2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高二下学期3月联考数学(文)试题(解析版)

2020-2021学年全国百强名校“领军考试”高二下学期3月联
考数学（文）试题
一、单选题
1．已知6
4i 1i
z =+，则z 的共轭复数z =（ ）
A ．22i +
B ．22i -
C ．22i --
D ．22i -+
【答案】C
【分析】运用复数的运算法则进行复数的运算求出复数z ，然后再求复数的共轭复数.
【详解】
()()()641i 4i 4
22i 1i 1i 1i 1i z ---====-++++-，故22i z =--. 故选：C.
2．如图是某校老师给学生列出的影响学习的因素，由图可知，促进学习进步的因素有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【分析】根据给定的结构结构图，即可求解.
【详解】根据给定的结构结构图，可得促进学习进步的因素共有4个. 故选：D.
3．用反证法证明：若实数a ，b ，c 满足3a b c ++>，则a ，b ，c 至少有1个大于1.则反证假设为（ ） A ．a ，b ，c 都小于1 B ．1a ≤，1b ≤，且1c ≤ C ．1a ≤，或1b ≤，或1c ≤ D ．a ，b ，c 都不小于1
【答案】B
【分析】根据反证法的直接写出即可.
【详解】反证法的假设是结论的否定，即：1a ≤，1b ≤，且1c ≤. 故选：B
4．如果散点图上n 个点(),(1,2,3,,)i i x y i n =⋅⋅⋅都落在直线32y x =--上，则由这n 个点可得相关系数r 的值为（ ） A ．-2 B ．0
C ．1
D ．-1
【答案】D
【分析】依题意可知这组样本数据完全负相关，进而可知其相关系数1r =-.
【详解】由散点图上所有的点都落在直线上可知1r =±，又直线的斜率为-3，故1r =-.
故选：D.
5．1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和.但是哥德巴赫自己无法证明它，于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明，然而一直到死，欧拉也无法证明.根据哥德巴赫猜想的结论：①若哥德巴赫猜想正确，则当时规定的“1”是质数；②若按现在规定，“1”不是质数，则这个猜想不成立；
③哥德巴赫猜想中的三个质数互不相等；④哥德巴赫猜想中的三个质数可以都相等.其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据题设中的定义，可通过实例，即可做出判定，得到答案.
【详解】根据哥德巴赫猜想，3111
=++，故“1”是质数，所以①②正确；
根据哥德巴赫猜想，9333
=++，故哥德巴赫猜想中的三个质数可以相等，
所以③错误，④正确.
故选：C.
6．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号携带在月球采集的样品1731克成功返回地面，某大学为了解大家对这一重大事件的关注程度，随机抽取了一部分学生进行调查，得到如下数据：
参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，
参考数据
由所给数据可知，下列结论正确的是（）
A．有99.9%以上的把握认为是否关注这一重大事件与性别有关B．有99.9%以上的把握认为是否关注嫦娥五号与性别无关
C ．在犯错误不超过0.001的情况下可以认为是否关注这一重大事件与性别无关
D ．2K 的观测值12k > 【答案】A
【分析】根据22⨯列联表计算2K 的值，把2K 的值与参考数据进行比较即可得出答案. 【详解】由条件可得
K 22
2
()1800(700300500300)11.2510.828()()()()12006008001000
n ad bc a b c d a c b d -⨯⨯-⨯=
==>++++⨯⨯⨯， 故有99.9%以上的把握认为是否关注嫦娥五号与性别有关. 故选：A.
7．由数据()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，…，()1010,x y 可得y 关于x 的回归直线方程为
27.4y x =-+，若101
6i i y ==∑，则10
1
i i x ==∑（ ）
A ．12
B ．32
C ．34
D ．36
【答案】C
【分析】根据线性回归直线必过样本点中心()
,x y 即可求出.
【详解】由10
i i=16y =∑可得0.6y =，把()
,x y 代入回归直线方程可得0.627.4x =-+，故
3.4x =，故10
1
1034i i x x ===∑.
故选：C.
8．古装历史电视剧《大秦赋》在2020年12月份播出后，受到了热议.在观看过该剧的
A ，
B ，
C ，
D ，
E ，
F 六位老师中只有一人给出了差评.教师甲猜测：D 或E 给出了
差评；教师乙猜测：C 不可能给出差评；教师丙猜测：A ，B ，F 中的某人给出了差评；教师丁猜测：D ，E ，F 都不可能给出差评.若甲、乙、丙、丁只有1人猜对，则猜对的老师是（ ） A ．甲 B ．乙
C ．丙
D ．丁
【答案】D
【分析】分别讨论甲、乙、丙猜对，由题设推导可得选项. 【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错； 若乙猜对，则丙也猜对，与题意不符，故乙也猜错； 若丙猜对，则乙也猜对，与题意不符合，故丙猜错；
因为甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，所以，猜对的老师为丁. 故选：D.
9．现实生活中有一些情况与著名的斐波那契数列类似，比如上台阶的方式，每次上一
阶或二阶，若台阶数为n ，则上台阶的不同走法构成数列{}n a 满足11(1)n n n a a a n +-=+>，据此推断，当台阶数为10时，上台阶的方法数为（ ） A ．45 B ．55 C ．89 D ．144
【答案】C
【分析】由已知条件可得数列{}n a 的各项依次为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，...，从而可求得答案
【详解】当1n =时，上台阶的方法数11a =，当台阶数为2时，上台阶的方法数22a =，由11(1)n n n a a a n +-=+>可得数列{}n a 的各项依次为：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，...，即1089a =，故当台阶数为10时，上台阶的方法数为89. 故选：C
10．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为ab π（其中a ，b 分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14），已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为（ ） A ．0.41平方米 B ．0.32平方米 C ．0.22平方米 D ．0.12平方米
【答案】C
【分析】根据已知条件求得观众区的面积，由此可得观众区每个座位所占面积. 【详解】由条件可得，竞技场的总面积为188156
733222
ππ⨯⨯=平方米，表演区的面积为8654
116122
ππ⨯
⨯=， 故观众区的面积为733211616171πππ-=平方米，故观众区每个座位所占面积为61716171 3.14
0.229000090000
π⨯≈≈平方米. 故选：C.
11．已知复数z 满足|43i |1z --=，且z 的共轭复数为z ，则z z ⋅的最大值为（ ） A ．36 B ．25
C ．6
D ．5
【答案】A
【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，根据复数的模的运算得22(4)(3)1x y -+-=，即点(,)x y 在以(4,3)为圆心，1为半径的圆上，再由复数的乘法运算得出z z ⋅表示点(,)x y 到原点O 的距离的平方，由此可得选项.
【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，由|43i |1z --=可得|(4)(3)i |1x y -+-=， 故22(4)(3)1x y -+-=，即点(,)x y 在以(4,3)为圆心，1为半径的圆上， 而22(i)(i)z z x y x y x y ⋅=+-=+表示点(,)x y 到原点O
的距离的平方，故最大值为
)
2
136=.
故选：A.
12．某企业生产一种新产品，其每件产品的非物料平均成本y （单位：元）与生产该产品的数量x （单位：千件）有关，经统计得到下列一组数据：
观察其散点图可知，b
y a x
=+
适宜作为每件产品的非物料成本y 与产量x 的回归方程类型.若每件产品的成本=物料成本+非物料成本，其中每件产品的物料成本固定为48元.根据回归方程预测：若要使每件产品的总成本不高于68.54元，最少应生产这种产品（计算结果保留三位小数）数量约为（ ） 参考公式与数据如下：
对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，...，(),n n u v ，其回归直线方程为v u βα=+，利用最小
二乘法估计可得1
2
21
n
i i i n
i i u v nuv
u nu
β==-=
-∑∑，v u αβ=-.参考数据（其中1i i
u x =
） A ．8.246千件 B ．9.282千件
C ．10.133千件
D ．11.266千件
【答案】C 【分析】设1
u x
=
，则非物料成本y 关于u 的回归方程为y u αβ=+，然后由已知条件利用最小二乘法求得10.54101.33y u =+，从而可得101.33
10.54y x
=+，再解不等式101.33
10.544868.54x
+
+≤可得答案 【详解】设1
u x
=
，则非物料成本y 关于u 的回归方程为y u αβ=+. 由条件可得45y =，8n =，
于是12
21
183.480.3445
101.331.5380.116
n
i i
i n i i u y
nuy
u nu
β==--⨯⨯=
=
≈-⨯-∑∑，
10.54y u αβ=-≈，10.54101.33y u ∴=+，
即y 关于x 的回归方程为101.33
10.54y x
=+； 由101.33
10.544868.54x
++≤可得10.133x ≥，所以，至少生产该产品10.133千件. 故选：C 二、填空题
13．已知复数2(1)()z a a i a R =+-∈对应复平面内的点在第一象限，则z 的取值范围是______. 【答案】(2,)+∞
【分析】由复数z 对应复平面内的点在第一象限得出1a >，再结合模长公式得出z 的取值范围.
【详解】由点z 对应复平面内的点在第一象限可得20
10a a >⎧⎨->⎩，即1a >
||2z ===>.
故答案为：(2,)+∞
14．已知回归直线方程1y x =-，试验得到一组数据为(1,0.1)，(3,1.8)，(6,4.2)，(8,6.6)，则由这组数据可得残差的平方和为______. 【答案】0.85
【分析】直接计算残差平方和即可.
【详解】1x =时，0y =；3x =时，2y =；
6x =时，5y =；8x =时，7y =，故残差的平方和为
2222(0.10)(1.82)(4.25)(6.67)0.85-+-+-+-=.
故答案为：0.85.
15．
已知a =
2b =lg4c =，则a 、b 、c 从小到大的顺序排列为______. 【答案】b a c <<
【分析】本题首先可根据2
2
0a b ->得出a b >，然后根据2
2102a ⎫
⎛-> ⎪⎝⎭
得出12a <，最后
根据1
2
c >
即可得出结果.
【详解】(
((2
2
22255a b -=-=---=
因为((
2
2
4824240-=-=>，0a >，0b >，
所以>22a b >，a b >，
2
2
2
1111919
524444
a ⎫⎛-=-=
-+=
⎪
⎝⎭，
因为(2
2
19230-=>，所以(2
2
190>>，2
2102a ⎫
⎛-> ⎪⎝⎭
，12a <，
因为1
lg42
c =>=，所以b a c <<， 故答案为：b a c <<.
16．若把正偶数按从小到大依次排列构成一个数列，该数列具有一个有趣的性质：
246+=；
810121416++=+；
18202224262830+++=++；
…….
按照这样的规律，若等式右边含有2020，则等式右边最大的偶数为______. 【答案】2046
【分析】根据题设中式子的结构，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由所给等式可得，第一行共有3个正偶数；第二行共有5个正偶数； 依次类推，每一行正偶数的个数构成等差数列，2020是第1010个正偶数， 又由(24)
35(21)(2)2
n n n n n +++⋅⋅⋅++=
=+， 当30n =时，(2)9601010n n +=<， 当31n =时，(2)10231010n n +=>，
故2020在第31行，左边的最小正偶数为96121922⨯=，
该行共有312163⨯+=个正偶数，故等式右边最大的正偶数为19226222046+⨯=. 故答案为：2046. 三、解答题
17．已知复数z 的共轭复数为z ，且4i
2i z z
+=-. （1）求z ；
（2）若z m z z +<⋅，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）1i -+；（2
）(1.
【分析】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，求其共轭复数，再复数相等的条件建立方程组，解之可求得答案.
（2）由已知建立不等式，解之可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）设i(,)z a b a b R =+∈，则i z a b =-， 由
4i
2i z z
+=-可得4i (2i)z z +=-，即(4)i (2i)(i)a b a b +-=-+， 即(4)i (2)(2)i a b a b b a +-=++-，故242a a b
b b a =+⎧⎨-=-⎩
，解得1a =-，1b =，
1i z ∴=-+；
（2）由1i z =-+可得1i z =--，(1i)(1i)2z z ∴⋅=-+--=， 由||z m z z +<⋅可得|(1)i |2m -++<
2， 即2(1)3m -+<
，故11m -<+， 即实数m
的取值范围为(1.
18．由于疫情防控得力，我国经济在2020年逐步复苏，直播带货受到了更多消费者的欢迎.某地为了销售本地的农产品，尝试利用直播带货进行销售，已知最近5天直播总时长x （即所有主播的直播时长之和，单位：小时）与带货销售额y 的数据如下：
（1）请计算相关系数r ，并判断y 与x 相关性的强弱. （2）求y 关于x 的回归方程y bx a =+.
（3）若每位主播每天直播时间不超过5小时，要使每天的带货销售额超过50万元，至少请几位主播进行直播?
参考公式：()()()11
2221
1
ˆˆˆn
n
i i i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b x x x
nx a
y bx ====⎧
---⎪
⎪==⎪⎨--⎪⎪
=-⎪⎩∑∑∑∑
参考公式：相关系数()()
n
n
i
i i i
x
x y y
x y
nx y
r ---=
=
∑∑
30.2≈.
【答案】（1）0.993，有较强的相关性；（2）1515
1313
y x =
+；（3）9位. 【分析】（1）直接代入公式计算可得0.9930.75r ≈>，因此y 与x 有较强的相关性； （2）代入公式可得b ，a ，进而可得回归方程； （3）由50y >可得结果. 【详解】（1）由条件可得68121618125x ++++=
=，810161922155
y ++++==，
(
)
5
2
1
492511649140i i y y
=-=++++
=∑，
故0.9930.75r =
=≈>，故y 与x 有较强的相关性.
（2）52
1
3664144256324824i i x ==++++=∑，
2
1020512151201582451210413b -⨯⨯∴=
==-⨯，15
13
a y bx =-=， 15151313
y x ∴=
+； （3）由1515
501313
y x =+>可得42.3x >， 因为
42.3
8.465
=，所以至少要请9位主播进行直播. 19．已知实数a ，b ，c 满足20a b c ++=. （
1）若a b c
>>，求证：2b a >-；
（
2）若a =b =a c >. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）用反证法证明，得到
20a b +>
与20a b +≤矛盾，即可证明； （2
）由a =b =c ，利用综合法即可证明. 【详解】（1）假设2b a ≤-，即20a b +≤， 由20a b c ++=可得(2)0c a b =-+≥，
a b c >>，0a ∴>，0b >，则20a b +>，
与20a b +≤矛盾，故假设不成立，
2b a ∴>-；
（2）由a =b =20a b c ++=
可得2c a b =--=-=
且((
22
241860-=-=>， ((2
2
0∴>>，∴>
0a c ∴-=>，a c ∴>.
20．已知复数x 满足210x x ++=. （1）求证：31x =；
（2）若x 的虚部为正数，求x ，2x ，3x ，4x ，根据()n x n N ∈的规律，求出2021x 的值（不需要证明）.
【答案】（1）证明见解析；（2）12x =-；212x =-，31x =，412x =-，
202112x =-.
【分析】（1）由210x x ++=可得()2
(1)10x x x -++=，从而可得31x =；
（2）由210x x ++=可得12x =-，而2111122x x =--=-=-，31x =，
4312x x x x =⋅==-+，由此可得()n
x n N ∈以3为周期进行循环，从而可求出求出
2021x 的值
【详解】（1）证明：因为210x x ++=，
所以()2
(1)10x x x -++=，
所以310x -=，即31x =；
（2）由210x x ++=可得12x =
=-，
x 的虚部为正数，12
x ∴=-；
2111122x x ∴=--=
-=-，31x =，
4312x x x x =⋅==-+.
()n x n N ∴∈以3为周期进行循环.
202136732212x x x ⨯+∴===-.
21．进入2020年冬季以来，猪肉价格出现了一定的回落，在这种情况下，某单位对其320名员工进行了问卷调查，其中男职工有200人，得到每周购买猪肉的花费情况如下：
女职工中每周购买猪肉的花费不低于30元者占1
3
.若每周购买猪肉的花费低于30元者
视为“不喜欢吃肉”，否则视为“喜欢吃肉”
（1）若以每组数据的中点代替该组数据，求该单位男职工购买猪肉花费的平均数；（2）①请根据条件填写下列的22
⨯列联表；
②分析是否有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关?
参考公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
.
参考数据
【答案】（1）29.2；（2）①列联表见解析；②有把握.
【分析】（1）根据平均数公式计算可得；
（2）①根据频率分布直方图求出男职工、女职工中喜欢吃肉的人数，即可得到22
⨯列联表；
②计算出2
K，再与参考值比较，即可得出结论；
【详解】（1）由题意，该单位男职工购买猪肉花费的平均数为：
29.2
=（元）；
（2）①根据频率分布直方图可知，男职工中喜欢吃肉的人数为
200(0.0250.0200.005)10100
⨯++⨯=，
女职工喜欢吃猪肉的人数为
1
12040
⨯=，列联表如下：
②由条件可得，2
()320(1008040100)()()()()140180200120
n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯
8.4667.879≈>，
所以，有99.5%以上的把握认为该公司的职工是否喜欢吃肉与性别有关.
22．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>上有三点,,A B C ，且,,AB BC AC 的中点分别为
,,D E F ，设直线,,OD OE OF 的斜率都存在，分别记为123,,k k k ，且1231k k k ++=，直线,,AB BC AC 的斜率都存在，分别记为,,AB BC AC k k k ，
（1）求证
22
111AB BC AC a k k k b ++=； （2）类比（1）中结论，写出椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>中类似的结论，并证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）
22111AB BC AC a k k k b
++=-，证明见解析. 【分析】（1）利用点差法可求得2
12AB b k k a
⋅=，同理可得2221 BC b k a k =⋅，2321AC b k a k =⋅，结
合1231k k k ++=整理可得结果；
（2）采用类比推理可得结论，利用点差法可求得2121
AB b k a k =-⋅，同理可得2221BC
b k a k =-⋅，
2321
AC b k a k =-⋅，结合1231k k k ++=整理可证得结论.
【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，
代入双曲线方程可得22
112222
2222
11
x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，相减可得：1221222222
0x x y y a b ---= 即
()()()()121212122
2
0x x x x y y y y a b +-+--=，21212
2
1212
y y y y b a x x x x -+∴=
⋅-+， 即2
12AB b k k a ⋅=，即2121AB b k a k =⋅；同理可得：2221 BC b k a k =⋅，2321AC b k a k =⋅
. 由1231k k k ++=可得：221111AB BC AC b a k k k ⎫⎛++=⎪ ⎝⎭，2
2
111AB BC AC a k k k b ∴
++=；
（2）类比结论为：已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>有三点,,A B C ，且,,AB BC AC 的中点
分别为,,D E F ，设直线,,OD OE OF 的斜率都存在，分别记为123,,k k k ，且1231k k k ++=，
直线,,AB BC AC 的斜率都存在，分别记为,,AB BC AC k k k ，则
2
2111AB BC AC a k k k b
++=-. 证明如下：
设()11,A x y ，()22,B x y ，
代入椭圆方程可得22
112222
2222
11
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减可得：1221222222
0x x y y a b --+=， 即()()()()121212122
2
0x x x x y y y y a b +-+-+=，21212
2
1212
y y y y b a x x x x -+∴-
=
⋅-+， 即2
12AB b k k a
⋅=-，即2121AB b k a k =-⋅；同理可得：2221BC b k a k =-⋅，2321AC b k a k =-⋅
. 由1231k k k ++=可得：221111AB BC AC b a k k k ⎫⎛-++=⎪ ⎝⎭
，2
2111AB BC AC a k k k b ∴
++=-.。