2－A ＋B
2
⇔2C ＝2π－2(A ＋B )；
(2)a >b ⇔sin A >sin B (注意是在△ABC 中)．
(3)在锐角三角形△ABC 中，A ＋B >π
2
，sin A >cos B ，sin B >cos A ，a 2＋b 2>c 2.
第四部分 平面向量
1.AB →
||
AB
→为AB →方向上的单位向量． 2．平面向量共线定理：若向量a ，b (b ≠0)共线，则存在唯一确定的实数λ，使a ＝λb ；
推论：若O 、A 、B 三点不共线，已知OP →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R )，则A 、B 、P 三点共线的充要条件是m ＋n ＝1.
3．若e 1、e 2不共线，且λ1e 1＋λ2e 2＝0，则必有λ1＝λ2＝0. 4．向量平移后与原向量相等，向量平移后坐标是不变的．
5．若直线l 的方向向量为v ＝(b ，a )，且直线l 的斜率存在，则斜率k ＝a
b
.
6．两向量的夹角为锐角不是两向量数量积为正的充要条件，因为要排除夹角为0的情形；两向量的夹角为钝角也不是两向量数量积为负的充要条件，因为要排除夹角为180°的情形．
7．a ，b 同向或有0⇔|a ＋b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a －b|；a ，b 反向或有0⇔|a －b|＝|a|＋|b|≥||a|－|b||＝|a ＋b|；a ，b 不共线⇔||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.
8．向量的平行与垂直：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且b ≠0，则 a ∥b ⇔b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.
a ⊥
b (a ≠0)⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
9．线段的定比分点公式：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )是线段P 1P 2的分点，λ是
实数，且P 1P →＝λPP 2→
，则
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λy ＝
y 1＋λy 2
1＋λ
⇔OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ⇔OP →＝tOP 1→＋(1－t )·OP 2→
⎝⎛⎭⎫t ＝11＋λ.
10．三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，
y 3)，则△ABC 的重心的坐标是G ⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 2＋x 33，
y 1＋y 2＋y 33. 11．AD 是△ABC 的中线⇔AD →＝12
()
AB →＋AC →；AE 是△ABC 的垂线⇔AE →·BC →
＝0；AF 是△ABC 的角平分线⇔AF →＝λ⎝
⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB
→＋AC →||
AC →. 12．设θ是OA →与OC →的夹角，则||
OA →cos θ称作为OA →在OC →方向上的投影，且||
OA
→cos θ＝OA →·OC →||
OC
→.
13．若向量OA →、OB →、OC →满足条件OA →＋OB →＋OC →＝0，且||OA →＝||OB →＝||
OC
→，则△ABC 为正三角形．
14．若G 为△ABC 的重心，且aGA →＋bGB →＋cGC →
＝0，则△ABC 为正三角形．
15．已知G 是△ABC 所在平面上的一点，①若GA →＋GB →＋GC →
＝0，则G 是△ABC 的重
心；②若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的垂心；③若aOA →＋bOB →＋cOC →
＝0，则
G 是△ABC 的内心；④若OA →2＝OB →2＝OC →
2，则O 是△ABC 的外心．(以上关系均为充分必要条件，是三角形的“四心”已确定的向量表示．)
第五部分 数列
1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d(n ∈N *)；
其前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－1
2d n . 2．等差数列中的结论：
(1)若{}a n 为等差数列，且p ＋q ＝m ＋n (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….
(2)若{}a n 为等差数列，则a n ＝a m ＋(n －m )d (m ≤n ，m ，n ∈N ＋)．
(3)若{}a n 为等差数列，则连续k 项的和组成的数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，仍为等差数列．
(4)等差数列{}a n 中，若a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n ＝0；若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )(m ≠n )．
(5)若{}a n 为等差数列，当n 为奇数时，S 奇－S 偶＝S n
n ＝a 中，S n ＝n ·a 中(a 中为中间项)，S 奇S 偶
＝
n ＋1n －1
；当n 为偶数时，S 偶－S 奇＝nd
2.
(6)有两个等差数列{}a n 、{}b n ，若S n S ′n ＝a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n
＝g (n )，则a n
b n ＝S 2n －1S ′2n －1＝g (2n －
1)．
(7)等差数列前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 2＋a n －1）2＝…＝n （a m ＋a n －m ＋1）
2
.
(8)在等差数列{}a n 中，有关S n 的最值问题常用邻项变号法来求解．
当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0
a m ＋1≤0的项数m ，使得S m 取最大值；
当a 1<0，d >0时，满足⎩
⎪⎨⎪⎧a m ≤0
a m ＋1≥0的项数m ，使得S m 取最小值．
(9)等差数列{}a n 中，a 1>0，a k ＋a k ＋1>0且a k ·a k ＋1<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是2k .
3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －
1＝a 1q ·q n (n ∈N *)；
其前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n
）1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1，或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q ，q ≠1，
na 1，q ＝1.
4．等比数列中的结论：
(1)若{}a n 为等比数列，且p ＋q ＝m ＋n (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； a 2n ＝a n －k ·a n ＋k (n ≥k ＋1)，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…. (2)若{}a n 为等比数列，m 、n 、p 成等差数列，则a m 、a n 、a p 成等比数列，其中m 、n 、p ∈N
＋
.
(3)若{}a n 为等比数列，则a n ＝a m q n －
m (m ≤n ，m ，n ∈N ＋)．
(4)若{}a n 为等比数列，则连续k 项的和组成的数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，仍为等比数列(S k ≠0，k ∈N ＋)．
5．数列的通项的求法：
(1)公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
(2)已知S n (即a 1＋a 2＋…＋a n ＝f (n ))求a n 用作差法：a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，
S n －S n －1
，n ≥2.
(3)已知a 1·a 2·…·a n ＝f (n )求a n 用作商法：
a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧f （1），n ＝1，f （n ）f （n －1）
，n ≥2.
(4)若a n ＋1－a n ＝f (n )求a n 用迭加法.
(5)已知a n ＋1
a n
＝f (n )，求a n 用迭乘法．
(6)已知数列递推式求a n ，用构造法(构造等差、等比数列):
①形如a n ＝ka n －1＋b ，a n ＝ka n －1＋b n ，a n ＝ka n －1＋a ·n ＋b (k ，b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求a n ；
②形如a n ＝a n －1
ka n －1＋b
的递推数列都可以用 “取倒数法”求通项．
(7)当遇到a n ＋1－a n －1＝d 或a n ＋1
a n －1
＝q 时，要分奇数项偶数项讨论，结果是分段形式. 选择
或填空题中，若所求数列某项的项数较大，且求通项不容易，则该数列可能为周期数列，可通过归纳求某项．
6．数列求和的方法：
(1)公式法：等差数列，等比数列求和公式．
(2)若{}a n 为等差数列，{}b n 为等比数列，则数列{}a n ·b n 前n 项的和可用错位相减法求得．
(3)若通项为n 个连续自然数积的倒数，则一般可用裂项法求前n 项的和．常用裂项形式有：
①1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
； ②1n （n ＋k ）＝1k ⎝
⎛⎭⎫1
n －1n ＋k ；
③1k 2<1k 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1k －1－1k ＋1，1k －1k ＋1＝1（k ＋1）k <1k 2<1（k －1）k ＝1k －1－1
k
； ④1
n （n ＋1）（n ＋2）
＝ 12⎣⎡⎦
⎤1n （n ＋1）－
1（n ＋1）（n ＋2）； ⑤n （n ＋1）！＝1n ！－1
（n ＋1）！
； ⑥2(n ＋1－n )<1
n
<2(n －n －1)；
⑦a n ＝S n －S n －1(n ≥2)；
⑧C m －1n ＋C m n ＝C m n ＋1⇒C m n ＝C m n ＋1－C m －1
n ； ⑨a n ＝n ·n ！＝(n ＋1)！－n! .
(4)当一个数列既不是等差数列又不是等比数列时，如果能将这个数列分解为一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列，此时可用分组法求和(有时按奇数项和偶数项分组)．
(5)倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加．
⎭
⎪⎬⎪
⎫S n ＝a 1＋a 2＋……＋a n －1＋a n S n ＝a n ＋a n －1＋……＋a 2＋a 1相加2S n ＝()a 1＋a n ＋()a 2＋a n －1＋…＋()a n ＋a 1. 7．两个结论：S n ＝12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）
6
；
13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2（n ＋1）24＝
⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22
.
8．分期付款(按揭贷款) 每次还款x ＝ab （1＋b ）n
（1＋b ）n －1
元(贷款a 元，n 次还清，每期利率为
b )．
第六部分 立体几何
1．画三视图要求：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；左视图与俯视图宽相等．
2．球的半径是R ，则其体积是V ＝4
3
πR 3，其表面积是S ＝4πR 2.
3．空间向量共线定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b ⇔存在实数λ使a ＝λb .
推论：对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →
，则四点P 、A 、B 、C 共面⇔x ＋y ＋z ＝1.
4．求空间角
(1)异面直线所成角的求法：①平移法：平移直线，构造三角形；②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系；③向量法：转化为两直线方向向量的夹角，用向量法求异面直线所成角θ的方法：cos θ＝||cos 〈a ，b 〉.
(2)直线与平面所成角的求法：①直接法(利用线面角定义)；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ；③向量法：用向量法求直线AB 与平面α所成的角θ
满足：sin θ＝|
|cos 〈AB →，m 〉＝
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪AB →·m ||
AB →·||m ，其中m 为面α的法向量)． 三余弦公式：设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为θ1，AB 与AC 所成的角为θ2，AO 与AC 所成的角为θ.则cos θ＝cos θ1cos θ2.
(3)二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点(特殊点)，作出平面角，再求解；②三垂线法：由一个半平面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，再求解；③射影法：利用面积射影公式：S ′＝S cos θ，其中θ为平面角的大小(对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法)；④向量法：二面角α－l －β的平面角θ满足：||cos θ＝||cos 〈m ，n 〉，其中m 、n 为平面α、β的法向量．
面积射影定理S ＝S ′
cos θ
(平面多边形及其射影的面积分别是S 、S ′，它们所在平面所成锐
二面角的大小为θ)．
5．点到平面的距离的求法：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂
面是关键)，再求解；②等体积法；③向量法：点B 到平面α的距离d ＝||
AB →·n
|n|
，n 为平面α
的法向量，AB 是平面α的一条斜线．
异面直线间的距离 d ＝|CD →·n |
|n |(l 1，l 2
是两异面直线，其公垂向量为n ，C 、D 分别是l 1，l 2
上任一点，d 为l 1，l 2间的距离)．
两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段AA ′(点A ′在a 上，点A 在b 上)的长度为h .在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，A ′E ＝m ，AF ＝n ，EF ＝d .则异面直线上两点距离公式：
d ＝h 2＋m 2＋n 2±2mn cos θ(A ′E ，AF 在AA ′同侧时为“－”号，异侧时为“＋”号)．
6．重要定理、公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内． 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
定理
·空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． ·如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ·如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行． ·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．
·如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行．
·如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行． ·垂直于同一个平面的两条直线平行．
·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直． 7．常用结论
(1)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行．
(2)过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个．
(3)经过两条异面直线中的一条，只有一个平面与另一条直线平行． (4)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
(5)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，设它和已知角两边的夹角为锐角且相等，则这条斜射线在这个平面内的射影是这个角的平分线(斜射线上任一点在这个平面上的射影在这个角的平分线上)．
(6)如果一个角α所在平面外一点到这个角两边的距离相等，那么这点在平面α上的射影，在这个角的平分线上．(解答题用此结论须作简要证明)
(7)若三棱锥的三条侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心．
(8)如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角都相等或三棱锥的顶点到底面三条边距离都相等(顶点在底面上的射影在底面三角形内)，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心．
(9)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，或有两组对棱垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心．
(10)棱长为a 的正四面体的对棱互相垂直，对棱间的距离为2
2
a .
8．“等积变换”、“割形”与“补形”是解决立体几何问题常用方法．有关正四面体中的计算有时可构造正方体模型，使正方体的面对角线恰好构成正四面体．三条侧棱两两垂直的正三棱锥中的有关计算有时可以补成正方体．
第七部分 直线与圆
1．斜率公式：k ＝y 2－y 1
x 2－x 1(P 1(x 1，y 1
)、P 2(x 2，y 2))．
2．直线的四种方程
点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线l 过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k )． 斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距)．
两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1(y 1≠y 2)(P 1(x 1，y 1
)、P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2))．
一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A 、B 不同时为0)． 3．两条直线的平行和垂直
(1)若l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2 ①l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，b 1≠b 2； ②l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.
(2)直线 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1，且
B 1
C 2≠B 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.
4．几个重要公式：
(1)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，△ABC 的重心G ⎝⎛
⎭⎫
x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33；
(2)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝||
Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2
；
(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与 Ax ＋By ＋C 2＝0的距离是d ＝||
C 1－C 2A 2＋B 2
.
5．直线在x 轴、y 轴上的截距相等包含有直线过原点这一特殊情况．
6．直线过定点(m ，0)时，根据情况有时可设其方程为x ＝ty ＋m (t ＝0时直线x ＝m )．应用点斜式解题，应检验直线斜率不存在的情况．
7．圆的四种方程
圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.
圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)．
圆的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，
y ＝b ＋r sin θ.
圆的直径式方程 (x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的端点是A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2))．
8．与圆有关的结论
(1)若P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2上的点，则过点P (x 0，y 0)的切线方程为xx 0＋yy 0＝r 2.
(2)若P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝r 2外一点，由P (x 0，y 0)向圆引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝r 2.
(3)圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交于A 、B 两点，则直线AB 为这两圆的“根轴”，其方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0(即为公共弦AB 所在的直线方程)．
(4)过两个圆的交点的曲线系(当λ＝－1时表示两圆交线)：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2
＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)．
(5)过一个圆和一条直线的交点的圆的方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ≠－1)．
第八部分 圆锥曲线
1．求曲线轨迹方程的常用方法：
(1)直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F (x ，y )＝0，是求轨迹的最基本的方法． (2)待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可．
(3)代入法(相关点法或转移法)．
(4)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程．
(5)交轨法(参数法)：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
2．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)中的结论：
(1)椭圆焦半径：||PF 1＝a ＋ex 0，||PF 2＝a －ex 0(e 为离心率); (左“＋”右“－”)；
(2)椭圆焦点三角形：①S △PF 1F 2＝b 2tan θ
2
(θ＝∠F 1PF 2)；
②点M 是△PF 1F 2内心，PM 交F 1F 2于点N ，则|PM ||MN |＝a
c
.
(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的通径长为2b 2
a
.
(4)若点P (x 0，y 0)在x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，则x 20a 2＋y 20
b 2<1.
若点P (x 0，y 0)在x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外部，则x 20a 2＋y 20
b
2>1.
(5)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.
(6)以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离．
(7)以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．
(8)设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点，则△PF 1F 2在边PF 2(或PF 1)上的旁切圆，必与A 1A 2
所在的直线切于A 2(或A 1)．
(9)椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的两个顶点为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，与y 轴平行的直线交椭
圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是x 2a 2－y 2
b
2＝1.
(10)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则过P 0的椭圆的切线方程是x 0x a 2＋y 0y
b 2＝1.
(11)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1外 ，则过P 0作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点
弦P 1P 2的直线方程是x 0x a 2＋y 0y
b 2＝1.
(12)AB 是椭圆x 2a 2＋y
2b
2＝1的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB
＝－b 2
a
2.
(13)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1内，则被P 0所平分的中点弦的方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝x 20a 2＋y 20
b 2.
(14)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是x 2a 2＋y 2b 2＝x 0x a 2＋y 0y
b 2.
(15)若PQ 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上对中心张直角的弦，则1r 21＋1r 22＝1a 2＋1
b
2(r 1＝|OP |，
r 2＝|OQ |)．
3．双曲线中的结论：
(1)双曲线标准方程(焦点在x 轴或y 轴上)的统一形式为Ax 2－By 2＝1(AB >0)，
双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，也可记作x 2a 2－y 2
b
2＝0.
双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ，b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a se
c θ，y ＝b tan θ.
(2)共渐近线y ＝±b a x 的双曲线标准方程为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ为参数，λ≠0)．
(3)双曲线焦点三角形：①S △PF 1F 2＝b
2tan θ2
(θ＝∠F 1PF 2)；
②P 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左(右)支上一点，F 1、F 2分别为左、右焦点，则
△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为－a (a ).
(4)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的通径长为2b 2
a
.
(5)PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点．
(6)以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交．
(7)以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切．
(8)设P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点．
(9)双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个顶点为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，与y 轴平行的直线
交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是x 2a 2＋y 2
b
2＝1.
(10)若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，则过P 0的双曲线的切线方程是x 0x
a
2－
y 0y b 2
＝1. (11)若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)外，则过P 0作双曲线的两条切线切点为
P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是x 0x a 2－y 0y
b
2＝1.
(12)AB 是双曲线x 2a 2－y
2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的
中点，则k OM ·k AB ＝b 2
a
2.
(13)若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)内，则被P 0所平分的中点弦的方程是x 0x
a
2
－y 0y b 2＝x 20a 2－y 20b
2. (14)若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是x 2
a
2－
y 2b 2＝x 0x a 2－y 0y b 2
. (15)若PQ 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)上对中心张直角的弦，则1r 21＋1r 22＝1a 2－1
b
2(r 1＝|OP |，
r 2＝|OQ |)．
4．抛物线中的结论：
(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 性质：①x 1x 2＝p 2
4
；y 1y 2＝－p 2；抛物线焦半径：||PF ＝x 0＋p 2；②1|AF |＋1|BF |＝2p
；③以AB 为直径的圆与抛物线准线相切；④以AF (或BF )为直径
的圆与y 轴相切；⑤|AB |＝2p
sin 2α
，直线AB 倾斜角α＝90°时，最短弦长为2p ，即为抛物线
的通径．
(2)若点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)内部，则y 20<2px 0.若点P (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)外部，则y 20>2px 0.
(3)抛物线y 2＝2px 上的动点P ()x 0，y 0可设为P ⎝⎛⎭
⎫y 202p ，y 0或P (2pt 2，2pt )． (4)由抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴． (5)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB ，则弦AB 过定点(2p ，0)．
(6)若抛物线上两点A 、B 在准线l 上的射影分别为A 1、B 1，F 为其焦点，则∠A 1FB 1＝π
2
.
5．若直线y ＝kx ＋m 与二次曲线交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则由⎩
⎪⎨⎪⎧二次曲线方程
y ＝kx ＋m ⇒ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，知直线与二次曲线相交所截得的弦长为：
||AB ＝1＋k 2
||x 1－x 2＝1＋1
k 2||y 1－y 2，其中||x 1－x 2＝b 2－4ac ||a (涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意Δ≥0，还需要注意圆锥曲线本身的范围．若求弦所在直线的斜率常用“点差法”)．
6．圆锥曲线的两类对称问题：
(1)曲线F (x ，y )＝0关于点P (x 0，y 0)成中心对称的曲线是F (2x 0－x ，2y 0－y )＝0.。