中考数学第七单元图形的变换第31课时图形的对称、平移与旋转

[解析] 在 Rt△ABC 中,
好在 CB 的延长线上,则图中阴影部分的面积为
.(结果保 ∠ACB=90°,AB=4,BC=2,所以∠
c
ABC=60°,因此∠ABA'=120°,经过割补,
留 π)
不难发现:阴影的面积=大扇形的面积120π×42 120π×22
小扇形的面积=
应填:4π.
图 31-19
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轴对称图形(túxí
ng)
第七页，共二十八页。
课前双基巩固
（续表）
垂直平分
相等(xiāngděng)
对称轴
全等
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第八页，共二十八页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)三
中心对称
1.[2018·深圳] 观察下列图形,是中心对称图形的是
(
D
)
图 31-5
2.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是 (
考点(kǎo diǎn)二 轴对称与轴对称图形
1.下列图案属于轴对称图形的是
(
A
)
图 31-3
2.[2018·广州] 如图 31-4 所示的五角星是轴对称图形,它的对称轴共有 ( C )
图 31-4
A.1 条
2021/12/9
B.3 条
C.5 条
D.无数条
第六页，共二十八页。
课前双基巩固
知识梳理
重合(chónghé)
(3)在图③中,画出△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后的三角形.
图 31-13
2021/12/9
第十九页，共二十八页。
高频考向探究
例 3 [2018·枣庄] 如图 31-13,在 4×4 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)在图①中,画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形;
,这个定点称
旋转变换
高频考向探究
探究(tànjiū)一 图形的折叠与轴对称
例 1 [2018·天津] 如图 31-8,将一个三角形纸片 ABC 沿过点 B 的
[答案] D
直线折叠,使点 C 落在 AB 边上的点 E 处,折痕为 BD,则下列结论
[解析] 由折叠前后的不变性,可知
一定正确的是
CB=EB,∴AE+CB=AE+EB=AB.故选 D.
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第十八页，共二十八页。
3
3
高频考向探究
探究三 图形(túxíng)的对称、平移与旋转的作图
例 3 [2018·枣庄] 如图 31-13,在 4×4 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上.
(1)在图①中,画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形;
(2)在图②中,画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形;
图 31-13
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第二十页，共二十八页。
高频考向探究
例 3 [2018·枣庄] 如图 31-13,在 4×4 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上.
(2)在图②中,画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形;
图 31-13
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第二十一页，共二十八页。
3
2.[2018·潍坊] 如图 31-12,正方形 ABCD 的边长为 1,点 A 与原点
[答案] (-1, )
重合,点 B 在 y 轴的正半轴上,点 D 在 x 轴的负半轴上,将正方形
[解析] 连结 AM, 在 Rt△AB'M 和
ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°至正方形 AB'C'D'的位置,B'C'与
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B.γ=α+2β
C.γ=α+β
∴γ=α+α+β=2α+β.
D.γ=180°-α-β
第十四页，共二十八页。
高频考向探究
探究(tànjiū)二
图形的旋转
例 2 [2018·乐山] 如图 31-10,△OAC 的顶点 O 在坐标原点,OA 边在 x 轴上,OA=2,AC=1,把△OAC 绕点 A 按顺
Rt△ADM 中,AB'=AD,AM=AM,
CD 相交于点 M,则点 M 的坐标为
∴Rt△AB'M≌Rt△ADM. ∴∠DAM=
.
3
∠B'AM=
90°-30°
c
2

=30°. 在 Rt△ADM 中,tan30°=
3
3

,
3
∴DM=AD·tan30°=1× = .∴M(-1, ).
3
图 31-12
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第二十六页，共二十八页。
360
-
360
=4π,故
当堂效果检测
5.[2018·威海] 如图 31-20,将矩形 ABCD(纸片)折叠,使点 B 与 AD 边上的点 K 重合,EG 为折痕;点 C 与 AD
边上的点 K 重合,FH 为折痕,已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF= 3+1.求 BC 的长.
)
c ,∠ACE=90°,
则∠ECD=∠ACB=20°
EC=AC,
∴∠E=45°,∴∠ADC=65°.故选 C.
图 31-7
A.55°
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B.60°
C.65°
D.70°
第十一页，共二十八页。
课前双基巩固
知识梳理
1.定义
如果一个图形(túxí
ng)绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形变换称为
第十页，共二十八页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)四
图形的旋转
[2018·金华] 如图 31-7,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC. [答案] C
若点 A,D,E 在同一条直线上,∠ACB=20°,则∠ADC 的度数是
[解析] 将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°
(
得到△EDC,
课前双基巩固
知识梳理
和
1.平移的两个基本条件:平移的
2.平移不改变图形的
全等
形状
(píngxí
ng)(或在同一直线上)且
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.
方向(fāngxiàng)
距离(jùlí
)
和大小(即平移前后的两个图形
);一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行
.
相等
第五页，共二十八页。
课前双基巩固
根据旋转性质可知,△OAC≌△O'AC',∴△OAC 的面积与△O'AC'的面积相等,
60π×22 60π×12
∴S 阴影部分=S 扇形 OAO'+S△O'C'A-S△OCA-S 扇形 CAC'=S 扇形 OAO'-S 扇形 CAC'=
π
故答案为 .
2
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第十六页，共二十八页。
360
-
360
2
1
1
3
6
2
= π- π= π,
高频考向探究
针 对 训 练
1.[2018·衡阳] 如图 31-11,点 A,B,C,D,O 都在方格纸的格点上,若△COD 是由△AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转
而得到的,则旋转的角度为 90°
.
图 31-11
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第十七页，共二十八页。
高频考向探究
A
)
图 31-6
3.[2018·云南] 下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是
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A.三角形
B.菱形
C.角
D.平行四边形
第九页，共二十八页。
( B )
课前双基巩固
知识梳理
180°
180°
重合(chónghé)
对称中心
对称中心
平分(píngfēn)
全等
轴
中心(zhōngxīn)
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单元思维导图
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第一页，共二十八页。
UNIT SEVEN
第七单元
第 31 课时
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图形(túxíng)的变换
图形的对称、平移(pínɡ yí)与旋转
第二页，共二十八页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)一
平移
1.如图 31-1,将△ABC 沿 BC 方向平移 2 cm 得到△DEF,若△ABC 的周长为 16 cm,则四边形 ABFD 的周长为
格点上,在图①,图②给定的网格中以 OM,ON 为邻边各画一个四边形,使第四个顶点在格点上.
要求:(1)所画的两个四边形均是轴对称图形;
(2)所画的两个四边形不全等.
图 31-14
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第二十三页，共二十八页。
当堂效果检测
1.[2018·绵阳] 下列图形是中心对称图形的是 ( D )
图 31-15
(
)
c
图 31-8
A.AD=BD
B.AE=AC
C.ED+EB=DB
D.AE+CB=AB
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第十三页，共二十八页。
高频考向探究
针对训练
[答案] A
[2018·聊城] 如图 31-9,将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠,使得
[解析] ∵将一张三角形纸片 ABC 的一
点 A 落在△ABC 外的一点 A'处,折痕为 DE.如果∠A=α,∠CEA'=β,
高频考向探究
例 3 [2018·枣庄] 如图 31-13,在 4×4 的方格纸中,△ABC 的三个顶点都在格点上.
(3)在图③中,画出△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后的三角形.
图 31-13
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第二十二页，共二十八页。
高频考向探究
针 对 训 练
[2018·长春] 图 31-14①,②均是 8×8 的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段 OM,ON 的端点均在
2.[2018·河北] 图 31-16 中由“○”和“□”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线 (
图 31-16
A.l1
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B.l2
C.l3
D.l4
第二十四页，共二十八页。
C
)
当堂效果检测
3.[2018·嘉兴] 将一张正方形纸片按如图 31-17 步骤①,②沿虚线
对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后
为
2.性质
.
旋转(xuánzhuǎn)中心
(即旋转前后的两个图形全等).
(1)旋转不改变图形的
(2)任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此
形状(xí
ngzhuàn)和大小
(3)对应点到旋转中心的距离
、
旋转中心
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相等
.
3.旋转变换三要素
、
旋转方向
(都是旋转角).
相等
.
旋转角度
第十二页，共二十八页。
.。考点二 轴对称与轴对称图形。如果一个图形绕某一个定点沿某
一个方向转动一个角度,这样的图形变换称为
,这个定点称为
.。(3)对应点到旋
转中心的距离
.。当堂效果检测
No
解:由题意,得∠3=180°-2∠1=45°,∠4=180°-2∠2=30°,BE=EK,KF=FC.
过点 K 作 KM⊥EF,垂足为 M.
图 31-20
设 KM=x,易得 EM=x,MF= 3x,
∴x+ 3x= 3+1,解得 x=1.∴EK= 2,KF=2.
∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+ 2+ 3,
即 BC 的长为 3+ 2+ 3.
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第二十七页，共二十八页。
内容(nèiróng)总结
单元思维导图。第 31 课时 图形的对称、平移与旋转。知 识 梳 理。2.平移不改变图形的
和大小(dàxiǎo)(即平移前后的两个图形
)。一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连Байду номын сангаас
线平行(或在同一直线上)且
角折叠,使得点 A 落在△ABC 外的一点
∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是 (
A'处,折痕为 DE,∴∠A'=∠A=α.
)
c
如图所示,设 A'D 交 AC 于点 F,
则∠BDA'=∠A+∠AFD=∠A+∠A'+
∠A'EF,∵∠A=α,∠A'EF=β,∠BDA'=γ,
图 31-9
A.γ=2α+β
时针方向旋转到△O'AC',使得点 O'的坐标是(1, 3),则在旋转的过程中线段 OC 扫过部分(阴影部分)的面积
为
.
图 31-10
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第十五页，共二十八页。
高频考向探究
[答案]
π
2
[解析] 如图,过点 O'作 O'H⊥x 轴于点 H,
∵点 O'的坐标是(1, 3),∴OH=1,O'H= 3.又∵AO=AO'=2,∴∠HAO'=60°,即旋转角为∠OAO'=∠CAC'=60°.
[解析] ①正方形向上平移;②正方形向
操作,平移后的正方形的顶点也在格点上,则使平移前后的两个正
方形组成轴对称图形的平移方向有 (
下平移;③正方形向右平移;④正方形向
c
东北方向平移;⑤正方形向东南方向平
)
移.故有 5 种.
图 31-2
A.3 种
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B.4 种
C.5 种
D.无数种
第四页，共二十八页。
的图形是
[答案] A
[解析]把剪后的图形展开,本质是作出
(
)
它的轴对称图形. 故正确答案为 A.
c
图 31-17
图 31-18
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第二十五页，共二十八页。
当堂效果检测
4.[2018·贵港] 如图 31-19,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=4,BC=2,
[答案] 4π
将△ABC 绕点 B 按顺时针方向旋转到△A'BC'的位置,此时点 A'恰
(
C
)
A.16 cm
B.18 cm
C.20 cm
D.22 cm
图 31-1
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第三页，共二十八页。
课前双基巩固
2.[2018·江西] 小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他
发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图
[答案] C
31-2 所示,现在他将正方形 ABCD 从当前位置开始进行一次平移