2020七年级数学上册 第1章 有理数 1.5 有理数的乘方 1.5.3 近似数备课素材

1.5 有理数的乘方
1.5.3近似数
情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣
情景导入问题1：(1)我班有________名学生，________名男生，__________名女生；
(2)我今年________岁；
(3)我的体重约为________千克，我的身高约为________厘米；
(4)我们的数学课本有________页．
(5)量一量我们的数学课本的长度是________厘米，宽度是________厘米．
问题2：在这些数据中，哪些数是与实际接近的？哪些数据是与实际完全符合的？(师生共同完成：问题1中(1)(5)与实际完全符合，(2)(3)(4)是与实际接近的)
与实际接近的数就是我们今天要研究的近似数．
[说明与建议] 说明：提出现实生活中的实际问题，根据自己已有的生活经验观察身边熟悉的事物，收集一些数据，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，自然引入新课．建议：你还能举出生活中的一些准确数与近似数吗？生活中哪些方面用到近似数？
归纳导入 1.阅读报道：中国是世界面积第3大国；中国有世界第一高峰珠穆朗玛峰，海拔约8844米；
中国共划分为34个省级单位，包括23个省，5个自治区，4个直辖市和2个特别行政区，中国共有56个民族，少数民族人口最多的是壮族，约有1700万人．
2．回答问题：你能找出这篇报道中的精确数据和近似数据吗？
[说明与建议] 说明：通过阅读一篇报道，找出其中的近似数和精确数，其一可以改变枯燥的概念复习，使复习环节变得更加有趣；其二通过阅读可以让学生掌握更多的知识，例如此报道可以让学生更多地了解我们的祖国，同时也为新课的学习和探究作铺垫和准备工作．建议：可以让学生寻找身边的实例，为本节课的学习做好铺垫．
悬念激趣用喜羊羊的口吻讲故事，羊村超市开业了，懒羊羊买东西的时候发生了纠纷，一斤大米 1.9
元，一斤半大米共2.85元，可是，懒羊羊没有5分钱的零钱，村长又不愿意，懒羊羊给了村长3元，村长又没办法找零钱．怎么办呢？喜羊羊总是有办法．他想了什么办法呢？原来是四舍五入．今天我们来学习求一个数的近似数．
[说明与建议] 说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的需求．建议：先留给学生自主思考的时间，然后教师要引导学生进行分析，为进一步学习积累数学活动经验．
[命题角度1] 准确数和近似数的意义
近似数识别的方法：①语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据都是近似数．如“某城市约有100万人口”“这篇文章有2000字左右”，这两个语句中的100万和2000都是近似数．
②诸如“温度”“身高”“体重”“长度”等这些词语用数据来描述时，这些数都是近似数．如：“现在的气温是－2 ℃”“小明的体重是55千克”，这两个语句中的－2和55都是近似数．
例 下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？
(1)某字典共有1234页；
(2)我们班级有97人，买门票大约需要800元； (3)小红测得数学书的长度是21.0厘米．
解：(1)1234是准确数；(2)97是准确数，800是近似数；(3)21.0是近似数． [命题角度2] 精确度的确定
一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位． (1)普通数直接判断；
(2)对于科学记数法形式(形如a×10n
)的数，先将其还原成普通数，再看a 最右边的数字处在哪个数位上，则其就精确到了哪个数位．
(3)带有“文字单位”的近似数，在确定它的精确度时，分两种情况：当“文字单位”前面的数是整数时，则近似数精确到“文字单位”；当“文字单位”前面的数是小数时，则先将近似数还原成原来的数，再看最原小数中最右边的数字的位置．
例1 12.30万精确到(D )
A ．千位
B ．百分位
C ．万位
D ．百位
例2 由四舍五入法得到的近似数3.20×105
，下列说法中正确的是(D ) A ．精确到百位 B ．精确到个位 C ．精确到万位 D ．精确到千位 [命题角度3] 按要求取近似数
题目要求精确到哪一位，就观察下一位确定是“舍”还是“入”． 例 用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数． (1)0.03049(精确到0.001)； (2)199.5(精确到个位)； (3)48.396(精确到百分位)； (4)67294(精确到万位)． 解：(1)0.03049≈0.030； (2)199.5≈200； (3)48.396≈48.40；
(4)67294≈7×104
.
P46练习
用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)0.003 56(精确到万分位)； (2)61.235(精确到个位)； (3)1.8935(精确到0.001)； (4)0.0571(精确到0.1)．
[答案] (1)0.0036；(2)61；(3)1.894；(4)0.1. P47习题1.5 复习巩固 1．计算：
(1)(－3)3； (2)(－2)4
；
(3)(－1.7)2
； (4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－433
； (5)－(－2)3； (6)(－2)2×(－3)2
.
[答案] (1)－27；(2)16；(3)2.89；(4)－64
27；(5)8；(6)36.
2．用计算器计算：
(1)(－12)8； (2)1034
；
(3)7.123； (4)(－45.7)3
.
[答案] (1)429 981 696；(2)112 550 881； (3)360.944 128；(4)－95 443.993.
3．计算：(1)(－1)100×5＋(－2)4
÷4；
(2)(－3)3
－3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－134
； (3)76×⎝ ⎛⎭⎪⎫16－13×314÷35
； (4)(－10)3
＋[(－4)2
－(1－32
)×2]； (5)－23
÷49×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－232
；
(6)4＋(－2)3
×5－(－0.28)÷4. [答案] (1)9；(2)－27
127；(3)－572
； (4)－968；(5)－8；(6)－35.93.
4．用科学记数法表示下列各数：
(1)235 000 000； (2)188 520 000； (3)701 000 000 000； (4)－38 000 000.
[答案] (1)2.35×108；(2)1.8852×108
；
(3)7.01×1011；(4)－3.8×107
.
5．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
3×107，1.3×103，8.05×106，2.004×105，－1.96×104
. [答案] 30 000 000；1300；8 050 000； 200 400；－19 600.
6．用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)0.003 56(精确到0.0001)； (2)566.1235(精确到个位)； (3)3.8963(精确到0.01)； (4)0.0571(精确到千分位)．
[答案] (1)0.0036；(2)566；(3)3.90；(4)0.057. 综合运用
7．平方等于9的数是几？立方等于27的数是几？ [答案] 3或－3；3.
8．一个长方体的长、宽都是a ，高是b ，它的体积和表面积怎样计算？当a ＝2 cm ，b ＝5 cm 时，它的体积和表面积是多少？
[答案] V ＝a ×a ×b ；S ＝2(a ×b ＋a ×a ＋a ×b )．V ＝20，S ＝48.
9．地球绕太阳公转的速度约是1.1×105
km/h ，声音在空气中的传播速度约是340 m/s ，试比较两个速度的大小．
[答案] 340 km/h<1.1×105
km/h.
10．一天有8.64×104
s ，一年按365天计算，一年有多少秒(用科学记数法表示)?
[答案] 3.1536×107
秒． 拓广探索
11．(1)计算0.12，12，102，1002
.观察这些结果，底数的小数点向左(右)移动一位时，平方数小数点有什么移动规律？
(2)计算0.13，13，103，1003
.观察这些结果，底数的小数点向左(右)移动一位时，立方数小数点有什么移动规律？
(3)计算0.14，14，104，1004
.观察这些结果，底数的小数点向左(右)移动一位时，四次方数小数点有什么移动规律？
[答案] (1)0.01，1，100，10 000，向左(右)移动两位；
(2)0.001，1，1000，1 000 000，向左(右)移动三位；
(3)0.0001，1，10 000，100 000 000，向左(右)移动四位．
12．计算(－2)2，22，(－2)3，23
.联系这类具体的数的乘方，你认为当a <0时下列各式是否成立？
(1)a 2>0； (2)a 2＝(－a )2
；
(3)a 2＝－a 2； (4)a 3＝－a 3
.
[答案] 4，4，－8，8，(1)成立，(2)成立； (3)不成立；(4)不成立． P51复习题1 复习巩固
1．在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“<”号把这些数连接起来：
3．5，－3.5，0，2，－2，－1.6，－1
3，0.5.
[答案] 图略，－3.5<－2<－1.6<－1
3
<0<0.5<2<3.5.
2．已知x 是整数，并且－3<x <4，在数轴上表示x 可能取的所有数值． [答案] 如图所示：
3．设a ＝－2，b ＝－2
3，c ＝5.5，分别写出a ，b ，c 的绝对值、相反数和倒数．
[答案] 2，2，－12；23，23，－32；5.5，－5.5，2
11
.
4．互为相反数的两数的和是多少？互为倒数的两数的积是多少？
[答案] 0，1. 5．计算：
(1)－150＋250；(2)－15＋(－23)； (3)－5－65；(4)－26－(－15)； (5)－6×(－16)；(6)－1
3
×27；
(7)8÷(－16)；(8)－25÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23； (9)(－0.02)×(－20)×(－5)×4.5； (10)(－6.5)×(－2)÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13÷(－5)； (11)6＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－15－2－(－1.5)； (12)－66×4－(－2.5)÷(－0.1)；
(13)(－2)2×5－(－2)3
÷4；
(14)－(3－5)＋32
×(1－3)．
[答案] (1)100；(2)－38；(3)－70；(4)－11；(5)96；(6)－9；(7)－12；(8)752；(9)－9；(10)39
5；(11)5.3；
(12)－289；(13)22；(14)－16.
6．用四舍五入法，按括号内的要求，对下列各数取近似值： (1)245.635(精确到0.1)； (2)175.65(精确到个位)； (3)12.004(精确到百分位)； (4)6.5378(精确到0.01)．
[答案] (1)245.6；(2)176；(3)12.00； (4)6.54.
7．把下列各数用科学记数法表示： (1)100 000 000； (2)－4 500 000； (3)692 400 000 000.
[答案] (1)1×108；(2)－4.5×106
；
(3)6.924 ×1011
. 8．计算：
(1)－2－|－3|； (2)|－2－(－3)|. [答案] (1)5；(2)1. 综合运用
9．下列各数是10名学生的数学考试成绩： 82，83，78，66，95，75，56，93，82，81.
先估算他们的平均成绩，然后在此基础上计算平均成绩，由此检验你的估值能力． [答案] 平均成绩79.1分．
10.a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示. 把a ，－a ，b ，－b 按照从小到大的顺序排列，正确的是(
)
A ．－b <－a <a <b
B ．－a <－b <a <b
C ．－b <a <－a <b
D ．－b <b <－a <a [答案] C
[解析] 一对相反数在原点的两侧，并且到原点的距离相等，所以a 的相反数－a 在表示b 的点的左侧，b 的相反数－b 在表示a 的点的左侧，数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数小，所以选C.
11．某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表(盈余为正，单位：元)：
星 期 一 星 期 二 星 期 三 星 期 四 星 期 五 星 期 六
星 期 日 合 计 －27.8
－70.3
200
138.1
－8
188
458
少？
[答案] 盈，盈38元
12．当温度每上升1 ℃时，某种金属丝伸长0.002 mm.反之，当温度每下降1 ℃时，金属丝缩短0.002 mm.把15 ℃的这种金属丝加热到60 ℃，再使它冷却降温到5 ℃，金属丝的长度经历了怎样的变化？最后的长度比原长度伸长多少？
[答案] 先伸长0.09 mm ，再缩短0.11 mm ，比原长度伸长－0.02 mm.
13．一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.4960亿km ，试用科学记数法表示1个天文单位是多少千米．
[答案] 1.496×108
千米．
拓广探索
14．结合具体的数的运算，归纳有关特例，然后比较下列数的大小： (1)小于1的正数a ，a 的平方，a 的立方； (2)大于－1的负数b ，b 的平方，b 的立方． [答案] (1)a >a 的平方>a 的立方； (2)b 的平方>b 的立方>b .
15．结合具体的数，通过特例进行归纳，然后判断下列说法的对错. 认为对，说明理由；认为错，举出反例． (1)任何数都不等于它的相反数；
(2)互为相反数的两个数的同一偶数次方相等； (3)如果a 大于b ，那么a 的倒数小于b 的倒数． [答案] (1)×(零的相反数为0)；
(2)√((a )2n ＝[(a )2]n ＝[(－a )2]n ＝(－a )2n
)；
(3)×⎝
⎛⎭
⎪⎫若a >0>b ， 则1a
>0>1b .
16．用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：
1×1＝________； 11×11＝________； 111×111＝________； 1111×1111＝________．
(1)你发现了什么？
(2)不用计算器，你能直接写出
111 111 111×111 111 111的结果吗？ [答案] 1；121；12321；1234321；
(1)每单个乘数有几个1，积就从1数到几，以后在倒数回来； (2)12 345 678 987 654 321.
[当堂检测]
1. 下列属于准确数的是（ ）． A ．我国有13亿人口 B ．七年二班有49名学生
C ．我国人口的平均寿命为76岁
D ．北京到太原的距离为512km
2.【2012•西宁改编】2012年5月28日，我国《高效节能房间空气调节器惠民工程推广实施细则》出台，根据奥维咨询（AVC ）数据测算，节能补贴新政能直接带动空调终端销售1.030千亿元．那么1.030四舍五入精确到0.1的近似数是（ ） A ．1 B ．10 C ．1.0 D ．1.03
3. 对近似数：2.03万，下列说法正确的是（ ） A ．精确到百分位 B.精确到百位， C. 精确到万位 D.以上都不对。

4. 关于近似数：0.4 、0.40，下列说法： （1）0.4= 0.40， （2）0.4 ≠0.40，
（3）它们的精确度不同， （4）它们的取值范围不同. 其中正确的有（ ）
A ．一个 B.二个 C. 三个 D.四个 5. 用四舍五入法对下列各数取近似值 （1）3.9648（精确到0.1）； （2）2.50487（保留三个有效数字）. [能力培优]
专题一 利用乘方进行运算
1.计算2)32(-；2)32(-；2)32(--；322-；23
2
-.
2. 化简（－2）2013
×（2
1-）2012
3.计算： （1）32
÷
278×(－32)3；（2）－12-)32(712-⨯；（3）3
1)3(6)61(61)6(3
⨯--⨯-÷⨯-. 4. 你吃过“手拉面”吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几
次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条（假设在拉的过程中面条没有断），如图所示，这样的捏合，到第多少次后可拉出128根细面条？捏合了10次后可拉出多少根细面条？
专题二 利用乘方解决规律问题
5.（2012·呼伦贝尔）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28
=256，…通过观察，
用所发现的规律确定215
的个位数字是 .
6.观察下面的几个算式：1+2+1=4；1+2+3+2+1=9；1+2+3+4+3+2+1=16；1+2+3+4+5+4+3+2+1=25；…根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=________.
7.在数学活动中，小明为了求23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值（结果用n 表示），设计如图所示的几何图形.
（1）请你利用这个几何图形求
23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值为__________. （2）请你利用图2，再设计一个能求23411111
22222
n ++++⋅⋅⋅+的值的几何图形.
专题三 对科学记数法与近似数的考查 8. （2012·舟山）南海资源丰富，其面积约为350万平方千米，相当于我国的渤海、黄海和东海总面积的3倍．其中350万用科学记数法表示为( )
A ．0. 35×108
B ．3.5×107
C ．3.5×106
D ．35×105
9.小惠测量一根木棒的长度，由四舍五入得到的近似数为2.8米，则这根木棒的实际长度的范围是（ ） A.大于2米，小于3米 B.大于2.7米，小于2.9米 C.大于2.75米，小于2.84米 D.大于或等于2.75米，小于2.85米
10.按照括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： （1）2.604（精确到0.1）；（2）0.02695（精确到万分位）； （3）20543（精确到百位）． 11.下面是在博物馆里的一段对话
管理员：小同学，这个化石有800 002年了． 参观者：你怎么知道得这么精确？
管理员：两年前，有个考古学家参观过这里，他说这个化石有80万年了，现在，两年过去了，所以是800 002年。

管理员的推断对吗？为什么？ 专题四 考查非负数的性质
12.若2
2
(3)0,x y +-=则x +y = .
1
2
2
1231241
2
图1
图2
13.已知42(5)0,x y -+-=则x
y = .
知识要点：
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的正整数次幂都是0.
2.有理数的混合运算顺序：
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
4.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n
a ⨯的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数）. 5.一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些),这个数称之为近似数. 6.精确度：近似数与准确数的接近程度. 温馨提示：
1.分数、负数的底数要用小括号括起来.
2.n
a 的底数是a ，指数是n ，读作a 的n 次幂.
n a -的底数是a ，指数是n ，读作a 的n 次幂的相反数. ()n a -的底数是-a ，指数是n ，读作－a 的n 次幂.
3.个位的右边是十分位，不要说成十位；同样十分位的右边是百分位，不要说成百位.
4.对比较大的数近似时，常用科学记数法表示出这个数，然后再取近似值. 方法技巧：
1.用科学记数法表示一个数时，n =原数整数数位－1.
2.4
10是1万，8
10是1亿.
3.若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
4.阅读理解型题目的解题步骤： （1）仔细阅读材料；
（2）根据问题迅速搜索“信息区”；
（3）对信息进行仔细地分析辨别，去伪存真、去粗留精； （4）经过组合、抽象概括、提炼，得出相关结论． 答案:
1.解析:2
)32
(-＝94)32()3
2(=
-⨯-；2)32(-＝9
4
)3232(-=⨯-；
2)32(--＝94)32()3
2(-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯--;322-=()342231-=⨯⨯-;9231312322-=⎪⎭⎫
⎝⎛⨯⨯-=-.
2.原式＝44484447644484447620122013
)2
1
()21()21()2()2()2(-⋅⋅⋅⋅-⨯-⨯-⋅⋅⋅⋅-⨯-
＝)2()2
1
)(2()21)(2)(21)(2(2012-⨯
------444448
4444476Λ＝－2.
3.解析：（1）原式 =9÷278×(－278)=－9×(827×27
8
)=－9；
（2）原式=－1－1
2-97
⨯（）
=－1+1=0； （3）原式=－1×(－6)×6－(－27)×3
1
=36+9=45.
4.解析：设第n 次捏合后有128根面条，则2n
=128=27
，因此n =7；捏合10次后有210
=1024根细面条．答：捏合7次后有128根细面条．捏合10次后有1024根细面条．
5. 8 解析:观察可得规律:2n 的个位数字每4次一循环.∵15÷4=3…3,∴215
的个位数字是8．
6. 10000或1002
解析：观察发现，每个等式的左边数字个数为奇数，且这些数字都关于中间数左右对称，等号
右边的数字是一个完全平方数，且恰好是左边中间数的平方，因此1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=10000或1002
. 7.解析：（1）1
12
n -
. （2）答案不唯一，如图1或如图2或如图3或如图4等.
]
8. C 解析: 350万=350×10000=3500000=3.5×106
． 9. D 解析：当原数的十分位是7时，则百分位上的数一定大于或等于5；当原数的十分位上的数字是8时，百分位上的数字一定小于5．因而这根木棒的实际长度的范围是大于或等于2.75米，小于2.85米．
10.解析：（1）2.604≈2.6；（2）0.02695≈0.0270；（3）20543≈2.05×104
．
11.解析：管理员的推断不对，因为考古一般只能测出一个大概的年限，考古学家说的80万年，只不过是一个近似数而已，管理员却把它看成是一个精确的数字，真是大错特错了． 12. 3 解析：由题意得x =0，y －3=0，所以y =3.故x +y =3.
13. 25 解析：由题意得x -2=0，y -5=0，解得x =2，y =5.所以2
525x
y ==.
参考答案： １. B 2. C 3. B 4. C
5.（1）4.0 （2）2.50
生活需要近似值
如果有人问你：“今年几岁了？”你回答说：“我15岁了。

”这个回答是正确的，但是并不精确。

假若你的朋友也是15岁，要比较你们两人年龄的大小，就得知道你们生在哪一月，也就是说，应该知道你们的年龄是15
121212122122122122
123123
12312312412412⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
.... 岁零几个月。

如果你们两人都生在十月份，那么必须准确地知道你们的生日，也就是应该把年龄准确到15岁零几个月又几天，才能分出你们两人谁大一点。

至于一对双生兄弟，那么哥哥的年龄只比弟弟大几小时成几分钟，要比较他们的年龄就非要准确到几岁几月几天零几小时几分不可了。

大家知道一分钟可以分为60秒，一秒钟还可以再分成1000毫秒，而且可以无限地分下去。

然后我们的年龄完全没有必要这样准确，平常只要说出一个近似值——几岁就可以了。

但是在许多科学问题上，就必须把时间搞得很准确。

我们在收音机里每隔一点钟就听到的“嘟嘟嘟……嘟”的报时讯号，它比真正准确的时间只差千分之几秒。

远洋航行的轮船就根据这个讯号确定自己的位置。

原子物理学中提到一种“超子”的寿命只有10-20秒，那真是短得不得了，当然要弄清它的年龄就要准确到10-20秒才行。

普通我们说的时刻，都是近似的，有的准确些，有的粗略些。

至于究竟应该准确到什么程度，那就看实际问题的需要了。

把精确度定得过高，会增加工作中的困难。

把人的年龄准确到几秒，完全没有这个必要；但把“超子”的年龄只准确到秒，就不能测出它的真正寿命。

所以在各种不同问题中，量的准确度的选择是不相同的。

大家不妨想想看，量布与测量精密仪器的零件所要求的“长度”的准确度需要一样吗？
精品。