晋中市2016届高三5月备考质量监测理数试题 含答案

数学（理）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}
{
}2
4,,4,A x x
x R B x
x x Z
=≤∈=≤∈,则A
B =（ )
A ．()0,2
B ．[]0,2
C ．{}0,1,2
D ．{}0,2
2．在复平面内复数65i +、23i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段AB 的中点，则z z ⋅的值为 （ ）
A ．61
B ．13
C ．20
D ．10 3．已知{}n
a 为等比数列，1
47560,2,8a
a a a a >+=⋅=-,则14710a a a a +++=（ )
A ．7-
B ．5-
C ．5
D ．7
4．如图是将二进制数()2
111111化为十进制数的一个程序框图，判断框
内应填入的条件是( ）
A ．6i ≤
B ．6i >
C ．5i ≤
D ．5i >
5．若圆2
21
:0C x
y ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y θ+++=都关于直线210x y --=对称,
则sin cos θθ=( )
A ．25
B ．25
- C ．637
- D ．23
-
6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形
伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( ) A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知()(),ln 1x
f x e
x g x x x =-=++，命题():,0p x R f x ∀∈>，命题()0:0,q x ∃∈+∞,
使得()0
0g x =，则下列说法正确的是（ ) A ．p 是真命题,()0
0:,0p x R f x ⌝∃∈< B ．p 是假命题,()0
0:,0p x
R f x ⌝∃∈≤
C ．q 是真命题，()():0,,0q x g x ⌝∀∈+∞≠
D ．q 是假命题，()():0,,0q x g x ⌝∀∈+∞≠
8．设偶函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示,KLM
∆为等腰直角三角形，90,1KML KL ∠=︒=，则112f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值为( ）
A ．
62
8
- B ．
26
8
+ C ．14 D ．
34
9．一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个,每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ )
A ．1481
B ．2081
C ．2281
D ．2581
10．已知在三棱锥P ABC -中，43,,,,343
P ABC
V
APC BPC PA AC PB BC ππ
-=
∠=∠=⊥⊥，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P ABC -外接球的体积为( ) A ．43
π B ．8
23
π
C ．12
33
π D ．323
π
11．如图,已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左右焦点分别为1212,,4F F F F =，P
是双曲线右支上的一点,直线2
F P 与y 轴交于点A ，1
APF ∆的内切圆在边
1PF 上的切点为Q ,若1PQ =，则双曲线的离心率是（ )
A ．3
B ．2
C ．3
D ．
2
12．已知t 为常数,函数()()2
ln 1f x x
t x =++有两个极值点(),a b a b <，
则（ )
A ．()12ln 24
f b -> B ．()12ln 24
f b -< C ．()32ln 28
f b +> D ．()43ln 28
f b +<
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 13．若1
1e dx a x =⎰
，则()3
311a x x ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
展开式中的常数项是______．
14．设随机变量()23,X
N σ，若()0.3P X m >=，则()6P X m >-=______．
15．已知向量()(),1,2,x z y z =-=+a b ，且⊥a b ,若变量,x y 满足约束条件
1325x y x
x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，则z 的最大值为______． 16．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
()()427cos 27cos 5
a B
b A -=-，则cos C 的最小值为______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n
a 的首项()*1122
,31
n n n a a
a n N a +==∈+． （1)求证：数列1
1n
a
⎧⎫
-⎨
⎬⎩
⎭
是等比数列； （2）求数列n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n
S ．
18．（本小题满分12分）
已知在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点,且满足:::1:2AE EB CF FA CP PB ===(如左图）．将AEF ∆沿EF 折起到1
A EF ∆的位置，
使二面角1
A EF
B --成直二面角，连结1
A B 、1
A P （如右图）．
（1）求证：1
A E ⊥平面BEP ；
（2）求二面角1
B A P E --的余弦值．
19．（本小题满分12分）
某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(8n >且*
n N ∈），
其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
（1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合"的概率不小于12
，求n
的最大值;
（2）当12n =时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ． 20．（本小题满分12分)
在平面直角坐标系中，已知点1,02
A ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，点B 为直线12
x =-上的动点，点C 是线段AB 与y 轴的交点,点M 满足0,0BM OC CM AB ⋅=⋅=．
（1)求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）设点P 是轨迹E 上的动点，点R 、N 在y 轴上,圆()
2
211x y -+=内切于
PRN ∆，求PRN ∆的面积的最小值．
21．（本小题满分12分) 设函数
()21
ln x f x x
-=．
（Ⅰ)求证：()f x 在()0,1和()1,+∞上都是增函数；
(Ⅱ)若在函数()f x 的定义域内，不等式()af x x >恒成立，求a 的取值范围． 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，已知AD 为圆O 的直径,直线BA 与圆O 相切于点A ，直线OB 与弦AC
垂直且相交于点G ，与弧AC 相交于M ,连结,10,12DC AB AC ==． （1）求证：BA DC GC AD ⋅=⋅; （Ⅱ)求BM 的长度．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半
轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为122
31x t y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）． (1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程；
(2）设曲线C 经过伸缩变换2x x
y y
'=⎧⎨'=⎩得到曲线C '，设曲线C '上任一点为
(),M x y 1
32
x y +
的取值范围． 24．(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数()()2
log 12f x x x m =++--．
（1）当5m =时，求函数()f x 的定义域；
（2）若关于x 的不等式()1f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围．
山西省晋中市2016年高三5月备考质量监测数学（理）试题
参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
C
B
C
B
B
C
B
A D B
A
二、填空题
13．20 14．0。

7 15．3 16．12
-
三、解答题
(2)由（1）知
111111222
n n n a --=⋅=，即
11
12
n n a =+,……………………………………………………5分
∴
2
n n n n
n a =+．…………………………………………………………………………………………………6分
设231232222
n n n T
=
+++⋅⋅⋅+，① 则231112122222
n n n n n
T +-
=++⋅⋅⋅++，②
由①-②得21111111111122112222222212
n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭
=++⋅⋅⋅+-=-=---，
∴
11222n n n
n T -=-
-．……………………………………………………………
……………………………10分 又
()
11232
n n n ++++⋅⋅⋅+=．……………………………………………………
…………………………11分 ∴
数
列
n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前
n
项和
()21242
22222
n n n n n n n n n S +++++=-+=-． (12)
分
18．解:不妨设正三角形ABC 的边长为3． （1)在左图中,取BE 的中点D ，连结DF ．
∵::1:2AE EB CF FA ==，∴2AF AD ==,而60A ∠=︒，∴ADF ∆是正三角形， 又1AE DE ==，∴EF AD ⊥,
在右图中，1
,A E EF BE EF ⊥⊥，∴1
A E
B ∠为二面角1
A EF
B --的平面角．
由题设条件知此二面角为直二面角,∴1
A E BE ⊥．
又
BE EF E
=,∴
1A E ⊥
平面
BEF
，即
1A E ⊥
平面
BEP ． (5)
分
（2）建立分别以EB 、EF 、1
EA 为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系,
则()()(
)(
)()
1
0,0,0,0,0,1,2,0,0,,E A B F P ,
则()()(
)()1
1
0,0,1,2,0,1,1,
3,0,1,A E A B BP PE =-=-=-=-．
设平面1
A BP 的法向量为()1
1
1
1
,,x y z =n ，
由1
⊥n 平面1
A BP 知
,1
11,A B BP ⊥⊥n
n ,
即111120,
0.
x z x -=⎧⎪⎨-
+=⎪⎩
令
1x =,得
1111,y z ===
n ．…………………………………………………
………7分
设平面1
A PE 向量为()2222
,,x y z =n ．
由
2⊥
n 平面
1A PE
知，
212,A E PE
⊥⊥n n ，即可得
)21,0
=
-n ．…………………………………9分
121212311
cos ,424
⋅-=
==⋅⨯n n n n n n ……………………………………………………………………………11分
由图可知，该二面角为锐二面角，所以二面角1
B A P E --余弦值是
14
…………………………………12分
19．解:（1）由题意,所选两人为“最佳组合”的概率为
()()11
66
2
126112
n n n C C P C n n --==≥-…………………………………………………………………………………3分 即2251440
n n -+≤，解得
916n ≤≤,……………………………………………………………………
5分 故
n
的最大值为
16．……………………………………………………………………………………………6分
(2）由题意可得，X 的可能取值为0,1,2, 则
()()()21126666222121212565
0,1,2221122
C C C C P X P X P X C C C =========，…………………………
……9分
X
的分布列为：
()0121221122
E X =⨯+⨯+⨯=．………………………………………………
………………………12分
20．解:（1)由于点C 是线段AB 与y 轴的交点,则点C 是线段AB 的中点， ∵
CM AB ⋅=，∴
CM AB
⊥，∴
MA MB
=．…………………………………………………………2分
因此点M 的轨迹是以A 为焦点，12
x =-为准线的抛物线， 其
方
程
为
22y x =．…………………………………………………………………
……………………………4分 (2）设()()()0
,,0,,0,P x y R b
N c ，且b c >，
∴
00
:PR y b
l y x b x -=
+，即()000:0PR l y b x x y x b --+=， (5)
分 由相切得
1
=，注意
到
02x >，………………………………………………………………6分 化简得()20
00220x b y b x -+-=，
同
理
得
()2000220x c y c x -+-=，………………………………………………………
……………………7分 所以,b c 是方程()2
00220x x y x x -+-=的两根， 所
以
022
x b c x -=
=
-，………………………………………………………………10分 ∴
()00000214
248
222
PRN x S x x x x ∆=⋅⋅=-++≥--，（当
04
x =时等号成
立）．…………………………12分 因此PRN ∆的面积的最小值为8． 21
．
解
：
（
1
）
()()()()222212ln 12ln 0,1ln ln x x x x x x f x x x x x x x --
⎛⎫-'==->≠ ⎪⎝⎭
，………………………2分
令
()212ln x g x x x
-=-
，
则()()()
3
211x x g x x
+-'=
，……………………………………………………3分
当01x <<时，()0g x '<，()g x 是减函数， 所以()()10g x g >=，于是()()
()2
0ln x
f x
g x x '=
>，故()f x 为增函数．
当1x >时，()0g x '>，()g x 是增函数，()()10g x g >=， 于
是
()()
()2
ln x
f x
g x x '=
>,故
()
f x 为增函
数．………………………………………………………5分 （2）()()()22
11ln ln ln a x a x x af x x x x x
x x ⎡⎤--⎢⎥-=-=-⎢⎥⎣⎦
，
设
()()()
21ln 0a x h x x x x
-=
->，
则
()22
ax x a
h x x
-+'=,………………………………………………6分
当0a >，且2
140a
∆=-≤，即1
2
a ≥
时，此时20ax x a -+<在()()0,1,1,+∞上恒成立， 所以当12
a ≥时()0h x '≥，故()h x 在()()0,1,1,+∞为增函数， 若01x <<时，()()10h x h <=，所以()()0ln x
af x x h x x -=>， 若1x >时，()()10h x h >=，所以()()0ln x
af x x h x x
-=>, 所
以
当
0,1
x x >≠时
()af x x >．…………………………………………………………………
……………8分
当102a <<时，()0h x '<
，解得1122x a a
-+<<
, 所以()h x
在⎛ ⎝⎭
上是减函数，()()10h x h <=， 故()()0ln x
af x x h x x
-=<,不
符题
意．…………………………………………………………………10分 当
a ≤，()0h x '<，()h x 在()()0,1,1,+∞为减函数，同理可知,在
()()
0,1,1,+∞,
()()0ln x
af x x h x x
-=
<不符题
意．………………………………………………………………………11分 综
上所述:
a
的取值范围是
12
a ≥
．……………………………………………………………………
……12分
22．证明：(1）因为AC OB ⊥，所以90AGB ∠=︒ 又AD 是圆O 的直径,所以90DCA ∠=︒
又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对的圆周角），
所以Rt AGB Rt DCA ∆∆∽，所以BA AG AD
DC
=．又因为OG AC ⊥,所以GC AG =．
所以
BA GC
AD DC
=，即
BA DC GC AD ⋅=⋅．…………………………………………………………
………5分
（2)因为12AC =,所以6AG =，因为10AB =,
所以8BG =．
由（1）知：Rt AGB Rt DCA ∆∆∽，所以AB BG AD
AC
=．所以15AD =，即圆的直径215r =．
又因为
()22AB BM BM r =⋅+，即2151000
BM BM +-=．解得
5BM =． (10)
分
23．解：(1）由直线l
的参数方程12,2
1,2
x t y ⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩(t 为参数），消去参数t 得直线
l
的直角坐标方
程
10y +-=．…………………………………………………………
…2分
∵
2ρ=，∴曲线
C
的直角坐标方程
224x y +=． (4)
分
（2）曲线
C
经过伸缩变换
,2x x y y
'=⎧⎨
'=⎩得到曲线C '
的方程为
2
2
44
y x +=,………………………………6分
设
点
()2cos ,4sin M θθ,……………………………………………………………
………………………7分
所以[]112cos 4sin 2sin 4sin 4,4223y πθθθθθ⎛
⎫+
=+⨯=+=+∈- ⎪⎝
⎭……………9分
∴
12
y +
的取值范围为
[]4,4-．……………………………………………………………………
……10分
24．解：（1)由题意1250x x ++-->,令()21,1
123,1221,2x x g x x x x x x -+≤-⎧⎪
=++-=-<<⎨⎪-≥⎩
解得3
x >或2
x <-，∴函数的定义域为{3x x >或
}2x <-． (5)
分
（
2
）
∵
()1
f x ≥，
∴()22log 121log 2
x x m ++--≥=，
即
122x x m ++--≥． (7)
分
由题意，不等式122x x m ++--≥的解集是R ，则122m x x ≤++--在R 上恒成立． 而
122321x x ++--≥-=，……………………………………………………
…………………………9分 故
1m ≤．……………………………………………………………………
…………………………………10分。