2021-2022学年江苏省常州市第一中学高二上学期期中数学试题(解析版)

2021-2022学年江苏省常州市第一中学高二上学期期中数学
试题
一、单选题
1．直线l 经过原点O ，且它的倾斜角是直线
y =的倾斜角的两倍，则l 的方程是（ ） A ．y x = B ．
y
C ．y =
D ．y =
【答案】C
【分析】根据直线方程确定
y x =的倾斜角，进而可知直线l 倾斜角，结合题设写出l 的方程.
【详解】由题设，若直线
y =的倾斜角为θ，则tan θ=，易知：6πθ=.
∴直线l 倾斜角为
3
π
，即l k l 经过原点O ，
∴l 的方程y =. 故选：C 2．抛物线2
43
y x =的焦点坐标为（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【详解】由题意，抛物线2
34x y =
的焦点坐标为30,16⎛⎫ ⎪⎝⎭
故选：C
3．若直线10ax y a +-+=与直线()230a x y a --+=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-1或3 B ．1或-3
C ．-1或-3
D ．1或3
【答案】A
【分析】利用两线垂直的判定有(2)30a a --=，求解即可得a 的值. 【详解】由题设，(2)1(3)0a a -+⨯-=，即2230a a --=，解得1a =-或3a =. 当1a =-时，直线分别为20x y --=、3310x y ++=，符合题设； 当3a =时，直线分别为320x y +-=、330x y -+=，符合题设. 故选：A
4．若数列{}n a 满足115a =，且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 值为（ ） A ．22 B ．21 C ．24 D ．23
【答案】D
【分析】利用1332n n a a +=-，可得123n n a a +-=-，从而数列{}n a 是首项为15，公差为2
3-
的等差数列，求出数列的通项，确定其正数项，即可得到结论．
【详解】解：因为1332n n a a +=-，所以12
3
n n a a +-=-，
所以数列{}n a 是首项为15，公差为23-的等差数列，所以247
33
n a n =-+，
由2
47
033
n a n =-+
>，解得23.5n <，即1223240a a a a >>>>>>，所以23240a a ⋅<，
即使10k k a a +⋅<的k 值为23； 故选：D ．
5．已知直线()0x y m m R -+=∈与圆C ：()()2
2
214x y -+-=交于A ，B 两点，C 为圆
心，当ABC 的面积最大时，实数m 的值为（ ） A ．2± B ．-3或1 C ．0或1 D ．-1或3
【答案】B
【分析】用m 表示出圆心到直线的距离和弦长，即可得到三角形面积的表达式，利用基本不等式求出最大值和取最值时的条件.
【详解】圆C ：()()2
2
214x y -+-=的圆心坐标()2,1C ，半径r =2.
由圆心到直线0x y m -+=
的距离2d =
=
<
，得：11m -<<.
直线0x y m -+=
被圆截得的弦长为
，
所以三角形的面积
1
2S =⨯=()()22
114222
2
m m ⎡⎤++-+
⎢⎥⎢⎥⎣⎦≤=. 当且仅当(
)()2
2
1142
2
m m ++-=
，即3m =-或1时取“=”.
故选：B
6．直线1y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，且与C 交于A B 、两点，则||AB =（ ） A ．6 B ．8 C ．2 D ．4
【答案】B
【分析】联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可
【详解】因为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
又直线1y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，所以2p =，抛物线C 的方程为
24y x =，由21
4y x y x
=-⎧⎨=⎩，得2610x x -+=，所以6A B x x +=，所以
628A B AB x x p =++=+=．
故选：B
7．直线y x b =+与曲线22x y =--有且仅有一个公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．22b -≤≤ B ．2b =
C ．22b -≤<或2b =
D ．22b -<≤或2b =
【答案】C
【分析】由直线、曲线方程画出图象示意图，应用数形结合法知：判断y x b =+与曲线为何种位置关系时有且仅有一个公共点，即可求b 的取值范围. 【详解】根据直线和曲线方程可得如下图象，
要使它们有且仅有一个公共点，则y x b =+在第二象限与曲线相切或直线截距在
22b -<
当y x b =+
在第二象限与曲线相切时，0b =>⎩2b =.
综上，b
的取值范围b <2b =. 故选：C
8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠，
1
1a d
≤．记121222n n n b S b S S ++==-， *n ∈N ，下列等式不可能成立的是（ ）
A ．4262a a a =+
B ．4262b b b =+
C ．2
4
28a a a = D ．2428b b b =
【答案】D
【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；
对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．
根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得
()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；
对于C ，()()()()2
2
24
281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2
4
28a a a =，C 正确； 对于D ，()()22
2
224
78111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，
()2
2428112416832b b b d a d d d a -=-=-．
当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即2
4280b b b ->；
当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以2
4280b b b ->，D
不正确． 故选：D ．
二、多选题
9．已知直线1:10l x y --=，动直线2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．不存在k ，使得2l 的倾斜角为90°
B ．对任意的k ，直线2l 恒过定点
C ．对任意的k ，1l 与2l 都不．重合
D ．对任意的k ，1l 与2l 都有公共点
【答案】BD
【分析】对A ，令0k =即可判断正误；
对B ，化简直线方程，根据定点满足k 的系数为0，且满足方程即可；
对C ，令1
2
k =-即可判断正误；
对D ，根据B 可得2l 过定点(0,1)-判断即可
【详解】对A ，当0k =时，2:0l x =，符合倾斜角为90°，故A 错误；
对B ，2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=，解10
0x y x ++=⎧⎨=⎩可得01x y =⎧⎨=-⎩，故2l 过定点
(0,1)-，故B 正确；
对C ，当12k =-时，21111
:(1)02222l x y x y --=--=，显然与1:10l x y --=重合，故C
错误；
对D ，2l 过定点(0,1)-，而(0,1)-也在1:10l x y --=上，故对任意的k ，1l 与2l 都有公共点，故D 正确； 故选：BD
10．已知等差数列{}n a ，下列结论一定正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若120a a +<，则230a a +<
C ．若120a a <<，则2a
D ．()()21230a a a a --≤
【答案】CD
【分析】根据等差数列的定义和通项公式，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A 中，由120a a +>，又由23122a a a a d +=++，
因为公差d 的正负不确定，所以230a a +>不一定成立，所以A 不一定正确； 对于B 中，由120a a +<，又由23122a a a a d +=++，
因为公差d 的正负不确定，所以230a a +<不一定成立，所以B 不一定正确； 对于C 中，因为120a a <<，可得0n a >，且13
22
a a a +=，
又因为13a a +≥2a ≥
又由13a a ≠，所以等号不成立，即2a C 正确.
对于D 中，由等差数列的定义知()()2
2123()0a a a a d d d --=⨯-=-≤，所以D 正确.
故选：CD.
11．已知圆22:4,(1,0),(4,0)+=O x y A C ，点P 在圆上且在第一象限内，则下列结论正确的是（ ） A ． 2PC PA = B ．6
PCA π
∠≤
C ．2PAC PCA ∠>∠
D ．2PAC PCA ∠<∠
【答案】ABC
【分析】设(,)P x y ，则224x y +=，利用两点间的距离公式可判断A ；利用直线与圆相切可判断B ；利用正弦定理结合三角函数的单调性可判断C ；利用排除法即可得到答案； 【详解】设(,)P x y ，则224x y +=，
对A ，2PC
PA ===，故A 正确； 对B ，当PC 与圆相切时，PCA ∠达到最大值为6
π
，所以6
PCA π
∠=，故B 正确；
对C ，因为
2sin sin sin sin PC PA
PCA PAC PAC PCA
=⇒∠=∠∠∠，因为23PCA π∠≤，所以当
PAC ∠为直角或钝角时，显然有2PAC PCA ∠>∠；当PAC ∠为锐角时，若
2PAC PCA ∠>∠，则有sin sin 22sin cos PAC PCA PCA PCA ∠>∠=∠⋅∠可得
cos 1PCA ∠<，所以假设成立，故C 正确；
显然D 就错误； 故选：ABC.
【点睛】本题考查两点间的距离公式、正弦定理解三角形，求解时要注意结合三角函数的单调性进行求解判断.
12．已知曲线C ：||||4x x y y +=，则下列结论正确的是（ ） A ．直线1x y +=与曲线C 没有公共点 B ．直线x y m +=与曲线C 最多有两个公共点
C ．当直线x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点()111,P x y ，()222,P x y 时，12x x 的
取值范围为(,2)-∞
D ．当直线x y m +=与曲线C 有公共点时，记公共点为*(,)(N )i i i P x y i ∈．则1n
i i x =∑的取值
范围为（0，2） 【答案】BC
【分析】由题设讨论,x y 的符号得到曲线C 的不同方程，结合所得方程对应曲线的性质，结合直线1x y +=、x y m +=并应用数形结合的方法，判断它们与曲线C 的交点情况，并根据交点个数的不同求交点横坐标之积或和的范围即可.
【详解】由题设得：曲线C 为()
()()2222
2240,040,040,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩
，
对A ，由0x y +=是224x y -=和224y x -=的渐近线，故1x y +=与
()2240,0x y x y +=≥≥有2个公共点，故A 错误；
对B ，由A 中的分析知：x y m +=与曲线C 最多有两个公共点，故B 正确； 对C ，由图可知，当022m <<时，x y m +=与曲线C 有两个公共点()111,P x y ，
()222,P x y ，由对称性知，()111,P x y ，()222,P x y 关于直线
y x =对称，则12y x =， ∴1211x x x y =，结合图形可得：
（1）当02m <<时，120x x <．
（2）当222m ≤<12x x ≠，则22
11211122
x y x x x y +=<
=，且120x x ≥. 综上可知，12x x 的取值范围为(,2)-∞，故C 正确；
对D ，由C 的分析，022m <<x y m +=与曲线C 有且只有两个不同公共点，则
12111
n
i
i x
x x x y m ==+=+=∑，即1
022n
i i x =<<∑
当22m =时，x y m +=与曲线C 只有一个公共点，此点为
(
)
2,2．此时
1
11
2n
i x
x ===∑．故D 错误．
故选：BC ． 三、填空题
13．试写出一个焦点坐标为()0,1±的椭圆的标准方程：___________. 【答案】2
212
y x +=（答案不唯一）
【分析】根据椭圆的焦点在y 轴上，1c =，即得解. 【详解】由题得椭圆的焦点在y 轴上，1c =， 所以符合题意的标准方程为2
212y x +=（答案不唯一）.
故答案为：2
212
y x +=（答案不唯一）.
14．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为10
2
，则其渐近线的斜率是__________．
【答案】62
±
【分析】由10
2
c e a
==，结合222c a b =+，可得2246b a =，即得解 【详解】∵10
2e =
，又c e a
= ∴22410c a =，2224410a b a +=，即2246b a = 62
b k a ∴=±
=±
． 故答案为：6
2
±
15．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方：将1，2，…，9填入方格内使三行、三列、两条对角线的三个数之和都等于15，如图所示．
一般地，将连续的正整数1，2，…，2n 填入n n ⨯个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的对角线上数的和为n N ，
例如315N =，434N =，565N =，……，那么12阶幻方的对角线上数的和=_______． 【答案】870
【分析】推导出21(12345)n N n n
=+++++⋯+，由此利用等差数列求和公式能求出结果． 【详解】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
31
(123456789)153
N =++++++++=，
41
(12345678910111213141516)344
N =+++++++++++++++=，
51
(1234567891011121314151617181920
5
N =+++++++++++++++++++2122232425)65+++++=，
⋯
2222
11(1)(1)(12345)22
n n n n n N n n n ++∴=+++++⋯+=⨯=，
所以()212121218702
N ⨯+=
=.
故答案为：870
16．如图，双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，
两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D ,则菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值
1
2
S S =______．
52
+【分析】根据题意得到221
122
bc a B F =，求得51
e -=
22B F O θ∠=，可得222F A O AOB θ∠=∠=，进而求得12S bc =和22224a bc
S b c
=+，即可求得12S S 的值.
【详解】因为以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，可得点O 到直线22F B 的距离为a ， 又因为虚轴的两端点为12,B B ，所以2OB b =，
在12F OB
中，由三角形的面积公式值22111222
bc a B F ==
，即bc = 因为222c a b =+，可得422430c a c a -+=，即42310e e -+=， 又因为1e >
，解得e =
设22B F O θ∠=，可得2AOB θ∠=，所以2
22sin 2S a θ=，
在12F OB
中，可得sin θθ=
=
，
所以22
22244sin cos a bc
S a b c
θθ==+，
菱形1122F B F B 的面积12S bc =，
所以222221222
222
2214222S bc b c c a e a bc S a a b c +-====-=+.
四、解答题
17．已知圆C 的方程为：2224690()x y mx y m m R +--+-=∈. （1）试求m 的值，使圆C 的周长最小；
（2）求与满足（1）中条件的圆C 相切，且过点()1,2-的直线方程. 【答案】（1）3m =；（2）1x =或34110x y --=.
【分析】（1）先求圆的标准方程222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，由半径最小则周长最小； （2）由3m =，则圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=，直线和圆线切则圆心到直线的距离等于半径，分直线与x 轴垂直和直线与x 轴不垂直两种情况进行讨论即可得解. 【详解】（1）2224690x y mx y m +--+-=， 配方得：222()(2)(3)4x m y m -+-=-+，
当3m =时，圆C 的半径有最小值2，此时圆的周长最小. （2）由（1）得，3m =，圆的方程为：22(3)(2)4x y -+-=. 当直线与x 轴垂直时，1x =，此时直线与圆相切，符合条件； 当直线与x 轴不垂直时，设为()12y k x =--，
2=，解得3
4
k =
，
所以切线方程为311
44
y x =
-，即34110x y --=. 综上，直线方程为1x =或34110x y --=.
18．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，5(4)n S n n =+ (1)求{}n a 的通项公式；
(2)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，
[]2.62=．
【答案】(1)23
5n n a +=
(2)24
【分析】（1）先求1a ，利用5(4)n S n n =+和1n n n a S S -=-可求通项公式； （2）先求235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，根据n 的取值逐个求解n b ，然后求和可得答案. （1）∵1155,1S a =∴=；∵5(4)n S n n =+，∴()151(3)(2)n S n n n -=-+≥两式相减可得
235n n a +=(2)n ≥，又11a =，∴23
5
n n a +=. （2）由（1）知：235n n b +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，所以当1,2,3n =时，23125n +≤<，此时1n b =；当4,5
n =时，23235n +<<，此时2n b =；当6,7,8n =时，23
345n +≤<，此时3n b =；当9,10n =时，
23
455
n +<<，此时4n b =，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;
（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.
【答案】（1）2
4y x =；（2）最大值为13
.
【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；
（2）设()00,Q x y ，由平面向量的知识可得()00109,10P x y -，进而可得2
00259
10
y x +=，
再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【详解】（1）抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，准线方程为2p x =-，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫
--== ⎪⎝⎭
，
所以该抛物线的方程为24y x =； （2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法 设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--， 所以()00109,10P x y -，
由P 在抛物线上可得()()2
00104109y x =-，即200259
10
y x +=，
据此整理可得点Q 的轨迹方程为2
29525
=-y x ，
所以直线OQ 的斜率
000
22
0001025925910
OQ y y y k y x y =
==++， 当00y =时，0OQ k =； 当00y ≠时，
00
10925OQ k y y =
+
， 当00y >
时，因为0092530y y +
≥， 此时1
03OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035
y =时，等号成立；
当00y <时，0OQ k <；
综上，直线OQ 的斜率的最大值为1
3
.
[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法
同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525
=
-y x ． 设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线2
29
525
=
-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式22
2940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解
得13
k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为1
3．
[方法三]：轨迹方程+换元求最值法
同方法一得点Q 的轨迹方程为2
29525
=
-y x ． 设直线OQ 的斜率为k ，则2
2
2
29525⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
y k x x x ． 令
11009⎛⎫=<≤ ⎪⎝
⎭t t x ，则2292255=-+k t t 的对称轴为59t =，所以2
1110,933≤≤-≤≤k k ．故
直线OQ 斜率的最大值为1
3
．
[方法四]：参数+基本不等式法
由题可设()
2
4,4(0),(,)>P t t t Q x y ．
因为(1,0),9=F PQ QF ，所以()
2
4,49(1,)--=--x t y t x y ．
于是249(1)49x t x y t y ⎧-=-⎨-=-⎩，所以21049
104x t y t ⎧=+⎨
=⎩
则直线OQ
的斜率为2441
94934==≤=
++y t x t t t ．
当且仅当94t t
=
，即3
2t =时等号成立，所以直线OQ 斜率的最大值为13．
【整体点评】
方法一根据向量关系，利用代点法求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率关于y 的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到点Q 的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ 的斜率的最大值，为最优解；
方法三同方法一求得Q 的轨迹方程，得到直线OQ 的斜率k 的平方关于x 的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线OQ 斜率的最大值；
方法四利用参数法，由题可设()
2
4,4(0),(,)>P t t t Q x y ，求得x,y 关于t 的参数表达式，
得到直线OQ 的斜率关于t 的表达式，结合使用基本不等式，求得直线OQ 斜率的最大值.
20．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，满足22222345a a a a +=+，77S =．
(1)求数列前项和n S 的最小值； (2)试求所有的正整数m ，使得2
1
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．
【答案】(1)9-； (2)3m =或2.
【分析】（1）由等差数列的性质及已知等量关系可得430a a +=，结合77S =求基本量，进而写出前n 项和，即可求n S 的最小值； （2）由（1）得
()21(27)2325
m m m m m a a a m ++--=-，令25m t -=有
214m m m a a t a t ++=-，即可得1t =±，求出m 值并判断对应值是否为{}n a 中的项即可.
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题设得：2222
2543a a a a -=-，即
25254343()()()()a a a a a a a a -+=-+，所以54323()()d a a d a a -+=+，又2543a a a a +=+，
由于0d ≠，所以430a a +=，即1250a d +=①，由77S =得：176
772
a d ⨯+=②，联立①②解得15a =-，2d =，则27n a n =-，所以2(527)
62
n n n S n n -+-=
=-．当3n =时，
min ()9n S =-.
（2）由（1）知：
()21(27)2325
m m m m m a a a m ++--=-，令25m t -=，则()()()(27)23224
25m m t t t m t t
---+==--，{}n a 中的项均为整数，要使
12m m m a a a ++为{}n a 中的项，则t 可整除4．由t 为奇数，故t 可取值±1； 当1t =时，251m -=，可得3m =，此时
4143t t
-
=-=-，又3227-=⨯-，故2
1m m m a a a ++为{}n a 中的项．当1t =-时，251m -=-，可得2m =，此时4
143t t -=-+=，又3257=⨯-，故12m m m a a a ++为{}n a 中的项．综上，3m =或
2时，使得
2
1
m m m a a a ++为数列{}n a 中的项．
21．已知点P 在圆22:6O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M
满足13OQ OP OM =-（
(1)求动点M 的轨迹方程E
(2)过点()0,1的动直线l 与曲线E 交于,A B 两点，问：是否存在定点D ，使得
2()DA AB DA ⋅+的值是定值？若存在，求出点D 的坐标及该定值；若不存在，请说明理
由
【答案】(1)22
162
x y +
= (2)存在定点(0,0)D ，使得2()2DA AB DA ⋅+=-
【分析】（1）设点00(,),(,)M x y P
x y ，根据题意得到00
x x
y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入即可求得动点M 的
轨迹方程；
（2）①当直线l 的斜率存在时，设l 方程为1y kx =+，联立方程组求得1212,x x x x +，设1122(,),(,),(,)D m n A x y B x y ，得到222222
(336)622
13m n k mk m n n DA DB k +-+++--⋅=+，
要使得上式为定值，即与k 无关，求得0,0m n ==，得到2DA DB ⋅=-；②当直线l 的斜率不存在时，直接验证得到2DA DB ⋅=-，即可求解.
（1）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，因为
133OQ OP OM -=-（），可得3PQ MQ =，所以00
3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以22
(3)6x y +=，即动点M 的轨迹E 的方程为22162x y +
=. （2）解：①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组221
162y kx x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
可得22(13)630k x kx ++-=，则22(6)12(13)0k k ∆=++>恒成立，且12122263,1313k x x x x k k
+=-
=-++，因为2
()()DA AB DA DA AB DA DA DB ⋅+=⋅+=⋅，设1122(,),(,),(,)D m n A x y B x y ，可得1122(,)(,)DA DB x m y n x m y n ⋅=--⋅--，22
12121212()()x x m x x m y y m y y n =-+++-++1222212
112()()()11()1x x m x x m m n kx kx kx kx =-+++-+++++222222
(336)622
13m n k mk m n n k +-+++--=
+，要使得上式为定值，即与k 无关，则满足60m =且22363(22)n n n -=--，所以0,0m n ==，即点(0,0)D ，此时2DA DB ⋅=-；②
当直线l 的斜率不存在时，则直线l 为 1x =，可得(0,2),(0,2)A B -，所以2DA DB ⋅=-，综上可得，存在定点(0,0)D ，使得2()2DA AB DA ⋅+=-
22．椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>经过点()1,1E ，其右焦点为抛物线22:26C y x =的焦
点F ；直线l 与椭圆1C 交于A
B 、两点，且以AB 为直径的圆过原点．
(1)求椭圆1C 的方程；
(2)若过原点的直线m 与椭圆1C 交于,C D 两点，且()
OC t OA OB =+，求四边形ACBD 面积的范围
【答案】(1)22
2133x y +
= (2)6,23⎡⎣
【分析】（1）求出抛物线的焦点，得到椭圆的半焦距，利点(1,1)E 在椭圆22
122
:1x y C a b +=上，求解a ，b ，得到椭圆方程．
（2）当直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与椭圆方程，利用判别式以及韦达定理，结合向量的数量积，推出221m k =+，求解三角形OAB 的面积，通过()OC t OA OB =+，得到C 点坐标为12(()t x x +，12())t y y +，代入椭圆方程，化简然后求解ACBD S ，利用二次函数的性质求解最值，再结合直线AB 斜率不存在时即可得解．
（1）
解：抛物线22:C y =的焦点F
为
，则c ，点(1,1)E 在椭圆22122:1x y C a b +=上，即22
1
1
2
13a a -+=，解得2233,2a b ==，所以椭圆1C 的方程为222133
x y +=；
（2）解：当直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立
22
213
3x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，可得222(21)4230k x kmx m +++-=，则224(623)0k m ∆=-+>①，122421
km x x k +=-+②，212223
21m x x k -=+，③以AB 为直径的圆过原点即
12121212()()0OA OB x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++=，化简可得
221212(1)()0k x x km x x m ++++=，代入②③两式，整理得
2222(1)(23)(4)(21)0k m km km m k +-+-++=，即221m k =+④，将④式代入①式，得
24(41)0k ∆=+>恒成立，则R k ∈，设线段AB 中点为M ，由()2OC t OA OB tOM =+=，
24ACBD OACB OAB S S tS ==
，1212OAB S m x x =-=()OC t OA OB =+，则C 点
坐标为()1212(),()t x x t y y ++，化简可得12212
24()21
2()21km t x x t k m t y y t k ⎧
+=-⎪⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩
，代回椭圆方程可得
2228321m t k =+，
即t =
4ACBD OAB S tS m ===，当直线AB 斜率不存在时，AB 方程为1x =±，直线CD 过AB 中点，即为x 轴，易得2AB =
，
CD =
，1
2
ACBD S AB CD =
=ACBD 面积的取值范围为
6,23⎡⎤⎣⎦
．
【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了椭圆中四边形面积及范围问题，考查分析问题解决问题的能力，是难题．。