浙江省杭州市建人高复高三上学期第一次月考试题 数学

浙江建人高复2018级第一学期第一次月考数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
如果事件B A ,互斥，那么 柱体的体积公式
)()()(B P A P B A P +=+； V Sh =
如果事件B A ,相互独立，那么 椎体的体积公式
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅； 1
3
V Sh =
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 球的表面积公式
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 24S R π=
k
n k k
n n P P C k P --=)1()((k = 0,1,…,n). 球的体积公式
台体的体积公式 34
3
V R π=
1
(+3
V h S S =+下上
选择题部分（共40分）
一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合则},2,1,2{},2,1{},2,1,0,1,2{--==--=B A U ()U A C B =U （ ▲ ）
A. {1}
B. {1,2}
C. {2}
D. {0,1,2} 2. 复数)31(i i z -=的虚部是 （ ▲ ）
A. －1
B. 1
C. i
D. 3
3. 双曲线2
2
13
x y -=的离心率是 （ ▲ ） A.
B.
C. 2
D.
4. 若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则23z x y =+的最大值为 （ ▲ ）
A. 17
B. 13
C. 5
D. 1
5. 下列函数为偶函数的是 （ ▲ ）
A ．cos sin y x x =+
B ．cos sin y x x =⋅
C ．x
x
y e e -=- D ．x
x
y e e -=+
6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则670a a +>是93S S ≥的（ ▲ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7. 曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为
（ ▲ ） A ．
13 B ．12 C ．2
3
D ．1 8 . 已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a •b ＝2，(a －c )•(b －2c )＝0，则|b －c |的最小值为（ ▲ ）
A B C D 9. 等腰直角ABC V 斜边CB 上一点P 满足1
4
CP CB ≤
，将CAP V 沿着AP 翻折至C AP '∆，使二面角C AP B '--为60°，记直线,,C A C B C P '''与平面APB 所成角分别为,,αβγ，则（ ▲ ） A 、αβγ<<
B 、αγβ<<
C 、βαγ<<
D 、γαβ<<
10. 设f (x )是定义在(0,)+∞上的单调增函数，且对任意的正数x ，都有1
(())f f x x
+1()f x =， 则f (1) = （ ▲ ）
(A)
(B) (C) (D) 非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_▲_，表面积等于 _▲__
（第11题图）
12. 随机变量ξ的分布列如下：
其中a b c ，，成等差数列，若3
E ξ=
，则D ξ的值是 ▲ ． 13、若正数,a b 满足2483log 1log log ()a b a b +=+=+，则__,__a b ==▲▲. 14、在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，其中2
22a bc c b =-+且32
1
+=b c ，则A ∠__,=▲B tan __.=▲ 15、已知10
21001210(1)
(1)(1)(1),x a a x a x a x +=+-+-++-则08__,__a a ==▲▲.
16、设6,,1≤≤z y x ，且自然数x ，y ，z 的乘积能被10整除，则有序自然数组(,,)x y z 共有 ▲ 组.
17、已知函数|ln |)(x x f =，⎩
⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个
数为__▲__个
三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18．（本小题14分）已知函数2
2sin c ()2cos os x x x x f +=（x R ∈）． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期，并求()f x 的最小值．
（Ⅱ）令π()18g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，若()2g x a <-对于[,]63
x ππ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.
19. （本小题15分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，12
1AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥
1
(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.
20. （本小题15分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212
≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
=n S a S n n n . ⑴求
{}n a 的通项；
⑵设1
2+=
n S b n
n ，数列{}n b 的前n 项和n
T
21. （本小题15分）设抛物线2
:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；
（1）若0
90=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；
（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，
求坐标原点到,m n 距离的比值.
22. （本小题15分）已知函数1
21
()(1)(0)2
x f x f e f x x -'=-+.
(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间； (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥
2
2
1)(，求b a )1(+的最大值
数学答案
一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11. 12.
59 13. 111616， 14. 132
π， 15. 1024,180 16. 72 17. 4
三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
18、解（Ⅰ）()sin 2cos 21214f x x x x π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭， …..3分
其最小正周期是22
T π
π==， …..5分 又当224
2
x k π
π
π+
=-
+，即()38x k k Z π
π=-
∈时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
取得最小值1-，
所以函数()x f 的最小值是1x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧
⎫
=-
∈⎨⎬⎩
⎭
． ….. 7分
（Ⅱ）ππ()12()228842g x f x x x x ππ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+
-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
….. 9分
由[,]63x ππ
∈-
，得22[,]33x ππ∈-，则1
cos 2[,1]2
x ∈-， ….. 11分
()2[g x x ∴=∈， ….. 12分
若()2g x a <-对于[,]63
x ππ
∈-
恒成立，则max 2()2a g x a ->=> ….. 15分
19、解(Ⅰ) 证明：设11
2
AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，
1DC DC ∴=， 12CC a =，
22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. …..3分
又1DC BD ⊥，1DC DC D =I ，1DC ∴⊥平面BDC . 又BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥. …..7分
(Ⅱ)由 (Ⅰ)
知，1DC
，1BC =，又已知BD DC ⊥1
，BD ∴=.
在Rt ABD △
中，,,90BD AD a DAB =
=∠=，
AB ∴=.
2
2
2
AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥. …..9分
法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，
1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角. …..11分
在1Rt C DE △
中，1111sin 2
C E
C DE C D
∠=
==，1
30C DE ∴∠=.
即二面角11C BD A --的大小为30. …..15分
法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B a D a a C a . …..9分
()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，
则11111100
n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =. 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =. …..12分 设1n 与2n 的夹角为θ,则
1212
cos 6n n n n θ⋅=
=
= 30θ∴=. 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30. ....15分
12
11(2)
11()()()
22
n n n n n n n n n a S S n S a S S S S --=-≥∴=-=--Q 20、解（）由题意
2
1111
22
n n n n n S S S S S --=--+ …..3分 化简得：1
121
n n n S S S --=
+
1
112n n S S -∴
=+ 即1{
}n S 是公差为2 的等差数列，又11
11
1S a ==， *1121,()21
n n n S n N S n ∴
=-=∈- …..6分 111,1
,111
,2,22123
n n n n a n a S S n n n n -=⎧=⎧⎪
∴==⎨⎨-≥-≥⎩⎪
--⎩， …..9分 （2）1111
()21(21)(21)22121
n n S b n n n n n =
==-+-+-+ …..11分 1211...(1)22121
n n n
T b b b n n ∴=+++=-=
++ …..15分
21、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.
点A 到准线l
的距离d FB FD ===.
由ABD S =△
,
11
222
BD d p ⨯⨯=⨯= ....1分 2p ∴=. ....3分
圆F 的方程为()2
2
18x y +-=. ....6分
(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,
90o ADB ∠=,2AD p ∴=,3
2
A y p ∴=
,代入抛物线:C py x 22=
得A x = .....7分 直线m
的斜率为3AF k =
=
.直线m
的方程为0x -+=. ....9分 由py x 22
= 得22x y p =,x
y p
'=.
由3x y p '=
=得
, x p =.故直线n 与抛物线C
的切点坐标为,36p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
, ....11分
直线n
的方程为06
x -
=. ....12分 所以坐标原点到m ，n
3=. ....15分
22、解: (Ⅰ) 1
()(1)(0)x f x f e
f x -''=-+, ....1分
令1x =得,(0)1f =,
再由1
21
()(1)(0)2
x f x f e
f x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.
所以)(x f 的解析式为21()2
x
f x e x x =-+. ....3分
()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.
所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<
所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞. ....6分
(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥
2
21)(恒成立, 即()()21()102
x
h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，
()()1x h x e a '=-+Q ,
(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;
(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=; ....8分
(3)当10a +>时, ()()1x h x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+
当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()
()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-.
....10分 依题意有()()
()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,
10a +>Q ,()()()()22
111ln 1a b a a a ∴+≤+-++, ....12分
令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,
()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>
所以当x =
, ()u x 取最大值2
e
u
=
.
故当12a b +==
时, ()1a b +取最大值2
e . 综上, 若b ax x x
f ++≥2
21)(，则 b a )1(+的最大值为2
e . ....15分。