山西省长治二中2020学年高二数学下学期第一次月考试题理

山西省长治二中 2020 学年高二数学下学期第一次月考试题 理
【本试卷满分 150 分，考试时间为 120 分钟】
一项是符合题目要求的）
1．设复数，则
3．过两点的直线的倾斜角为
4．设，则的递减区间为
、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有 A ． B ． C ． D ．
2．三本不同的书给 7 位学生，每位至多 1 本，则不同的给法数是
A ．343
B ．210
C ．35
D ． 60
A ．
B ．
C ．
D ．
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知双曲线的一个焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设函数．若为偶函数，则在处的切线方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．从 0， 2，4中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇 数的个数为
A ．24
B ．27
C ． 30
D ．36
8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有
优秀， 2 位良好，我现在给丁看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给甲看丁的成绩．看后 丁对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A. 甲、乙可以知道对方的成绩
B. 甲、乙可以知道自己的成绩
C. 乙可以知道四人的成绩
2位
D.甲可以知道四人的成绩
9.网格的小正方形边长为1, 一个正三棱锥的侧视图为如图所示的三角形，则该正三棱锥的
侧面积为
A. B. C. D.
10.已知，函数的导数，若在x =处取得极大值，则的取值范围是
A. B.
C.或
D.或
11.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A B,交其准线于点C,若F是AC的中点，且, 贝熾段AB的
长为
A. B . 6 C . D .
12•设为函数的导函数，已知则下列结论正确的是
A.在上单调递增 B .在上单调递减
C.在上有极大值 D •在上有极小值
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卷指定位置)
13•已知点是圆内一点，则过点的圆的最短弦所在直线的方程是_____________________
14. ____________________
15 •已知A、B两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A不排两端，3个大人有且只有两个相
令邻，则不同的排法种数为___________
16•椭圆的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是_____________
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17•实数取什么值时，复数
(1)表示纯虚数；
(2)表示的点位于第三象限.
18 .已知有3位女生，4位男生
(1 )这7人站成一排，要求3位女生两两不相邻，求有多少种不同的站法；
(2)从这7人中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，求有多少种不同的选法.
n*
19. 用数学归纳法证明：(n+ 1)( n + 2)……(n+ n) = 2 • 1 • 3 •
5 ……(2 n—1)( n€ N).
20．如图，平面四边形是矩形，分别是的中点
(1 )求证：平面
(2)若二面角为角，求与平面所成角的正弦值
21 .已知椭圆的左焦点为O 为坐标原点
(1)求过O，F 且与相切的圆的方程；
(2)设过F且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A, B两点，AB的垂直平分线与轴交点为
G,求G横坐标的取值范围.
22.已知
( 1 )设，讨论的单调性；
( 2 )若对任意的，恒有，求的范围
2020 学年第二学期高二第一次月考理数答案
1—12 CBABB CCBDC CB
13. 14. 15. 48 16.
17. (1)m= (2)
18. (1) (2)
19. 证明(1)当n= 1时，等式左边=2,右边=2,故等式成立；
⑵假设当n= k(k> 1, k€ N*)时等式成立，
即(k+ 1)( k + 2)……(k+ k) = 2k• 1 • 3 • 5 ……(2 k- 1),
那么当n= k + 1时，
左边=(k+ 1+ 1)( k + 1 + 2)……(k+ 1 + k +1)
=(k+ 2)( k + 3)……(k+ k)(2 k+ 1)(2 k+ 2)
k
=2 • 1 • 3 • 5 ……(2 k- 1)(2 k+1)・2
k+1
=2 • 1 • 3 • 5 ……(2 k —1)(2 k + 1),
所以当n= k + 1时等式也成立.
由(1)(2)可知，对所有n€ N*等式成立
20. ( 1)作的中点，连结
中,为中位线,且由且得四边形为平行四边形, ,
平面，平面，平面 (4)
( 2)法一：
平面又平面,
为二面角的平面角，........................... 8 分
由得
设到平面的距离为由得：,
所以与平面所成角的正弦值为................... 12 分
(也可以得出二面角为后,借助平面得平面,
得平面平面，过D作即可得)
法二：
平面又平面, 为二面角的平面
角，
………………………8分
以为原点,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, 设平面的法向量为由得
所以与平面所成角的正弦值为…………………………12 分
21. ( 1) F(-1,0) , OF的垂直平分线：，半径为设圆心点坐标, ，得，圆方程为
( 2)设直线方程： ,与联立得：
AB中点，AB的垂直平分线为
令，G 横坐标的取值范围
22. （1）定义域
............................................... 2分
当时，令得或或，为增函数；令得，为减函数
当时，，为上的增函数
当时，在，为上的增函数........................... 6分（2）由（1）得：当时，为上的增函数，符合题意；
当时，在增函数，在减函数，
对任意的，不符合题意；.................. 10分
当时，令得，
由得在为增函数，符合题意；
当，在为增函数，符合题意；
综上，........................... 12分。