黑龙江省大庆铁人中学高考数学等比数列专题复习(专题训练)百度文库

一、等比数列选择题
1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34
B ．35
C ．36
D ．37
2．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12
B ．18
C ．24
D ．32
3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4
B ．5
C ．4或5
D ．5或6
4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111
30(2),3
n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是等差数列 B ．1
3n S n = C ．1
3(1)
n a n n =-
-
D ．{}
3n S 是等比数列
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里
B ．86里
C ．90里
D ．96里
6．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24- B ．3-
C ．3
D ．8
7
．
12
与1
2的等比中项是（ ）
A ．－1
B ．1
C
．
2
D
．2
±
8．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝1
4，且a n ＝1n n
b b +，则b 2020＝（ ）
A ．22017
B ．22018
C ．22019
D ．22020
9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =
B ．72
3
S =
C ．7623
S =
D ．7127
3
S =
10．在数列{}n a 中，32a =，12n n a a +=，则5a =（ ） A ．32
B ．16
C ．8
D ．4
11．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，
416a =，则6S ＝（ ）
A ．32
B ．63
C ．123
D ．126
12．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足()
*
122n n a S n N ++=∈，则
满足
2100111
1000
10
n n
S S 的n 的最大值为（ ）. A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
13．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009
B ．1010
C ．1011
D ．2020
14．设等差数列{}n a 的公差10,4≠=d a d ，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =( ) A ．3或6 B ．3 或-1 C ．6
D ．3
15．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2
（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8
B ．﹣8
C ．±8
D ．98
16．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）
A ．若对任意正整数n ，都有24n
n a =成立，则{}n a 为等比数列
B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列
C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m n
m n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列
D ．若对任意正整数n ，都有
312
11
n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列
17．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
18．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则3
3
S a =（ ） A ．2
B ．4
C ．
74 D ．
158
19．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m
a ，n a 14a =，
则
14
m n +的最小值为（ ） A ．
53
B ．
32
C ．
43
D ．
116
20．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件
11a >，66771
1,
01
a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >
B ．01q <<
C ．n S 的最大值为7S
D ．n T 的最大值为7T
二、多选题21．题目文件丢失！
22．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A ．数列|n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列 B ．数列{}2
n
a 为等比数列
C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=
D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S += 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 是等比数列 B ．当1p =时，415
8
S =
C ．当1
2
p =
时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+
24．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34
-
B ．23
-
C ．43
-
D ．32
-
25．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2
{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-1
26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ）
A ．当101a q >⎧⎨>⎩
B ．10a >
C ．1q >
D ．1
1n
n a a +< 27．已知集合{
}*
21,A x x n n N
==-∈，{}*
2,n
B x x n N ==∈将A
B 的所有元素从
小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25
B ．26
C ．27
D ．28
28．数列{}n a 对任意的正整数n 均有2
12n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值
为（ ） A ．1023
B ．341
C ．1024
D ．342
29．已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正
确的是（ ）
A ．数列{}2n a 是等比数列
B ．数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是递增数列
C ．数列{}2log n a 是等差数列
D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比
数列
30．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．12
33
BE BA BC =
+ C ．数列{a n }为等比数列
D ．14n
n n a a +-=
31．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ） A ．此人第六天只走了5里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C ．此人第二天走的路程比全程的
1
4
还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
32．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211
21n n
S n a -=-⋅ B ．212
n n S S =
C ．2311222
n n n S S ≥
-+ D ．212
n n S S ≥+
33．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有
n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）
A ．等差数列不可能是收敛数列
B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-
C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
一定是收敛数列
34．已知等比数列{a n }的公比2
3
q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0
B ．a 9＞a 10
C ．b 10＞0
D ．b 9＞b 10
35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7a
B ．8a
C ．15S
D ．16S
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等比数列选择题 1．D 【分析】
假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】
设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，
所以 3.81000n
n a =>，解得 3.8333
log 1000 5.17lg3.8lg3810.58
n >=
=≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 2．C 【分析】
将已知条件整理为()()2
2
121328a q q q -+=，可得()
2
218
3221q q a q +=
-，进而可得
()44
2
7612249633221
q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4
q ，利用二次函数的性质即
可求出最值. 【详解】
因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，
所以432
111164328a q a q a q a q +--=，
()()222
1232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦， 即()()2
2
121328a q q q -+=，所以()
2
218
3221q q a q +=
-，
()()46
5
4
2
4
7611112
2124
82424
9696332321
2121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---，
令
210t q =>，则()22
24
21211t t t q q -=-=--+， 所以211t q
==，即1q =时2421
q q -最大为1，此时24
24
21q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】
易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 3．C 【分析】
由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差1
2
d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，
134,,a a a 成等比数列，2
314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12
d =-，
()()2
111198122
4
4216
n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+
=-
=--+ ⎪⎝⎭，
所以当4n =或5时，n S 取得最大值.
4．C 【分析】
由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】
2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以
1
11
3n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列，A 正确； 1113S a ==，1
13S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以1
3n S n =，B 正确； 11
3
a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；
1313n n S +=
，数列113n +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，
在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 5．D 【分析】
由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为1
2
，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】
由题意可知此人每天走的步数构成
1
2
为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]
2378
1
12a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1
192962
⨯
=里， ∴第二天走了96里，
6．A 【分析】
根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2
326a a a =，
即2
(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)
661(2)2422
S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 7．D 【分析】
利用等比中项定义得解. 【详解】
2311(
)((22-==
±，
的等比中项是 故选:D 8．A 【分析】
根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为2020
1
b b ，再根据等比数列下标和性质求
解出2020b 的结果. 【详解】 因为1
n n n
b a b +=
，所以3201920202020
24
12320182019123
201820191
b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅
⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()
()123
201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅
22
22019
201910101010
1010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==
所以
20192020
12b b =，又114
b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】
结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若(
)*
2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，
（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2
m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.
9．D 【分析】
利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】
n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，
∴21410(1)
11(1)51q a q q
a q q ⎧
⎪>⎪
⎪-⎪=⎨
-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，
771
(12)
1273123
S -∴==
-．
故选：D ． 10．C 【分析】
根据12n n a a +=，得到数列{}n a 是公比为2的等比数列求解. 【详解】 因为12n n a a +=，
所以1
2n n
a a +=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列． 因为32a =，
所以23
5328a a q ===． 故选：C 11．D 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2
260q q --=，∴2q
或3
2
q =-（舍去），
∵416a =，∴4
13
2a a q =
=， ∴6616(1)2(12)
126112
a q S q --=
==--， 故选：D. 12．C 【分析】
根据(
)*
122n n a S n N ++=∈可求出n
a
的通项公式，然后利用求和公式求出2,n n S S ，结合
不等式可求n 的最大值. 【详解】
1122,22()2n n n n a S a S n +-+=+=≥相减得1(22)n n a a n +=≥，11a =，21
2
a =
；则{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，100111111000210n
⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，1111000210
n
⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则n 的最大值为9. 故选：C 13．C 【分析】
根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到2
10111a =，再利用
11,01a q ><<求解即可.
【详解】
根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，
因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，
所以2
12021220201011...1a a a a a ====，
因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，
所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】
关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关
键是根据定义和等比数列性质得出2
10111a =以及11,01a q ><<进行判断.
14．D 【分析】
由k a 是1a 与2k a 的等比中项及14a d =建立方程可解得k . 【详解】
k a 是1a 与2k a 的等比中项
212k k a a a ∴=，()()2
111121a k d a a k d ⎡⎤∴+-=+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦
()()2
23423k d d k d ∴+=⨯+，3k ∴=.
故选:D 【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的基础知识，属于基础题. 15．A 【分析】
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果. 【详解】
设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，4
19q ⋅=，
解之可得83
d =
，2
3q =， ()22218
183
b a a q ∴-=⨯⨯=.
故选：A. 16．C 【分析】
根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】
对于A ，若24n
n
a =，则2n
n a =±，+1
+12n n a =±，则1
2n n
a a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；
对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2
m n
m n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1
+12
m n m n a a +⋅=，所以1+1
222
n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；
对于D ，由
312
11
n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满
足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】
方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若
()1
0,0n n n
a q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列；
（2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2
210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；
（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列；
（4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 17．C 【分析】
根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】
因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得3
78a =，
所以72a =，因此2
31174a a a ==.
故选：C. 18．C 【分析】
利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】
解：因为等比数列的公比为2，
所以313
12311(12)
7712244
a S a a a a --===⋅， 故选：C 19．B 【分析】
设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得2
2q q =+，解得2q
，
根据存在两项m a 、n a
14a =
14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】
解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，
22q q ∴=+，
解得2q
，
存在两项m a 、n a
14a =，
∴14a =，
6m n ∴+=，
m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，
则
14m n
+的最小值为143242+=．
故选：B ． 20．B 【分析】
根据11a >，66771
1,01
a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】
若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，
若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与671
01
a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；
因为
671
01
a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以1
11n n a q a S q q
=
---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<.
二、多选题 21．无
22．ABC 【分析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为
()
112
n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选
项进行逐一判断可得答案. 【详解】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()
112
n n n S na d -=+
选项A.
11
2n S n a d n -=+，则+1111+1222
n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数）
所以数列|n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122
n
a n d
a +-=,则112222n n n n
a a a d a ++-==（常数），所以数列{}
2n a
为等比数列，故B
正确.
选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m n
a a m d n
a a n d m ⎧=+-=⎪⎨
=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112
n n n n S a d m -=+=，()112
m m m m S a d n -=+
=
将以上两式相减可得：()()()2212d
m n a m m n n n m ⎡⎤-+
---=-⎣
⎦
()()()112
d
m n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠
所以()1112d a m n +
+-=-，即()1112
d
m n a +-=-- ()()()()()()()1
11112
m n m n m n d S m n a m n a m n a m n +++-=++
=+++--=-+，所
以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m n
a a m d n a a n d m ⎧=+-=⎪
⎨
=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而
判断选项C ，由前n 项和公式得到()112
n n n n S a d m -=+
=，
()112
m m m m S a d n -=+
=，然后得出
()1112
d
m n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 23．ABC 【分析】
由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 【详解】
由122(2)n n S S p n --=≥，得22
p a =
. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=，
又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，441
11521812
S -
=
=-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为212
1122
m n m n p p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；
3827
11
33||||22
128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭
， 则3856a a a a +>+，即D 不正确； 故选：ABC. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能
力. 24．BD 【分析】
先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+
4n n a b ∴=-
数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中
∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中
又
数列{}n a 是公比为q 的等比数列，
∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，
54-，81或81，54-，36，24-.
∴363242
q ==--或2432
36q -=
=-. 故选：BD 25．AC 【分析】
根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】
设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠
则2221
12
()n n n n
a a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；
若123,a a a <<则12
1
1101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩
，即数列{}n a 是递增数列，C 正确； 若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211
323(1),3
a a q r r a a =
==∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】
等比数列的判定方法
(1)定义法：若1
(n n
a q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且2
12n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,n
n a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比
数列；
(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,n
n S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则
{}n a 是等比数列.
26．BCD 【分析】
利用等比数列单调性的定义，通过对首项1a ，公比q 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】
A ，当10
1
a q >⎧⎨
>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正
确；
B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；
C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；
D ，若10a >，
1
1n
n a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 27．CD 【分析】
由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9 ，利用列举法，结合等差数列
以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】
由题意，数列{}n a 的前n 项依次为2
3
1,2,3,2,5,7,2,9
，
利用列举法，可得当25n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,2,4,8,16,32，
可得52520(139)2(12)
40062462212
S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，
不满足112n n S a +>； 当26n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,2,4,8,16,32，
可得52621(141)2(12)
44162503212
S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，
不满足112n n S a +>； 当27n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,2,4,8,16,32，
可得52722(143)2(12)
48462546212
S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，
满足112n n S a +>； 当28n =时，A
B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，
则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,
37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，
可得52823(145)2(12)
52962591212
S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，
满足112n n S a +>，
所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．AB 【分析】
首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得；
【详解】
解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有2
12n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为
22a =，48a =，所以2
4
2
4a q a =
=，所以2q =±， 当2q
时11a =，所以10
1012102312
S -==-
当2q =-时11a =-，所以()(
)()
10
1011234112S -⨯--==--
故选：AB 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 29．AC 【分析】 由已知得1
2
n n
a 可得以21
22
n n a -=，可判断A ；又1
111122n n n a --⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，可判断B ；由
122log log 21n n a n -==-，可判断C ；求得10S ，20S ，30S ，可判断D.
【详解】
等比数列{}n a 中，满足11a =，2q
，所以12n n a ，所以2122n n a -=，所以数列
{}2n a 是等比数列，故A 正确；
又1
111122n n n a --⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，所以数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭是递减数列，故B 不正确；
因为1
22log log 2
1n n a n -==-，所以{}2log n a 是等差数列，故C 正确；
数列{}n a 中，101010111222
S -==--，202021S =-，30
3021S =-，10S ，20S ，30S 不成
等比数列，故D 不正确； 故选：AC . 【点睛】
本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题. 30．BD 【分析】 证明12
33
BE BA BC =
+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}
是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14n
n n a a +-=，所以选项D 正确，易得
321
a=，选项C不正确.【详解】
因为2
AE EC
=，所以
2
3 AE
AC
=，
所以
2
()
3
AB BE AB BC
+=+,
所以
12
33
BE BA BC
=+，所以选项B正确；
设BD tBE
=（0
t>），
则当n≥2时，由()()
11
23
n n n n
BD tBE a a BA a a BC
-+
==-+-，所以
()()
11
11
23
n n n n
BE a a BA a a BC
t t
-+
=-+-，
所以()1
11
2
3
n n
a a
t-
-=，()
1
12
3
3
n n
a a
t+
-=，
所以()
11
322
n n n n
a a a a
+-
-=-，
易得()
11
4
n n n n
a a a a
+-
-=-，
显然1
n n
a a
-
-不是同一常数，所以选项A错误；
因为2a-1a=4，1
1
4
n n
n n
a a
a a
+
-
-
=
-，
所以数列{1
n n
a a
-
-}是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以
1
4n
n n
a a
+
-=，所以选项D正确，
易得321
a=，显然选项C不正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
31．BCD
【分析】
设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q = 的等比数列，由6=378S 求得首项，然后逐一分析四个选项得答案. 【详解】
解:根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第n 天走n a 里路，则{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q =
的等比数列. 所以6
6
1161[1()](1)2=3781112
a a q S q --==--，解得1
192a =. 选项A:5
5
61119262a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭
,故A 错误, 选项B:由1192a =，则61378192186S a -=-=，又1921866-=，故B 正确. 选项C:211192962
a a q ==⨯
=,而61
94.54S =，9694.5 1.5-=,故C 正确.
选项D:2
123111
(1)192(1)33624
a a a a q q ++=++=⨯++=, 则后3天走的路程为378336=42-, 而且336428÷=,故D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和，是基础题. 32．CD 【分析】
根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：
22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.
【详解】
因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =+
+=，而 ()13
22122
⨯-⋅=，故错误；
B. 令1n =时， 213122S =+
=，而 11122S =，故错误； C. 当1n =时， 213122
S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212
n n >-，所以111111311...1 (352148222)
n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n
-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n
=+++++++，因为()111111()021*******
f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112
f n f ≥=，故正确； 故选：CD
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.
33．BCD
【分析】
根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断A ；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B ；根据收敛的定义可判断C ；根据等差数列前n 和公式以及收敛数列的定义可判断D.
【详解】
当0n S >时，取2111222
222n d d d d d d S n a n n n a n a ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 为使得1n S r >，所以只需要1122d d n a r
+->1112222
d a ra dr r n N d dr -+-+⇒>==. 对于A ，令1n x =，则存在1a =，使0n x a r -=<，故A 错；
对于B ，11n n x x q -=，若1q >，则对任意正数r ， 当11log 1q r n x ⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭
时， 1n x r >+，所以不存在正整数N 使得定义式成立， 若1q =，显然符合；若1q =-为摆动数列()
111n n x x -=-，
只有1x ±两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；
若()1,1q ∈-，取0a =，1log 11q r N x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
， 当n N >时，11110n n r x x q
x r x --=<=，故B 正确； 对于C ，()1sin cos sin 0222
n x n n n πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合； 对于D ，()11n x x n d =+-，2122n d d S n x n ⎛⎫=
+- ⎪⎝⎭， 当0d >时，n S 单调递增并且可以取到比1r
更大的正数，
当n N >=时，110n n r S S -=<，同理0d <，所以D 正确. 故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前n 和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题.
34．AD
【分析】
设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．
【详解】
数列{a n }是公比q 为23
-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012
()3a a =-，
∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确；
∵a 1正负不确定，故B 错误；
∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；
由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23
-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或10
0a <
故 90b <或100b <，且b 1＝12 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，
即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．
故选：AD
【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
35．BC
【分析】
根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.
【详解】
由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，
()
11515815152a a S a +==为定值，但()
()11616891682a a S a a +==+不是定值.
故选：BC.
【点睛】
本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.。