2019年宁德市高一数学下期中模拟试卷(附答案)

2019年宁德市高一数学下期中模拟试卷(附答案)
一、选择题
1．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A ．若//l α，//l β，则//αβ
B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ
C ．若l α⊥，//l β，则//αβ
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 2．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列
命题正确的是（ ）
A ．若m α⊂，则m β⊥
B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊄，m β⊥，则//m α
D ．若m αβ=I ，n m ⊥，则n α⊥ 3．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）
A ．26
B ．3
C ．23
D ．2 4．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。

其中正确的是（ ）
A ．（1）（2）（3）
B ．（1）（4）
C ．（1）（2）（4）
D ．（2）（4）
5．<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．8π
B ．12π
C ．20π
D ．24π
6．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )
A ．30o
B ．60o
C ．90o
D ．120o
7．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭
C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭
D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭
8．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（ ） A ．31+ B ．31- C ．22 D ．51- 9．若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为
22，则a 的值为( ) A ．-2或2 B ．12或32 C ．2或0
D ．-2或0 10．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶5
D ．3∶2 11．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.
A ．若//m α且//m β，则//m l
B ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥
C ．若M m ∈且//m l ，则//m β
D ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则
该多面体的体积为（ ）
A ．64
B ．643
C ．16
D ．163
二、填空题
13．已知棱台的上下底面面积分别为4,16，高为3,则该棱台的体积为________.
14．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==90ABC ∠=o ，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.
15．三棱锥P ABC -中，5PA PB ==，2AC BC ==
，AC BC ⊥，3PC =，则该三棱锥的外接球面积为________.
16．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则
c =______.
17．已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.
18．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆
22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．
19．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，22BC =，则球心到平面ABC 的距离为__________．
20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______.
三、解答题
21．已知两直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点为P .
（1）直线l 过点P 且与直线5360x y +-=垂直，求直线l 的方程；
（2）圆C 过点()3,1且与1l 相切于点P ，求圆C 的方程.
22．如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧»CD
所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．
（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
23．如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，4524AB CD BAD AB CD ∠=︒==∥，，，点E 为AB 的中点.将ADE ∆沿DE 折起，使点A 到达P 的位置，得到如图2所示的四棱锥P EBCD -，点M 为棱PB 的中点.
（1）求证：PD MCE ∥平面；
（2）若PDE EBCD ⊥平面平面，求三棱锥M BCE -的体积.
24．已知圆22:2410C x y x y ++-+=，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过点P 作圆C 的切线，设切点为M .
（1）若点P 运动到()13，处，求此时切线l 的方程；
（2）求满足PM PO =的点P 的轨迹方程.
25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面
ABC ,1,2AC BC AC BC CC ⊥===，点,,D E F 分别为棱11111,,AC B C BB 的中点．
（1）求证：//AB 平面DEF ；
（2）求证：平面1ACB ⊥平面DEF ；
（3）求三棱锥1E ACB -的体积.
26．已知过点()0,2P -的圆M 的圆心(),0a 在x 轴的非负半轴上，且圆M 截直线20x y +-=所得弦长为22
（1）求M 的标准方程；
（2）若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A 、B 两点，若PAB △的面积为33l 的方程．
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
A 中，,αβ也可能相交；
B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；
C 中，,αβ也可能相交；
D 中，l 也可能在平面β内.
【考点定位】点线面的位置关系
2．C
解析：C
【解析】
由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.
故选C.
3．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意作出图形：
设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，
延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=2333⨯=， ∴11613OO =-=， ∴高SD=2OO 1=263
，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =3， ∴132623S ABC V -=
⨯⨯=三棱锥．
考点：棱锥与外接球，体积．
【名师点睛】
本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以
考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.
【详解】
如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；
如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；
如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.
【点睛】
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.
【详解】
三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC V 是直角三角形，且2ABC π
∠=，2223BC AC AB ∴-=PA ⊥平面ABC ，且PAC V 是
直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC =++205==5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.
故选：C
【点睛】
本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．
【详解】
如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11
AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90o ．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．
7．D
解析：D
【解析】
试题分析：A.}r r
ααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.
}m r m n n r
⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

考点：本题主要考查立体几何中线线、线面、面面平行及垂直。

点评：典型题，要求牢记立体几何中的定理。

8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可知12||||2PF PF a +=，又1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =且12PF PF ⊥，即可列出方程求椭圆的离心率.
【详解】
由1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，可知2||PF c =，且 12PF PF ⊥，
又12||||2PF PF a +=，可知1||2PF a c =-，
在12Rt PF F ∆中，222(2)4a c c c -+=，
即2222a ac c -=
所以2220,
(0,1)e e e +-=∈，
解得1e ==， 故选：B
【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，圆的切线的性质，属于中档题. 9．C
解析：C
【解析】
【分析】
把圆的方程化为标准方程,找出圆心坐标,根据点到直线的距离公式列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值即可.
【详解】
把圆的方程化为标准式为:22(1)(2)5x y -+-=,所以圆心坐标为(1,2).
则圆心到直线0x y a -+=的距离
2
d ==, 即11a -=,化简得11a -=或11a -=-,解得:2a =或0a =.
所以a 的值为0或2.
故选C.
【点睛】
本题考查学生会将圆的一般式方程化为标准式方程,灵活运用点到直线的距离公式化简求值.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝
r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选
C ．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题． 11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.
【详解】
选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；
选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；
选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；
选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .
【点睛】
本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.
12．D
解析：D
【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积
12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433
V =⨯⨯=，故选D. 二、填空题
13．28【解析】【分析】由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可【详解】由棱台的体积公式可得棱台的体积：故答案为：28【点睛】本题主要考查棱台的体积公式及其应用意在考查学生的转化能力和计算求解能力
解析：28
【解析】
【分析】
由题意结合棱台的体积公式求解棱台的体积即可.
【详解】
由棱台的体积公式可得棱台的体积：
(()
1211416832833
V S S h =⨯++⨯=⨯++⨯=. 故答案为：28．
【点睛】 本题主要考查棱台的体积公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平面PCD 求出三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为的正三角形且BD ⊥平
解析：7π
【解析】
【分析】
由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，求出三棱锥P
﹣BDC 的外接球半径R ＝
2，由此能求出该球的表面积． 【详解】
由题意得该三棱锥的面PCD 的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，
设三棱锥P ﹣BDC 外接球的球心为O ，
△PCD 外接圆圆心为O 1，则OO 1⊥面PCD ，
∴四边形OO 1DB 为直角梯形，
由BD O 1D ＝1，OB ＝OD ，得OB
∴三棱锥P ﹣BDC 的外接球半径R ＝
2， ∴该球的表面积S ＝4πR 2＝474π⨯
＝7π． 故答案为：7π．
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．
15．【解析】【分析】由已知数据得两两垂直因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和【详解】∵∴∴又以作长方体则长方体的外接球就是三棱锥的外接球设外接球半径为则球表面积为故答案为：【点睛】本题考查球 解析：7π
【解析】 【分析】
由已知数据得,,CA CB CP 两两垂直，因此三棱锥外接球直径的平方等于这三条棱长的平方和． 【详解】
∵PA PB ==AC BC ==
PC =，
∴222222
,PC CB PB PC CA PA +=+=，∴,PC CB PC CA ⊥⊥，又CA CB ⊥，
以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．
设外接球半径为R ，则2222
(2)7R CA CB CP =++=，2
R =
，
球表面积为22
447.S R πππ==⨯= 故答案为：7π． 【点睛】
本题考查球的表面积，解题关键是确定,,CA CB CP 两两垂直，以,,CA CB CP 作长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球．
16．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为 解析：165
-
【解析】 【分析】
两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】
解：因为圆1C ：2
20x y ax by c ++++=，即2
2
2242
24
a
b a b c
x y 骣骣+-琪琪+++=
琪
琪桫桫，
圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径r =
由题意，得11
1,2
2C a b ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称，
则1
1
2,1
2211
2221,
2
2b a b
a ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45
b =，圆1C
的半径22r ==，
解得165c =-
. 故答案为：16
5
-
【点睛】
本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.
17．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关
【解析】 【分析】
点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离． 【详解】
点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），
点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，
|C C '''（2，﹣1）
．
【点睛】
本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
18．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的
解析：【解析】
分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为
切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．
由题意得圆2
2
:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，
由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值1
12
S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，
∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，
22
2
1251k
+=
=+
又0k >， ∴2k =．
点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．
19．【解析】设球的半径为表面积解得∵在中∴从圆心作平面的垂线垂足在斜边的中点处∴球心到平面的距离故答案为点睛：本题考查的知识点是空间点线面之间的距离计算其中根据球心距球半径解三角形我们可以求出所在平面截 3
【解析】
设球的半径为r ，表面积24π20πS r ==，解得5r =
ABC V 中，
2AB AC ==，22BC =222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，从圆心作平面ABC 的垂线，垂足在斜边BC 的中点处，∴球心到平面ABC 的距离
2
2132d r BC ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
3
点睛：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d ，球半径
R ，解三角形我们可以求出ABC V 所在平面截球所得圆（即ABC V 的外接圆半径），构
造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC 的距离是与球相关的距离问题常用方法.
20．【解析】【分析】由题意曲线表示以原点为圆心1为半径的半圆根据图形得出直线与半圆有两个公共点时抓住两个关键点一是直线与圆相切时二是直线过时分别求出的值即可确定的范围【详解】如图所示是个以原点为圆心1为 解析：)
1,2⎡⎣
【解析】 【分析】
由题意，曲线2:1C y x =-表示以原点为圆心，1为半径的半圆，根据图形得出直线:l y x b =+与半圆有两个公共点时抓住两个关键点，一是直线:l y x b =+与圆相切时，二
是直线:l y x b =+过()1,0A -时分别求出b 的值，即可确定b 的范围。

【详解】
如图所示，21y x =-是个以原点为圆心，1为半径的半圆，y x b =+是一条斜率为1的直线，要使直线l 与曲线C 有两个交点，过()1,0A -和()0,1B 作直线，直线l 必在AB 左上方的半圆内平移，直到直线与半圆相切.当直线l 与AB 重合时，1b =；当直线l 与半圆相切时，2b =
.所以b 的取值范周是)
1,2⎡⎣.
【点睛】
本题主要考查直线与圆相交的性质，体现了数形结合的数学思想，属于一般题。

三、解答题
21．（1）35100x y -+=；（2）()2
215x y -+=. 【解析】 【分析】
（1）联立方程组，求出直线1:240l x y -+=和2:20l x y +-=的交点，再求出直线l 的斜率，可得直线l 的方程；
（2）设出圆的标准方程，求出圆心与半径，即可求得圆的方程． 【详解】 （1）联立方程组24020x y x y -+=⎧⎨
+-=⎩，解得0
2x y =⎧⎨=⎩
，
∴直线240x y -+=和20x y +-=的交点()0,2P ，
又∵直线5360x y +-=的斜率为53
-，∴直线l 的斜率为35，
∴直线l 的方程为()3
205
y x -=
-，化为一般式可得35100x y -+=. （2）设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=， 2222(3)(1)(
)5
a b r ∴-+-==，
1a \=，0b =，
∴圆的方程为22(1)5x y -+=．
【点睛】
本题考查直线、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ．
因为M 为»CD
上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．
证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．
MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．
点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．
23．（1）见解析；（2）26
【解析】 【分析】
（1）连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，易知底面EBCD 是平行四边形，则O 为BD 中点，又M 是BP 中点，可知PD MO P ，则结论可证.
（2）先证明ADE V 是等腰直角三角形，由条件中的面面垂直可得PD ⊥平面BCDE ，则由（1）可知MN ⊥平面BCDE ，则MN 为三棱锥M BCE -的高，底面BCE V 的面积容易求得，根据公式求三棱锥M BCE -的体积. 【详解】
（1）在平面图中，
因为1
2
BE AB CD =
=且//BE CD ， 所以四边形EBCD 是平行四边形； 在立体图中，
连接BD ，交CE 于点O ，连接OM ，所以点O 是BD 的中点，又因为点M 为棱PB 的中点，
所以//OM PD ，因为PD ⊄平面MCE ，OM ⊂平面MCE ， 所以//PD 平面MCE ； （2）在平面图中，
因为EBCD 是平行四边形，所以DE BC =，因为四边形ABCD 是等腰梯形， 所以AD BC =，所以AD DE =，因为45BAD ∠=︒，所以AD DE ⊥； 在立体图中，PD DE ⊥，
又平面PDE ⊥平面EBCD ，且平面PDE ⋂平面EBCD DE =，PD ⊂平面PDE 所以PD ⊥平面EBCD ，
由（1）知//OM PD ，所以OM ⊥平面EBCD ， 在等腰直角三角形ADE 中，因为2AE =，所以2AD DE ==，
所以112
22OM PD AD =
==
，又1BCE ADE S S ∆∆==， 所以12
36
M BCE BCE V S OM -∆=⋅⋅=
. 【点睛】
本题考查平面几何与立体几何的关系，线面平行的证明，面面垂直的性质等，有一定的综合性，属中等题.
24．（1）1x =或34150x y +-=； （2）2410x y -+=. 【解析】 【分析】 【详解】
解: 把圆C 的方程化为标准方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝4， ∴圆心为C （－1,2），半径r ＝2.
（1）当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k （x －1），即kx －y ＋3－k ＝0， 2
1k +2，解得k ＝3
4
-
. ∴l 的方程为y －3＝3
4
-（x －1）， 即3x ＋4y －15＝0.
综上，满足条件的切线l 的方程为1x =或34150x y +-=.
（2）设P （x ，y ），则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝（x ＋1）2＋（y －2）2－4， |PO|2＝x 2＋y 2， ∵|PM|＝|PO|.
∴（x ＋1）2＋（y －2）2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0， ∴点P 的轨迹方程为2410x y -+=.
考点：直线与圆的位置关系；圆的切线方程；点的轨迹方程.
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）23
. 【解析】 【分析】
（1）由题意可知DE P AB ，从而得证；
（2）要证平面1ACB ⊥平面DEF ，转证EF ⊥平面1ACB ，即证AC EF ⊥，1EF CB ⊥； （3）利用等积法即可得到结果. 【详解】
（1）证明：因为三棱柱111ABC A B C -中，11A B P AB , 又因为,D E 分别为1111,AC B C 的中点，所以DE P 11A B , 于是DE P AB ,
AB ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF , 所以AB P 平面DEF .
(2) 在三棱柱111ABC A B C -中，
1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC
所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥, 又AC BC ⊥,
1BC CC C ⋂=，1,BC CC ⊂平面11C BC B ,
所以AC ⊥平面11C BC B ,
EF ⊂平面11C BC B ,
所以AC EF ⊥ ,
又因为12BC CC ==， 1CC BC ⊥， 所以侧面11C BC B 为正方形，故11BC CB ⊥ ,
而,E F 分别为111,B C BB 的中点，连结1BC ，所以EF ‖1BC , 所以1EF CB ⊥ ，又1AC CB C ⋂=，1,AC CB ⊂平面1ACB , 所以EF ⊥平面1ACB , 又EF ⊂平面DEF ,
所以平面1ACB ⊥平面DEF . （3） 11112
33
E ACB A ECB ECB V V S AC --∆==⋅= . 【点睛】
垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
26．（1）224x y +=；（2）1y =. 【解析】 【分析】
（1）根据题意可得圆M 的方程为()2
224x a y a -+=+，求出圆心到直线20x y +-=的距离，结合M 截直线20x y +-=
所得弦长为利用勾股定理列方程可得a 的值，代入圆M 的方程即可得结果；（2）设直线l 的方程为1y kx =+，结合直线与圆的位置关系可得AB 的值，求出点P 到直线AB
的距离，由三角形面积公式可得
21321d AB k ⨯⨯=⨯=+'k 的值，代入直线l 的方程即可得结果． 【详解】
（1）根据题意，圆M 的圆心(),0a 且经过点()0,2-，则圆M 的方程为
()
2
224x a y a -+=+，
圆心M 到直线20x y +-=
的距离d =
，
若圆M 截直线20x y +-=
所得弦长为
则有22
2
42a ⎛+=+ ⎝⎭， 解可得：0a =， 则2244r a =+=，
则圆M 的方程为2
2
4x y +=；
（2）根据题意，设直线l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，
圆M 的方程为22
4x y +=，则圆心M 到直线l
的距离d =
，
则2AB == 又由()0,2P -，则P 到直线l
的距离'd =
=
，
若PAB △
的面积为
132d AB ⨯⨯==' 解可得：0k =， 则直线l 的方程为1y =． 【点睛】
本题主要考查圆的方程、直线与圆方的位置关系，以及点到直线的距离公式与三角形面积公式的应用，涉及直线与圆相交弦长的计算，属于基础题．求圆的弦长有两种方法：一是
利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.。