河北省廊坊市香河县第六中学2022年高二数学理模拟试题含解析

河北省廊坊市香河县第六中学2022年高二数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数满足，则的最大值为
A. B. C.
D.
参考答案：
A
2. “序数”指每个数字比其左边的数字大的自然数（如1246），在两位的“序数”中任取一个数比36大的概率是( )
A．B．C．D．
参考答案：
A
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：列举可得总的“序数”个数，找出比36大的，由概率公式可得．
解答：解：十位是1的两位的“序数”：8个；十位是2的：7个，
依此类推：十位分别是3，4，5，6，7，8的各有6，5，4，3，2，1个，
故两位的“序数”共有8+7+6+5+4+3+2+1=36个．
比36大的有：十位是3的：3个；十位是4的：5个，依此类推：十位分别是5，6，7，8的各有4，3，2，1个
∴比36大的两位的“序数”有3+5+4+3+2+1=18．
∴所求概率P==
故选：A．
点评：本题考查古典概型及其概率公式，列举是解决问题的关键，属基础题．
3. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为（）
A. B. 2
C. D.
参考答案：
B
【分析】
由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.
【详解】设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得：，解得：，
双曲线的渐近线方程为：，圆心坐标为，
故：，即：，双曲线的离心率.
故选：B.
【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4. 若，则函数的值域是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
5. 已知双曲线的左右焦点分别为，点P在双曲线C右
支上，且满足，又直线与双曲线C的左、右两支各交于一点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）．
A. B. C. D.
参考答案：
D
6. 椭圆=1上存在n个不同的点P1，P2，…，P n，椭圆的右焦点为F．数列{|P n F|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是（）
A．16 B．15 C．14 D．13
参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（|P n F|）min≥|a﹣c|=，（|P n F|）max≤a+c=3，|P n F|=|P1F|+（n﹣1）d．再由数列
{|P n F|}是公差大于的等差数列，可求出n的最大值．
【解答】解：∵（|P n F|）min≥|a﹣c|=，（|P n F|）max≤a+c=3，||P n F|=|P1F|+（n﹣1）d
∵数列{|P n F|}是公差d大于的等差数列，
∴d=＞，解得n＜10+1，
则n的最大值为15
故选：B
7. 在△ABC中，已知a=x，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x的取值范围是（）
A．B．C．D．0＜x＜2
参考答案：
A
【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由题意判断出三角形有两解时，A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可．
【解答】解：由AC=b=2，要使三角形有两解，就是要使以C为圆心，半径为2的圆与BA有两个交点，
当A=90°时，圆与AB相切；
当A=45°时交于B点，也就是只有一解，
∴45°＜A＜135°，且A≠90°，即＜sinA＜1，
由正弦定理以及asinB=bsinA．可得：a=x==2sinA，
∵2sinA∈（2，2）．
∴x的取值范围是（2，2）．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，正弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
8. 当，满足时，则的最大值是（）
A.1
B.2
C.6 D .5
参考答案：
D
9. 如图是导函数y=f′（x）的图象，则原点的函数值是（）
A．导函数y=f′（x）的极大值B．函数y=f（x）的极小值
C．函数y=f（x）的极大值D．导函数y=f′（x）的极小值
参考答案：
C
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】由导函数y=f′（x）的图象，可知函数在0处导数为0，且左正右负，所以原函数在0的左边单调增，右边单调递减，从而可得结论．
【解答】解：由导函数y=f′（x）的图象，可知函数在0处导数为0，且左正右负，所以原函数在0的左边单调增，右边单调递减，
所以原点的函数值是函数y=f（x）的极大值．
故选C．
10. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直角坐标平面内两点满足条件：①都在函数的图象上；②关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点
组”）．已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是__
▲ _．
参考答案：
【知识点】一元二次方程根的分布，对称问题
【答案解析】解析：解：设(m ，n)为函数当x≥0时图象上任意一点，若点
(m，n)
是函数的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n)
必在该函
数图象上，得，消去
n 得，若函数有两个“伙伴点组”，则该方
程有2个不等的正实数根，得，解得.【思路点拨】对于新定义题，读懂题意是解题的关键，本题通过条件最终转化为一元二次方程根的分布问题进行解答.
12. 设数列满足：，，则的值小于4的概率
为▲．
参考答案：
略
13. 已知数列的首项，
则数列的通项公式
参考答案：
14. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，双曲线的渐近线方程为
________________.
参考答案：
略
15. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点和,若是、的等比中项,是与的等差中项,则椭圆的离心率是 .
参考答案：
【知识点】双曲线椭圆
因为椭圆与双曲线有相同的焦点和,所
以
又因为是、
的等比中项,
是
与
的等差中项,所以
，所以代入解得
所以，故答案为：
16. 求曲线y=
在点（3，2）处的切线的斜率 ．
参考答案：
﹣
【考点】导数的几何意义．
【分析】求出函数的导数，求出切点的导函数值即可
【解答】解：y=
=1+
，
∴y′=﹣，
∴k=y′|x=3=﹣=﹣，
故答案为：﹣
17. 如果函数
，那么函数的最大值等
于 ▲ ．
参考答案：
3
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在平面直角坐标系xOy ，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D 。

(I)若，求CD 的长；
(II)若CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围。

参考答案：
19. 已知定义在(－1,1)上的奇函数是增函数，且.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）解不等式.
参考答案：
（1）；（2）
分析：（1）利用f(x)＝是定义在（-1，1）上的奇函数，可得f（0）=0，从而可求b的值，根
据，求出a的值，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是增函数，由f（t-1）+f（2t）＜0得
f（t-1）＜-f（2t）=f（-2t），可得不等式组，解之，即可求解不等式．
详解：
（1）因是定义在上的奇函数，则
又因为，则，所以
（2）因定义在上的奇函数是增函数，由得所以有，解得．
点睛：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查学生的计算能力，正确运用函数的单调性是关键．
20. 已知函数，且的两根分别为1和3.
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)的极值.
参考答案：
（1）由题可知：（2分），且的两根为1和3，即
解得
所以————（4分）
（2）由（1）可知，的两根为1和3，
时，，时，，时，，（6分）即是的极大值点，极大值（8分）
是的极小值点，极大值（10分）
21. （满分13分）随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如下图．
(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，
求身高为176 cm的同学被抽中的概率．
参考答案：
（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间。

因此乙班平均身高高于甲班。

…………………………………………………4分
（2）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A，
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：
（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）（178，176）（176，173）共10个基本事件，……………………………………9分
而事件A含有4个基本事件，……………………………………………………………11分∴。

………………………………………………………………………13分
22. 设,为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量,若向量
,,且.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程;
（Ⅱ）过点(0,3)作直线与曲线交于两点,设,是否存在这样的直线,使得四边形是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.
参考答案：
解：（Ⅰ）由,得,设则动点满足,所以点在椭圆上,且椭圆的.所以轨迹的方程为.
（Ⅱ）设直线的斜率为,则直线方程为,联立方程组消去得:,恒成立,设,则
.由,所以四边形为平行四边形.若存在直线,使四边形为矩形,则,即,解得,所以直线的方程为,此时四边形为矩形.
略。