贵州省遵义四中2016-2017学年高二下学期期中考试数学(

遵义四中2016--2017学年度第二学期半期考试
理科数学试题
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).
1．已知集合{}2
|30M x x x =-=，{}|1N x x =>-，则M N ⋂=（ ）
A ．（﹣1，0）
B ．（0，3）
C ．{0，3}
D ．{3} 2．设复数z=（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．下列命题推断错误的是（ ） A ．命题“若
，则sin =sin ” 的逆否命题为真命题;
B ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题;
C ．“=﹣1”是“﹣5﹣6=0”的充分不必要条件;
D ．命题p ：存在∈R ，使得2
0010x x ++<,则非p ：任意∈R ，都有210x x ++≥. 4．执行下面的程度框图，若输出的值为﹣5，则判断框中可以填（ ）
A ．z ＞10
B ．z ≤10
C ．z ＞20
D ．z ≤20 5．已知一个几何体的三视图如图所示（正视图是两个正方形，俯视图是两个正三角形），
则其体积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==则公差d=（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
7．已知向量,a b 满足2,1a b == |且(3)(2)a b a b +⊥- ，则,a b 的夹角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．关于直线,a b 及平面,αβ，下列命题中正确的是（ ） A ．若//,a b ααβ⋂=，则//a b
B ．若//,//,a b αα，则//a b
C ．若,//a a αβ⊥，则αβ⊥
D ．若//,a b a α⊥，则b α⊥
9．函数()sin()f x x ωϕ=+()2
π
ϕ<
的图象如图所示，为了得
到sin y x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有点（ ）个单位长度．
A ．向右平移
B ．向右平移
C ．向左平移
D ．向左平移
10．设x,y 满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值
为12,则的最小值为( )
A. B. C. D. 4
11．已知定义域为{|≠0}的偶函数()f x ，其导函数为'()f x ，对任意正实数满足'()2()xf x f x >-，若2()()g x x f x =，则不等式()g(1)g x <的解集是（ ） A.（﹣∞，1） B ．（﹣∞，0）∪（0，1） C ．（﹣1，1） D ．（﹣1，0）∪（0，1）
12.设P 为双曲线C ：22
221(0x y a a b
-=>，0)b >上且在第一象限内的点，F 1，F 2分别
是双曲线的左、右焦点，PF 2⊥F 1F 2，轴上有一点A 且AP ⊥PF 1，E 是AP 的中点，线段EF 1与PF 2交于点M ．若22PM MF =，则双曲线的离心率是（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3+
（D ）4
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．正项等比数列中，若
，则
等于______.
14．设x ,y ,z ∈R ,且
=1,则x+y+z 的最大值为__________.
15.下图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．
16..给出定义:若函数)(x f 在D 上可导,即)('x f 存在,且导函数)('x f 在D 上也可导,则称函数)(x f 在D 上存在二阶导函数,记)(''x f ='))('( x f .若)(''x f <
0在D 上恒成立,则称函数)(x f 在D 上为凸函数,以下四个函数在)2
,0(π
内不是凸函数的
是 .(填序号)
①x x x f cos sin )(+= ② x x x f 2ln )(-=
③12)(3
-+=x x x f ④x
xe x f =)(.
三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分10分）已知函数11)(++-=x x x f . (1)求不等式3)(≥x f 的解集;
(2)若关于x 的不等式x x a x f 2)(22+-> 在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.
a b c，满足18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为,, )
-
cos
2(=
c
c
b cos
a
A
（Ⅰ）求角A的大小;
（Ⅱ）若3
a，△ABC，求△ABC的周长．
=
19.（本小题满分12分）某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100
名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（1）请先求出频率分布表中①、②位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率.
20.（本小题满分12分）如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,AB ⊥AD ,CD ⊥AD ,PA ⊥底面ABCD ,PA=AD=CD=2,AB=1,M 为PC 的中点. (1)求证:BM ∥平面PAD ; (2)求三棱锥A-PBM 的体积.
21. （本小题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点（2，1）.
（Ⅰ）求抛物线的标准方程。

（Ⅱ）是否存在直线
，与圆
相切且与抛物线交于不
同的两点M 、N ，当为钝角时，有成立？若存在，求出直线的
方程，若不存在，说明理由。

22.（本小题满分12分）已知函数1+x
()ln
1f x x
=- 。

（1）求曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）求证：当(0,1)x ∈ 时，3
()2()3
x f x x >+ ；
（3）设实数k 使得3
()()3
x f x k x >+ 对(0,1)x ∈ 恒成立，求k 的最大值。

高二理科数学答案
1．
【解答】解：集合M={x|x2﹣3x=0}={0，3}，N={x|x＞﹣1}，则M∩N={0，3}，
故选：C
【解答】解：因为==，复数z在复平面内对应的点为（），所以复数z在复平面内对应的点在第四象限．
故选D．
3．
【解答】选B．
4．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
x=1，y=2，z=1+2=3；
满足条件，x=2，y=3，z=2+3=5；
满足条件，x=3，y=5，z=3+5=8；
满足条件，x=5，y=8，z=5+8=13；
满足条件，x=8，y=13，z=8+13=21；
由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出x﹣y的值为8﹣13=﹣5；
结合选项可知，判断框内可填入的条件是z≤20．
故选：D．
5．
【解答】解：由题意可得：该几何体是由两个：底面边长为2，高为2的正三棱柱，和底面边长为1，高为1的正三棱柱组成．∴该几何体的体积
V=+=．
故选：B．
6．
【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，且a7﹣2a4=6，a3=2，
∴，解得a1=﹣6，d=4．
则公差d=4．
故选：B
7．
【解答】解：∵；
∴==；
∴；
∴；
∴的夹角为．
故选A．
8．
【解答】解：A是错误的，∵a不一定在平面β内，
∴a，b有可能是异面直线；
B是错误的，∵平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，
∴a，b也有可能相交或异面；
C是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；
D是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．
故选：C．
9．
【解答】解：根据函数的图象：
求得：T=π
进一步利用：
当x=|φ|＜
所以：φ=
即函数f（x）=
要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．故选：A
10．
解析:在平面直角坐标系中画出不等式组所对应的可行域(如图).
由z=ax+by可得y=-x+.
因为a>0,b>0,所以只有当直线y=-x+的截距最大,即经过P点时,z的值才取得最大值.
而由可得P(4,6),
所以有4a+6b=12,
于是(4a+6b)
=
≥,
当且仅当,即a=b 时取等号,
故的最小值是,选A .
答案:A 11．
【解答】解：∵f （x ）是定义域为{x|x ≠0}的偶函数， ∴f （﹣x ）=f （x ）．
对任意正实数x 满足xf′（x ）＞﹣2f （x ）， ∴xf′（x ）+2f （x ）＞0， ∵g （x ）=x 2f （x ），
∴g′（x ）=2xf （x ）+x 2
f′（x ）＞0． ∴函数g （x ）在（0，+∞）上单调递增， ∴g （x ）在（﹣∞，0）递减； 若不等式g （x ）＜g （1）， 则|x|＜1，x ≠0，
解得：0＜x ＜1或﹣1＜x ＜0， 故选：D ． 12. 选：A 13． _16__. 14．答案为：7． 15. 利用几何概型5
23
25300138=⨯⨯。

16
16.④ 解析 对于①,f ″(x )=- (sin x+cos x ),x ∈时,f ″(x )<0恒成立;
对于②,f ″(x )=-,在x ∈时,f ″(x )<0恒成立;
对于③,f ″(x )=6x ,在x ∈时,f ″(x )>0恒成立;
对于④,f ″(x )=(2+x )·e x ,在x ∈
时,f ″(x )>0恒成立,
所以f (x )=x e x 在内不是凸函数.
17
解 (1)原不等式等价于
解得x ≤-或x ≥
.
故原不等式的解集为.
(2)令g (x )=|x-1|+|x+1|+x 2-2x , 则g (x )=
当x ∈(-∞,1]时, g (x )单调递减;当x ∈[1,+∞)时,g (x )单调递增.故当x=1时,g (x )取得最小值1.
因为不等式f (x )>a 2-x 2+2x 在R 上恒成立,所以a 2<1,解得-1<a<1. 所以实数a 的取值范围是(-1,1). 18.（1）3
π
；（2）9. 19.
19. 解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, 第3组的频率为
30
0.300100
=,频率分布直方图如右图所示. （2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为: 第3组:
306360⨯=人；第4组:20
6260
⨯=人；
第5组:
10
6160
⨯=人. 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C , 则从六位同学中抽两位同学有15种可能，具体如下: 12(,)A A ，
13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C
其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有: 11(,),A B 12(,),A B
21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9种可能.
所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为
93
155
=. 20.
1
(1)证明 取PD 的中点E ,连接AE 和EM ,则EM ∥CD ,EM=CD.
又AB ∥CD ,AB=CD ,
∴AB ∥EM ,AB=EM.
∴四边形ABME 为平行四边形,
∴BM ∥AE.又BM ⊄平面P AD ,AE ⊂平面P AD ,∴BM ∥平面P AD. (2)证明 ∵AD=AP ,E 是PD 中点,
∴AE ⊥PD.
∵P A ⊥AB ,AD ⊥AB ,P A ∩AD=A , ∴AB ⊥平面P AD.
又PD ⊂平面P AD ,∴AB ⊥PD. 又AE ∩AB=A ,∴PD ⊥平面ABM.
(3)解 ∵在矩形ABME 中,AB=1, BM=AE=PE=PD=,
∴V 三棱锥A-PBM =V 三棱锥P-ABM =PE ·S △ABM =.
21.
22.(本小题满分12分) 已知函数1+x
()ln
1f x x
=- 。

（1）求曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程；
（2）求证：当(0,1)x ∈ 时，3
()2()3
x f x x >+ ；
（3）设实数k 使得3
()()3
x f x k x >+ 对(0,1)x ∈ 恒成立，求k 的最大值。

【解题指南】（1）求出切点(0,(0))f ，导数'(0)f ，代入切线方程；
（2）构造函数3
()ln(1)ln(1)2()3x F x x x x =+---+，证明最小值大于0；
（3）构造函数3
1()ln ()0,(0,1)13
x x t x k x x x +=-+>∈-， 求导42
22
22'()(1),(0,1)11kx k t x k x x x x +-=
-+=∈--，,讨论k 的取值情况。

【解析】（1）2
11
()ln ,(1,1),'(),'(0)2,(0)011x f x x f x f f x x
+=∈-===-- ，所以切线方程为2y x = 。

（2）原命题造价于任意3
(0,1),()2()03x x f x x ∈-+> ，
设函数3
()ln(1)ln(1)2()3x F x x x x =+---+ ，
4
2
2'()1x F x x =- 。

当(0,1)x ∈ 时，'()0F x > ，函数()F x 在(0,1)x ∈ 上是单调递增函数。

()(0)0F x F >= ，因此任意3
(0,1),()2()3
x x f x x ∈>+。

（3）31ln (),(0,1)13x x k x x x +>+∈- 3
1()ln ()0,(0,1)13x x t x k x x x +⇔=-+>∈- 42
22
22'()(1),(0,1)11kx k t x k x x x x
+-=-+=∈-- 当[0,2]k ∈ ，'()0t x ≥ ，函数()t x 是单调递增，
()(0)0t x t >= 显然成立。

当2k > 时，令'()0t x = 得4
02
k x k
-=
(0,1)∈ ，'()t x 的变化情况列表如下：
0()(0)0t x t <= ，显然不成立。

当0k < 时，显然K 不取最大值。

综上可知，K 的最大值为2.。