高中数学三角函数专题复习[内附类型题以和历年高考真题-附答案解析]

三角函数知识点与常见习题类型解法
1. 任意角的三角函数：
（1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。

（2） 扇形的面积公式：lR S 2
1
=
R 为圆弧的半径，l 为弧长。

（3） 同角三角函数关系式：
①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a a a cos sin tan =
， a
a
a sin cos cot = ③平方关系：1cos sin 22=+a a
（4）
2.两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：
βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±
β
β
βtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=
± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．． （2）二倍角公式：
a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a
a
a
a 2tan 1tan 22tan -=
从二倍角的余弦公式里面可得出
降幂公式：22cos 1cos 2a a += ， 2
2cos 1sin 2a
a -=
（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：
2cos 12sin
a
a -±=，2cos 12cos a a +±= ，a
a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=+=+-±= 3.
4.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） （1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π
2=
T
（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ω
π
=
T （3） 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、
2
π、π、23π、π2来求相应x 的值以
及对应的y 值再描点作图。

（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。

切记每一个变换总是对字
母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

（附上函数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）
②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）
函数的伸缩变换：
①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w
1
倍（1>w 缩短， 10<<w 伸长）
②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10<<A 缩短） 函数的对称变换：
①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像绕y 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）
②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像绕x 轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）
③)()(x f y x f y =→= 将)(x f y =图像在y 轴右侧保留，并把右侧图像绕y 轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④)()(x f y x f y =→=保留)(x f y =在x 轴上方图像，x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动） 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2
θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2
x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
β
α+－
2
β
α-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=2
2
b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=
a
b
确定。

1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==
x
x
x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 2
2x x x x 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求
)
330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(
----的值．
解：原式
)
30360cos()150sin()30720tan()
120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-=
.3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=
3．若
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x ，求sin x cos x 的值．
解：法一：因为
,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，
得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2
x =1，联立方程组，解得
，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10
103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-
=103
cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x
x x
x
所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，
所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2
， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-
=10
3cos sin x x 4．求证：tan 2
x ·sin 2
x =tan 2
x －sin 2
x ．
证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2
x ，问题得证．
法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2
x ，问题得证． 5．求函数)6
π
2sin(2+
=x y 在区间[0，上的值域．
解：因为0≤x ≤2π，所以,6
π
76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈[－1，2]．
6．求下列函数的值域．
(1)y ＝sin 2
x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )．
解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2
x ＋cos x )＋3，
令t =cos x ，则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2
－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，
)4π
sin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,4
5[+-∈y
7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是
4
1
个周期，这样求得
44
=T ，T =16，所以⋅=8πω
又由)28π
sin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4
π
8πsin(2.4
π+=
∴=x y ϕ
8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4
x ．
(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2
π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域．
解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4
x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2
x －sin 2
x )(cos 2
x ＋sin 2
x )－sin2x )4
π
2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x
所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8
π
3=x 时，
f (x )取最小值为.2-
1． 已知2tan =
θ，求（1）
θθθ
θsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.
解：（1）
2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθ
θθθθθθθ； (2) θ
+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ22222
2cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin
3
2
4122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θ
θ+θθ
-θθ=.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

2． 求函数2
1sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域。

解：设sin cos )[4
π
t x x x =+=
+∈，则原函数可化为
2213
1()24
y t t t =++=++
，因为[t ∈，所以
当t =
时，max 3y =12t =-时，min 3
4
y =，
所以，函数的值域为3
[34
y ∈，。

3．已知函数2
()4sin 2sin 22f x x x x R =+-∈，。

（1）求()f x 的最小正周期、()f x 的最大值及此时x 的集合；
（2）证明：函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-
对称。

解：2
2
()4sin 2sin 222sin 2(12sin )f x x x x x =+-=--
2sin 22cos 2)4
πx x x =-=- (1)所以()f x 的最小正周期T π=，因为x R ∈，
所以，当2242ππx k π-
=+，即38
π
x k π=+时，()f x 最大值为 (2)证明：欲证明函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称，只要证明对任意x R ∈，有
()()
88
ππ
f x f x --=-+成立，
因为())]2)28842ππππ
f x x x x --=---=--=-，
())]2)28842ππππ
f x x x x -+=-+-=-+=-，
所以()()88ππf x f x --=-+成立，从而函数()f x 的图像关于直线8
π
x =-对称。

4． 已知函数y=2
1cos 2
x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,
（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：（1）y=
21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2
x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1
=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+4
5
=21sin(2x+6π)+4
5 所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6
π
+k π,（k ∈Z ）。

所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6
π
+k π,k ∈Z}
（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：
（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6
π
)的图像； （ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π
)的图像；
（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6
π
)的
图像；
（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+4
5
的图像。

综上得到y=
2
1cos 2
x+23sinxcosx+1的图像。

历年高考综合题
一，选择题
1.2
(sin cos )1y x x =--是 （ ） A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为π的奇函数
2.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin y x =的图像（ ） A ．向左平移
π
6个长度单位 B ．向右平移
π
6个长度单位 C ．向左平移5π
6个长度单位
D ．向右平移5π
6
个长度单位
3.若sin 0α<且tan 0α>是，则α是 （ ） A ．第一象限角
B ． 第二象限角
C ． 第三象限角
D ． 第四象限角
4.函数x x x f cos sin )(-=的最大值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．2
5.函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是 （ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
6.函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2
π
个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 ( )
A.-sin x
B.sin x
C.-cos x
D.cos x 7.已知函数2
()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ）
A 、最小正周期为π的奇函数
B 、最小正周期为
2π
的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2
π
的偶函数
8.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为 （ ）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32
D. －2，
32
9.将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移
3
π
个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,
1x π=则θ的一个可能取值是 （ ） A.
512π B.512π- C.11
12
π D.1112π-
10.函数sin ()sin 2sin
2
x f x x
x =
+是 （ ）
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
11.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为 （ ） A ．1
B
C
D ．2
12.
已知πcos sin 6αα⎛⎫-
+= ⎪⎝
⎭7πsin 6α⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值是（ ）
A
． B
C ．45-
D ．45
13.sin330︒等于 （ ） A
．-
B ．12-
C ．12
D
14.()2
tan cot cos x x x += ( ) Ａ.tan x Ｂ.sin x Ｃ.cos x Ｄ.cot x 15.把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （ ） A ．sin 23y x x π⎛⎫
=-
∈ ⎪⎝⎭
R ， B ．sin 26x y x π⎛⎫
=+∈
⎪⎝⎭
R ， C ．sin 23y x x π⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
R ， D ．sin 23y x x 2π⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
R ， 16.设5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，则 （ ） A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
17.函数2
(sin cos )1y x x =++的最小正周期是 （ ） A.
2
π
B .π C.32π D.2π
18.在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线2
1
=y 的交点个数是
（ ）
A.0
B.1
C.2
D.4 二，填空题
19.若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 20.()cos 6f x x πω⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为
5
π
，其中0ω>，则ω= ． 21.设02x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ．
22.若3
sin(
)25
π
θ+=，则cos2θ=_________。

23.函数f (x )＝3sin x +sin(π
2+x )的最大值是
三，解答题
24.求函数24
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。

25.已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0ω>）
的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
26.已知函数2
2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 27.已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域
28. 已知函数2()2sin cos 444
x x x
f x =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令π()3g x f x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，判断函数()g x 的奇偶性，并说明理由．
1.D
2.C
3.C
4.B
5.B
6.A
7.D
8.C
9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 19.
34 20. 10 21.3 22. 25
7- 23.2 24. 解：2
4
74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-
()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+
()2
1sin 26x =-+
由于函数()2
16z u =-+在[]11-，中的最大值为
()2
max 11610z =--+= 最小值为
()2
min 1166z =-+=
故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值； 【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
25. 解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=
+11
2cos 2222
x x ωω=-+
π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭≤≤，
因此π130sin 2622x ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，． 26. 解： ()242sin 224sin 2cos 4cos 2sin 22
2cos 2sin 12sin 2
2cos 12+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=++=+++⋅=πωπωπωωωωωx x x x x x x x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2
π，可得222πωπ=，所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=πx x f ． 当ππ
π
k x 2244+=+，即()Z k k x ∈+=216ππ时，⎪⎭⎫ ⎝
⎛+44sin πx 取得最大值1，所以函数()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,216|ππ 27. 解：（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+
221cos 22sin cos 2x x x x =++-
1cos 22cos 222x x x =
+- sin(2)6x π=- 2T 2ππ==周期∴ （2）5[,],2[,]122636
x x πππππ∈-∴-∈- 因为()sin(2)6f x x π
=-
在区间[,]123ππ-上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减， 所以 当
3x π=时，()f x 取最大值 1
又 1()()1222f f π
π-=<=，∴
当12
x π=-时，()f x 取最小值
所以 函数 ()f x 在区间[,]122ππ
-
上的值域为[ 28. 解：（Ⅰ）()f
x sin 22x x =π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ()f x ∴的最小正周期2π4π1
2
T ==． 当πsin 123x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 取得最小值2-；当πsin 123x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
时，()f x 取得最大值2． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()2sin 23x f x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭．又π()3g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴1ππ()2sin 233g x x ⎡⎤⎛
⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
2cos 2x =． ()2cos 2cos ()22x x g x g x ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭
． ∴函数()g x 是偶函数．。