苏教版九年级数学上册 期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

苏教版九年级数学上册 期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）
一、选择题
1．已知Rt △ABC 中，∠C=900，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ） A ．2sin 3
B =
； B ．2cos 3
B =
； C ．2tan 3
B =
； D ．以上都不对；
2．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，点E 在AB 的延长线上，以A 为圆心，AE 为半径画弧，交AD 的延长线于点F ，且弧EF 经过点C ，则扇形AEF 的面积为（ ）
A ．
58
π B ．58
π
C ．54
π
D ．
54
π 3．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c ； ②a ﹣b+c ＜0； ③b 2﹣4ac ＜0；
④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．某篮球队14名队员的年龄如表： 年龄（岁） 18 19 20 21 人数
5
4
3
2
则这14名队员年龄的众数和中位数分别是（ ） A ．18，19
B ．19，19
C ．18，4
D ．5，4
5．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于
G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）
A ．一定相似
B ．一定全等
C ．不一定相似
D ．无法判断
6．如图，点A 、B 、C 均在⊙O 上，若∠AOC ＝80°，则∠ABC 的大小是（ ）
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．50° 7．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）
A ．5π
B ．10π
C ．20π
D ．40π
8．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC 为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．80°
D ．100°
9．如图，BC 是
O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若
70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）
A ．20︒
B ．70︒
C ．30︒
D ．90︒
10．如图，BC 是A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结
论正确的有（ ）
①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④51
BC AC -=
．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△ADE ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是
（ ）
A ．∠
B ＝∠D B ．∠
C ＝∠E C ．
AD AB
AE AC
= D ．
AC BC
AE DE
= 12．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
二、填空题
13．若a 是方程223x x =+的一个根，则代数式263a a -的值是______.
14．如图，已知菱形ABCD 中，4AB =，C ∠为钝角，AM BC ⊥于点M ，N 为AB 的中点，连接DN ，MN .若90DNM ∠=︒，则过M 、N 、D 三点的外接圆半径为______.
15．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝____． 16．如图，已知
O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则
AB =__________．
17．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D 是以点A 为圆心2为半径的圆上一点，
连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最小值为__________．
18．如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正切值为_____．
19．一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
20．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.
21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A，B，C，D 都在这些小正方形的格点上，AB、CD 相交于点E，则sin∠AEC的值为_____．
22．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现
在往袋中放入m个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为3
5
，则m＝__．
23．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．C是⊙O上一个动点．且不与A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，则α与β的关系是_______．
24．如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1．则点B的坐标是_____．
三、解答题
25．解方程：（1）3x2－6x－2＝0；（2）(x－2)2＝(2x＋1)2．
26．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
27．九（3）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：
甲789710109101010
乙10879810109109
（1）计算乙队的平均成绩和方差；
（2）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是哪个队？
28．如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE CD ⊥，垂足为E ，连接AE ，F 为
AE 上一点，且BFE C ∠=∠. （1）求证：ABF EAD .
（2）若4AB =，3BE =，7
2
AD =
，求BF 的长.
29．如图，已知抛物线2
14
y x bx c =
++经过ABC 的三个顶点，其中点(0,3)A ，点(12,15)-B ，//AC x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点. （1）求抛物线的解析式；
（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交与点E 、F ，当四边形
AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；
（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
30．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在ABC 中，
,90AB AC BAC ∠==,D 是ABC 外一点，且AD AC =,求BDC ∠的度数.若以点A
为圆心，AB 为半径作辅助
A ，则C 、D 必在
A 上，BAC ∠是A 的圆心角，而
BDC ∠是圆周角，从而可容易得到BDC ∠=________.
（2）（问题解决）如图2，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=,25BDC ∠=,求BAC ∠的度数.
（3）（问题拓展）如图3，,E F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE DF
.连接交于点，连接CF交BD于点G,连接BE交于点H,若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_______.
31．如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交⊙O 于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）连结AE，若∠D＝25°，求∠BAE的度数．
32．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(﹣1，0)、B(5，0)，与y轴相交
于点C(0，
3
3
)．
（1）求该函数的表达式；
（2）设E为对称轴上一点，连接AE、CE；
①当AE+CE取得最小值时，点E的坐标为；
②点P从点A出发，先以1个单位长度/的速度沿线段AE到达点E，再以2个单位长度的速度沿对称轴到达顶点D．当点P到达顶点D所用时间最短时，求出点E的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．【详解】
如图：
由勾股定理得：2222
21
33
AC BC
++
＝＝，
所以cosB=
313
BC
AB
＝，sinB=
212
3
3
AC AC
tanB
AB BC
=
＝＝，所以只有选项C正确；
故选：C．
【点睛】
此题考查锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．2．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接AC，根据网格的特点求出r=AC的长度，再得到扇形的圆心角度数，根据扇形面积公式即可求解.
【详解】
连接AC，则22
25
1=
+
扇形的圆心角度数为∠BAD=45°， ∴扇形AEF 的面积=()
2
45
5360
π⨯⨯=58
π
故选B.
【点睛】
此题主要考查扇形面积求解，解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.
3．B
解析：B 【解析】
分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x 轴的交点，进而分别分析得出答案．
详解：①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下， ∴x=1时，y=a+b+c ，即二次函数的最大值为a+b+c ，故①正确； ②当x=﹣1时，a ﹣b+c=0，故②错误；
③图象与x 轴有2个交点，故b 2﹣4ac ＞0，故③错误； ④∵图象的对称轴为x=1，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0）， ∴A （3，0），
故当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，故④正确． 故选B ．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A 点坐标是解题关键．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据众数和中位数的定义求解可得． 【详解】
∵这组数据中最多的数是18， ∴这14名队员年龄的众数是18岁， ∵这组数据中间的两个数是19、19， ∴中位数是
1919
2
+＝19（岁）， 故选：A ． 【点睛】
本题考查众数和中位数，将一组数据从小到大的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处
于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数称为这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数；熟练掌握定义是解题关键．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似． 【详解】
解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒， ∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒， ∴A DCH ∠∠=，
∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒， ∴ADG CDH ∠∠=， 继而可得出AGD CHD ∠∠=， ∴ADG ~CDH ． 故选：A ． 【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据圆周角与圆心角的关键即可解答. 【详解】 ∵∠AOC ＝80°， ∴1
02
ABC AOC 4.
故选：C. 【点睛】
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
利用圆锥面积=Rr 计算.
【详解】
Rr =
2510，
故选：B.
【点睛】 此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.
8．A
解析：A
【解析】
试题分析：先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，再利用互余计算出∠B=40°，然后根据圆周角定理求解．
解：连结BC ，如图，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠B=90°﹣50°=40°，
∴∠ADC=∠B=40°．
故选A ．
考点：圆周角定理．
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数．
【详解】
连接AC ，如图，
∵BC 是O 的直径，
∴90BAC ︒∠=，
∵70ACB ADB ︒∠=∠=，
∴907020ABC ︒︒︒∠=-=．
故答案为20︒．
故选A ．
【点睛】
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
①③，根据已知把∠ABD，∠CBD，∠A角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等
即可;②通过证△ABC∽△BCD,从而确定②是否正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC
-
=解
得51
-
AC，故④正确.
【详解】
①BC是⊙A的内接正十边形的一边,
因为AB=AC,∠A=36°,
所以∠ABC=∠C=72°,
又因为BD平分∠ABC交AC于点D,
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC=36°=∠A,
∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,
∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;
又∵△ABD中，AD+BD＞AB
∴2AD＞AB,故③错误.
②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,
∴BC CD
AB BC
=,又AB=AC,
故②正确,
根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC
-
=,
解得51
-
AC,故④正确,
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 11．D
【解析】
【分析】
先求出∠DAE＝∠BAC，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．
【详解】
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
A、添加∠B＝∠D可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
B、添加∠C＝∠E可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC∽△ADE，故此选项不合题意；
C、添加AD AB
AE AC
=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形
相似，故此选项不合题意；
D、添加AC BC
AE DE
=不能证明△ABC∽△ADE，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．
12．A
解析：A
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∴∠ADB=1
2
∠AOB=30°
故选A．
二、填空题
13．9
【解析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9
解析：9
【解析】
【分析】
根据方程解的定义，将a 代入方程得到含a 的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】
解：∵a 是方程223x x =+的一个根，
∴2a 2=a+3,
∴2a 2-a=3,
∴()
2263=32339a a a a --=⨯=.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键. 14．【解析】
【分析】
通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF ⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出D E=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt △DMF 和Rt △DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根
1
【解析】
【分析】
通过延长MN 交DA 延长线于点E ，DF ⊥BC,构造全等三角形，根据全等性质证出DE=DM,,再通过AE=BM=CF,在Rt △DMF 和Rt △DCF 中，利用勾股定理列方程求DM 长，根据圆的性质即可求解.
【详解】
如图，延长MN 交DA 延长线于点E ，过D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于F,连接MD,
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=4，AD ∥BC,
∴∠E=∠EMB, ∠EAN=∠NBM,
∵AN=BN,
∴△EAN ≌BMN,
∴AE=BM,EN=MN,
∵90DNM ∠=︒,
∴DN ⊥EM,
∴DE=DM,
∵AM ⊥BC,DF ⊥BC,AB=DC,AM=DF
∴△ABM ≌△DCF,
∴BM=CF,
设BM=x,则DE=DM=4+x,
在Rt △DMF 中，由勾股定理得，DF 2=DM 2-MF 2=(4+x)2-42,
在Rt △DCF 中，由勾股定理得，DF 2=DC 2-CF 2=4 2-x 2,
∴(4+x)2-42=4 2-x 2,
解得，x 1=232-,x 2=23
2（不符合题意，舍去） ∴DM=232+，
∴90DNM ∠=︒
∴过M 、N 、D 三点的外接圆的直径为线段DM,
∴其外接圆的半径长为1312DM .
31.
【点睛】
本题考查菱形的性质，全等的判定与性质，勾股定理及圆的性质的综合题目，根据已知条件结合图形找到对应的知识点，通过“倍长中线”构建“X 字型”全等模型是解答此题的突破口，也是解答此题的关键.
15．【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．
【详解】
解：根据题意得x1+x2═
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1
解析：
1 2 -
【解析】
【分析】
直接利用根与系数的关系求解．【详解】
解：根据题意得x1+x2═
1
2 b
a
-=-
故答案为
1
2 -．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则
x1+x2=
b
a
-，x1•x2=
c
a
．
16．【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△AB
解析：22
【解析】
分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
详解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴，
故答案为：
点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17．【解析】
【分析】
作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.
【
解析：3 2
【解析】
【分析】
作AB的中点E,连接EM,CE,AD根据三角形中位线的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半求出EM和CE长，再根据三角形的三边关系确定CM长度的范围，从而确定CM的最小值.
【详解】
解：如图，取AB的中点E，连接CE,ME,AD,
∵E是AB的中点，M是BD的中点，AD=2，
∴EM为△BAD的中位线，
∴
11
21
22
EM AD ,
在Rt△ACB中，AC=4,BC=3，
由勾股定理得，5
==∵CE为Rt△ACB斜边的中线，
∴
115
5
222 CE AB,
在△CEM中，55
11
22
CM ,即
37
22
CM，
∴CM的最大值为3 2 .
故答案为：3 2 .
【点睛】
本题考查了圆的性质，直角三角形的性质及中位线的性质，利用三角形三边关系确定线段的最值问题，构造一个以CM为边，另两边为定值的的三角形是解答此题的关键和难点.
18．1
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．
【详解】
如图：长方形AEFM，连接AC，
∵由勾股定理得：AB
解析：1
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB＝90°，再解直角三角形求出即可．
【详解】
如图：长方形AEFM，连接AC，
∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
即∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°
∴tan∠ABC=1
【点睛】
本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90°是解此题的关键.
19．【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红
解析：5 8
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】
根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5
个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
55 538
= +
故答案为: 5
8
．
【点睛】
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件
A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m
n
．
20．16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．【详解】
解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠C
解析：16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】
解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴CE OA16OA
,
DE AB220
==，
解得OA=16．
故答案为16．
21．【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求
25
【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD的长，从而求出CE，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．
【详解】
过点C作CF⊥AE，垂足为F，
在Rt△ACD中，CD22
1310
+=
由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，
∴CF＝AC•sin45°＝
2
2
，
由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，
∴
1
3 CE AC
DE BD
==，
∴CE ＝14CD ＝10， 在Rt △ECF 中，sin ∠AEC ＝
225210CF CE =⨯=， 故答案为：
25．
【点睛】
考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．
22．5
【解析】
【分析】
根据概率公式列出方程，即可求出答案．
【详解】
解：由题意得，
解得m ＝5，
经检验m ＝5是原分式方程的根，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，根据概率公
解析：5
【解析】
【分析】
根据概率公式列出方程，即可求出答案．
【详解】
解：由题意得，
10m 3610m 45
+=+++ 解得m ＝5，
经检验m ＝5是原分式方程的根，
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．
23．或
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点
解析：αβ=或180αβ+︒＝
【解析】
【分析】
分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论，根据切线的性质得到∠OAC 的度数，再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数，再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.
【详解】
解：当点C 在优弧AB 上时，如图，
连接OA 、OB 、OC ，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC=α-90°=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（α-90°）+2β=180°，
∴180αβ+︒＝
；
当点C 在劣弧AB 上时，如图，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ，
∵∠AOC=2∠ABC=2β，
∴2（90°-α）+2β=180°，
∴αβ=.
综上：α与β的关系是180αβ+︒＝
或αβ=. 故答案为：αβ=或180αβ+︒＝
. 【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用圆周角定理是解题的关键，同时注意分类讨论.
24．(5，1)
【解析】
【分析】
过B 作BE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ADO=∠BAE ，根据相似三角形的性质得到AE=OD=2，DE=OA=1，于是得到结论．
解析：(5，1)
【解析】
【分析】
过B 作BE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到∠DAB =90°，根据余角的性质得到
∠ADO =∠BAE ，根据相似三角形的性质得到AE =
13OD =2，DE =13
OA =1，于是得到结论． 【详解】
解：过B 作BE ⊥x 轴于E ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADO +∠OAD =∠OAD +∠BAE =90°，
∴∠ADO =∠BAE ，
∴△OAD ∽△EBA ，
∴OD ：AE =OA ：BE =AD ：AB
∵OD =2OA =6，
∴OA =3
∵AD ：AB =3：1， ∴AE =
13OD =2，BE =13
OA =1， ∴OE =3+2=5，
∴B （5，1）
故答案为：（5，1）
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线并证明△OAD∽△EBA 是解题的关键．
三、解答题
25．（1）x 1＝115x 2＝1152）x 1＝13，x 2＝－3 【解析】
【分析】
（1）利用配方法解方程即可；
（2）先移项，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）解：x 2－2x ＝
23 x 2－2x ＋1＝
23＋1 (x －1)2＝
53 x －1＝±153
∴x 1＝1＋
153，x 2＝1－153 （2）解：[ (x －2)＋(2x ＋1)] [ (x －2)－(2x ＋1)]＝0
(3x －1) (－x －3)＝0
∴x 1＝
13
，x 2＝－3 【点睛】 本题考查了解一元二次方程的应用，能灵活运用各种方法解一元二次方程是解题的关键．
26．（1）0.24R m =；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.
【解析】
（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【详解】
（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
100307045k b k b +⎧⎨+⎩
＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩
＝＝， 故函数的表达式为：y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．
27．（1）9，1；（2）乙
【解析】
【分析】
(1)根据平均数与方差的定义即可求解;
(2)根据方差的性质即可判断乙队整齐.
【详解】
(1)乙队的平均成绩是：
1(10482793)10⨯⨯+⨯++⨯=9 方差是：222214(109)2(89)(79)3(99)110
⎡⎤⨯⨯-+⨯-+-+⨯-=⎣⎦ (2)∵乙队的方差＜甲队的方差
∴成绩较为整齐的是乙队.
【点睛】
此题主要考查平均数与方差,解题的关键是熟知平均数与方差的求解公式及方差的性质.
28．（1）见解析；（2）145
【分析】
（1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE ＝∠C ，根据等角的补角相等可得出∠ADE ＝∠AFB ，根据AB ∥CD 可得出∠BAF ＝∠AED ，这样就构成了两三角形相似的条件．
（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB ，AE ，AD ，BF 的比例关系，有了AD ，AB 的长，只需求出AE 的长即可．可在直角三角形ABE 中用勾股定理求出AE 的长，这样就能求出BF 的长了．
【详解】
（1）证明：在平行四边形ABCD 中，
∵∠D ＋∠C ＝180°，AB ∥CD ，
∴∠BAF ＝∠AED ．
∵∠AFB ＋∠BFE ＝180°，∠D ＋∠C ＝180°，∠BFE ＝∠C ，
∴∠AFB ＝∠D ，
∴△ABF ∽△EAD ．
（2）解：∵BE ⊥CD ，AB ∥CD ，
∴BE ⊥AB ．
∴∠ABE ＝90°．
∴5AE ===．
∵△ABF ∽△EAD ，
BF AB AD EA
∴=， 4752
BF ∴=．
145
BF ∴=． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等角的补角，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
29．（1）21234y x x =
++；（2）(6,0)P -；（3）存在，116(,3)3Q - ，2(4,3)Q 【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P （m ，
21234m m ++），表示出PE ＝2134m m --，再用S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12
AC ×PE ，建立函数关系式，求出最值即可；
（3）先判断出PF ＝CF ，再得到∠PCA ＝∠EAC ，以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，分两种情况计算即可．
【详解】
（1）∵点(0,3)A ，(12,15)-B 在抛物线上， ∴3115144124c b c =⎧⎪⎨=⨯-+⎪⎩
， ∴23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为21234
y x x =
++， （2）∵AC ∥x 轴，A （0，3） ∴
21234
x x ++＝3， ∴x 1＝−6，x 2＝0， ∴点C 的坐标（−8，3），
∵点(0,3)A ，(12,15)-B ，
求得直线AB 的解析式为y ＝−x ＋3，
设点P （m ，21234
m m ++）∴E （m ，−m ＋3） ∴PE ＝−m ＋3−（
21234m m ++）＝2134
m m --， ∵AC ⊥EP ，AC ＝8，
∴S 四边形AECP
＝S △AEC ＋S △APC ＝
12AC ×EF ＋12AC ×PF ＝
12AC ×（EF ＋PF ） ＝
12AC ×PE ＝12×8×（2134
m m --） ＝−m 2−12m
＝−（m ＋6）2＋36，
∵−8＜m ＜0
∴当m ＝−6时，四边形AECP 的面积的最大，此时点P （−6，0）；
（3）∵21234y x x =++＝21(4)14
x +-，
∴P（−4，−1），
∴PF＝y F−y P＝4，CF＝x F−x C＝4，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°
同理可得：∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，3）且AB，AC＝8，CP＝
=，
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴CQ CP AC AB
=，
∴
8
8
t+
=，
∴t＝−16
3
或t＝−
32
3
（不符合题意，舍）
∴Q（−16
3
，3）
②当△CQP∽△ABC时，
∴CQ CP
AB AC
=，
=，
∴t＝4或t＝−20（不符合题意，舍）∴Q（4，3）
综上，存在点
1
16 (,3)
3
Q-
2(4,3)
Q.
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
30．（1）45；（2）25°；（31
【解析】
【分析】
（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用
“
SAS ”证明△ADG 和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB ＝90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半可得OH ＝
12
AB ＝1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．
【详解】 （1）如图1，∵AB ＝AC ，AD ＝AC ，
∴以点A 为圆心，点B 、C 、D 必在⊙A 上，
∵∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，
∴∠BDC ＝
12
∠BAC ＝45°， 故答案是：45； （2）如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．
∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，
∴点A 、B 、C 、D 共圆，
∴∠BDC ＝∠BAC ，
∵∠BDC ＝25°，
∴∠BAC ＝25°；
（3）在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ，∠ADG ＝∠CDG ，
在△ABE 和△DCF 中，
AB CD BAD CDA AE DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABE ≌△DCF （SAS ），
∴∠1＝∠2，
在△ADG 和△CDG 中，
AD CD
ADG CDG
DG DG
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1＋∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°−90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝
1
2
AB＝1，
在Rt△AOD中，OD2222
125
AO AD
++=
根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD−OH5．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
31．（1）证明见解析；（2）40°.
【解析】
【分析】
(1)连接BC，利用直径所对的圆周角是直角、线段垂直平分线性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边即可证明.
（2）利用三角形外角等于不相邻的两个内角和、利用直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余即可解答.
【详解】
（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即BC⊥AD，
∵CD＝AC，
∴AB＝BD，
∴∠A ＝∠D ，
∴∠CEB ＝∠A ，
∴∠CEB ＝∠D ， ∴CE ＝CD ． （2）解：连接AE ．
∵∠A BE ＝∠A+∠D ＝50°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，
∴∠BAE ＝90°﹣50°＝40°．
【点睛】
本题考查圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
32．（1）234353333y x x =-
++；（2）①(23；②点E (23． 【解析】
【分析】
（1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，故﹣5a 53，解得：a ＝﹣3 （2）①点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，即可求解；
②t ＝AE +
22DE ，t ＝AE +22DE ＝AE +EH ，当A 、E 、H 共线时，t 最小，即可求解． 【详解】 （1）抛物线的表达式为：y ＝a (x +1)(x ﹣5)＝a (x 2﹣4x ﹣5)，
故﹣5a 53，解得：a 3 故抛物线的表达式为：234353333y x x =-
++； （2）①函数的对称轴为：x ＝2，
点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点E ，则点E 为所求，
由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣
3
3
x+
53
3
，
当x＝2时，y＝3，故答案为：(2，3)；
②t＝AE+1
2 DE，
过点D作直线DH，使∠EDH＝30°，作HE⊥DH于点H，则HE＝1
2 DE，
t＝AE+1
2
DE＝AE+EH，当A、E、H共线时，t最小，
则直线A(E)H的倾斜角为：30°，
直线AH的表达式为：y 3
x+1)
当x＝2时，y3
故点E(23．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的性质以及解析式、对称的性质是解题的关键．。