福建省福安一中2018届高三上-期中考试数学(文)试卷(含答案)

福安一中2018届高三上学期期中考试
数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
3．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每题选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数2(1)z i i =-(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则-z z =
A ．4i B.4i - C. 4 D.4- 2．若集合{
}
1+=
=x y y M ,集合{|sin }N y y x ==,则M N =I
A ．[1,0]- B. [1,1]- C. [0,1] D.∅ 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若327a a =-，则4S 的值为 A ．15
B ．14
C ．13
D ．12
4. 已知0a >，且1a ≠，则“函数x
y a =在R 上是减函数”是“函数3
(2)y a x =-在R 上是增函数”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知向量(3,1),(0,1),(,3)a b c k ==-=r r r
，若（2a b -r r ）与c r 互相垂直，则k 的值为
A ．1 B. 1- C. 3 D.3-
6.已知ex e
x f x
+=-)(的导函数)('x f ，则=)1('f
A ．e e 1-
B. e e 1+
C. e
1
1+ D. 0 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体各面中直角三角形 的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8.已知223)(2
2++-=x x x x f ，若3
1
)(=a f ，则=-)(a f A ．
31 B.31- C. 35 D.3
5-
9. 已知⎪⎩
⎪⎨⎧<-≥=)2()1()
2(2
)(3x x x x x f ，若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范
围是
A ．1<k B. 1≤k C. 10≤≤k D. 10<<k 10.函数()()ϕω+=x A x f sin （其中2
,0π
ϕ<
>A ）的图像如图所示，为了
得到()x x g 2sin =的图像，则只要将()x f 的图像
A. 向右平移
6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3
π
个单位长度
11．已知球O 是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为的10正四棱锥S ABCD -与一个高为8的正四棱柱1111ABCD A B C D -拼接而成，则球O 的半径为 A.24 B.5 C.4 D.10
12.()f x 是定义在R 上的函数，2)0(=f ，且对任意x R ∈，满足(2)()2f x f x +-≤，
(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =（ ）
A ．2015
B ．2016
C ．2017
D ．2018
第Ⅱ卷 （非选择题共90分）
4．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥+≥-140
y y x y x ，则目标函数2z x y =+的最小值是 .
14.若函数2)(2
+-=mx x x f 在区间[1,2]上有零点，则实数m 的取值范围是 .
15. 三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图 所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正 方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积 为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则=-
)4
tan(π
θ_____.
16.若点P 是ABC ∆所在平面内一点，ο90=∠A ，t AC t AB 1
,=
=，且AC
AB AP +=，则PC PB •的最大值是_________
5．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且24=a ，3424+=a a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和),(2212*
+∈-++=N n n n S n n
求证：数列{}n n b a -是等差数列.
18.（本小题满分12分）如图所示，在四边形ABCD 中，
B D ∠=∠2,且2=AD ,3
3cos ,6=
=B CD . （Ⅰ）求ACD ∆的面积；
（Ⅱ）若34=BC ，求AB 的长；
19．（本小题满分12分）
如图，函数2
9y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），
CD ∥AB ．记(,)C x y ，梯形ABCD 面积为S ．
（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数解析式；
（Ⅱ）若0,x λ<≤其中λ为常数且03λ<<，求S
的最大值．
20. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形， 平面ABCD ⊥平面ABEF ，
//,AF BE ,2AB BE AB BE ⊥==, 1AF =．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求三棱锥C DEF -的体积．
21.（本小题满分12分）已知)
(,ln )(R m x mx x f ∈-=
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当1=m 时，证明：21
1)11()(e e x x f x ->--⋅
22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，倾斜角为)2(π
αα≠
的直线l 的参数方程为1cos ,sin ,
x t y t αα=+⎧⎨=⎩
（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是
F
A D
C
B E
0sin 4cos 2=-θθρ．
（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点)0,1(P ．若点M 的极坐标为（1，2
π），直线l 经过点M 且与曲线C 相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值．
参考答案
一、选择题：
1.A
2.C
3.B
4.A
5.D
6.A
7.C
8.C
9.D 10.B 11.B 12.D 二、填空题：
13. 5 14. [22,3] 15. 7
1
16.225- 二、解答题：
17.（Ⅰ）解：设等比数列
的公比为，依题意
．
因为两式相除得：， 2分
解得，(舍去)．所以． 4分
所以数列的通项公式为． 6分
（Ⅱ）解：由已知 当1=n 时，41
=b
当2≥n 时，n n n n n n n n n S S b 2)1()1(22121
-----++=-=+-
n n 22+= 又1b 符合 n n n b 22+=∴ 10分
设n b a c n n n 2-=-=，当2≥n 时，21
-=--n n c c 11分
{}n c ∴即 {}n n b a -是等差数列.
12分
18.解：（Ⅰ）33cos ,2=
∠=∠B B D Θ,∴.31
1cos 22cos cos 2-=-==B B D 2分
()π,0∈∠D ，∴.32
2cos 1sin 2=
-=D D
…………………3分 因为6,2==CD AD ，
所以ACD ∆的面积.243
226221sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=
D CD AD S ………………6分 （Ⅱ）在ACD ∆中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ,
∴.34=AC …………8分
B BA
C BC ∠=∠∴=,34Θ， …………9分
()B AB
ACB AB B AC ABC 2sin sin sin -=
∠=∆∴π中， .8=∴AB …………12分
19解：（Ⅰ）依题意点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为2
9y x =-+． ………1分
点B 的横坐标B x 满足方程2
90B x -+=，解得3B x =， ………………2分
所以2211
(||||)(223)(9)(3)(9)22
C S C
D AB y x x x x =
+⋅=+⨯-+=+-+． ………………4分
由点C 在第一象限，得03x <<．
所以S 关于x 的函数式为 2
(3)(9)S x x =+-+，03x <<．………………5分 （Ⅱ）记2
()(3)(9),0f x x x x λ=+-+<≤，
2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+ ………………6分
令()0f x '=，得1x = ………………7分 ① 若1λ<，即13λ<<时，()f x '与()f x 的变化情况如下：
x (0,1)
1
(1,)λ
()f x ' +
()f x
↗
极大值
↘
所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………9分 ② 若1λ≥，即01λ<≤时，()0f x '>恒成立，
所以，()f x 的最大值为2
()(3)(9)f λλλ=+-． ………………11分 综上，13λ<<时，S 的最大值为32；01λ<≤时，S 的最大值为
2()(3)(9)f λλλ=+-． ………………12分
20. 解（Ⅰ）Θ平面平面
，
平面
平面，⊂BE 平面ABEF, 且
，
∴
平面
. 2分
又因为
平面
，∴ ． 3分 又因为四边形
为正方形，∴
． ⊂BE BD ,Θ平面BDE,
， 5分
所以平面 6分
（Ⅱ）设
，因为四边形
为正方形，O 是BD 中点
设G 是DE 中点，连接FG OG ,，则
BE OG BE OG 21,//=又BE
AF BE AF 2
1
,//= OG AF OG AF =∴,// 所以四边形AOGF 是平行四边形 ∴点C 到平面DEF 距离等于点A 到平面DEF 距离 9分
3
231=
⨯===∴---AD S V V V AEF AEF D DEF A DEF C
所以体积为3
2 12分
21.（Ⅰ）解：0>x Θ，x mx x m x f 1
1)('-=-
=
1分 当 0≤m 时，0)('≤x f ，)(x f 的单调递减区间),0(+∞，没有递增区间； 3分
当 0>m 时，若),1(
+∞∈m x ，则0)('≤x f ，)(x f 的单调递减区间),1
(+∞m ； 若)1,0(m
x ∈，则0)('>x f ，)(x f 的单调递增区间),1
(+∞m 。

5分
（Ⅱ）证明：0>x Θ， x x x f ln )(-=，设x e
x x g 1
1)(--=，则由
01
1)('=-=x
x f ，得1=x ， 6分
当)1,0(∈x 时，)(,0)('x f x f <递减，当),1(+∞∈x 时，)(,0)('x f x f >递增，
∴ 1)1()(=≥f x f ，当且仅当1=x 时取等号； 7分
又Θx x x x e x e e x e x g 2
)1()('2-=----= 8分
当)2,0(∈x 时，)(,0)('x g x g <递减，当),2(+∞∈x 时，)(,0)('x g x g >递增，
∴ 2
1
1)2()(e g x g -
=≥，当且仅当2=x 时取等号； 10分 又Θ)(),(x g x f 不能同时取等号，21
1)()(e
x g x f ->∴ 即不等式成立12分
16.解：
（Ⅰ）由已知得直线l 的普通方程：)1(tan -⋅=x y α 2分 曲线C 的直角坐标方程：y x 42
= 2分。