2018版高中数学A版必修三学案：1-1-1 算法的概念 精品

1．1.1算法的概念
[学习目标] 1.通过回顾二元一次方程组的求解过程，体会算法的基本思想.2.了解算法的含义和特征.3.会用自然语言描述简单的具体问题的算法．
知识点一算法的含义及特征
1．算法的概念
2.
(1)有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限的操作之后停止，不能是无限的．
(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可．
(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后续步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题．
(4)不唯一性：求解某一问题的解法不一定是唯一的，对于同一个问题可以有不同的算法．
(5)普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决．
3．算法与计算机
计算机解决任何问题都要依赖于算法．只有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
知识点二算法的设计
1．设计算法的目的
设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成．设计算法的
关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的．
2．设计算法的要求
(1)写出的算法必须能解决一类问题．
(2)要使算法尽量简单、步骤尽量少．
(3)要保证算法步骤有效，且计算机能够执行．
思考一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河．河边只有一条船，由于船太小，只能装下两样东西．在无人看管的情况下，灰太狼要吃懒羊羊，懒羊羊要吃青草，请问包包大人如何才能带着他们平安过河？
答包包大人采取的过河的算法可以是：
第一步，包包大人带懒羊羊过河；
第二步，包包大人自己返回；
第三步，包包大人带青草过河；
第四步，包包大人带懒羊羊返回；
第五步，包包大人带灰太狼过河；
第六步，包包大人自己返回；
第七步，包包大人带懒羊羊过河．
题型一算法的概念
例1下列关于算法的说法，正确的个数有()
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法必须在有限步操作之后停止；
③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
④算法执行后一定产生确定的结果．
A．1B．2C．3D．4
答案 C
解析由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错．
反思与感悟算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常用来解决某一个或某一类问题，，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想．
跟踪训练1下列说法中是算法的有________(填序号)．
①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；
②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；
③求以A(1,1)，B(－1，－2)两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB中点坐标，再求k AB及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程；
④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24；
⑤1
2x＞2x＋4.
答案①②③④
解析
①说明了从上海到拉萨的行程安排．
②给出了解一元一次不等式这类问题的解法．
③给出了求线段的中垂线的方法及步骤．
④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果．
故①②③④都是算法．
题型二算法的设计
例2所谓正整数p为素数是指：p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n(n＞1)是否为素数的算法．
解算法如下：
第一步，给出任意一个正整数n(n＞1)．
第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束．
第三步，令m＝1.
第四步，将m的值增加1，仍用m表示．
第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束．
第六步，判断m能否整除n，
①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；
②如果不能整除，则转第四步．
反思与感悟设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
(1)认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法；
(2)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(3)将解决问题的过程划分为若干步骤；
(4)用简练的语言将这个步骤表示出来．
跟踪训练2判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？
解第一步，给定大于2的整数n.
第二步，令i＝2.
第三步，用i除n，得到余数r.
第四步，判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．
第五步，判断“i>(n－1)”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步．题型三算法的应用
例3一位商人有9枚银元，其中有1枚略轻的是假银元，你能用天平(无砝码)将假银元找出来吗？
解方法一算法如下．
第一步，任取2枚银元分别放在天平的两边，若天平左、右不平衡，则轻的一枚就是假银元，若天平平衡，则进行第二步．
第二步，取下右边的银元放在一边，然后把剩下的7枚银元依次放在右边进行称量，直到天平不平衡，偏轻的那一枚就是假银元．
方法二算法如下．
第一步，把9枚银元平均分成3组，每组3枚．
第二步，先将其中两组放在天平的两边，若天平不平衡，则假银元就在轻的那一组；否则假银元在未称量的那一组．
第三步，取出含假银元的那一组，从中任取2枚银元放在天平左、右两边称量，若天平不平衡，则假银元在轻的那一边；若天平平衡，则未称量的那一枚是假银元．
反思与感悟对于查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题，设计算法时，首先建立过程模型，然后根据过程设计步骤，完成算法．
跟踪训练3“韩信点兵”问题：韩信是汉高祖手下的大将，他英勇善战，谋略超群，为汉朝的建立立下了不朽功勋．据说他在一次点兵的时候，为保住军事秘密，不让敌人知道自己部队的军事实力，采用下述点兵方法：①先令士兵从1～3报数，结果最后一个士兵报2；②又令士兵从1～5报数，结果最后一个士兵报3；③又令士兵从1～7报数，结果最后一个士兵报4.这样韩信很快算出自己部队里士兵的总数．请设计一个算法，求出士兵至少有多少人．解第一步，首先确定最小的满足除以3余2的正整数：2；
第二步，依次加3就得到所有除以3余2的正整数：2,5,8,11,14,17,20，…
第三步，在上列数中确定最小的满足除以5余3的正整数：8.
第四步，然后在自然数内，在8的基础上依次加上15的倍数，得到8,23,38,53，….
第五步，在上列数中确定最小的满足除以7余4的正整数应为53.
对算法的含义及特征的理解
例4计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是________．
(1)S＝1＋2＋3＋ (100)
(2)S＝1＋2＋3＋…＋100＋….
(3)S＝1＋2＋3＋…＋n(n∈N*)．
错解算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说在实际的算法中的值是具体的，因此(1)正确；而(3)中的值不具体，错误；对于(2)显然不符合算法的有限性，故只有(1)正确．
错解分析错识的根本原因在于对算法的理解不透彻．
正解算法是为解决某一类问题而设计的一系列操作或可计算的步骤，也就是说在实际的算法中n的值是具体确定的，因此(1)(3)是正确的，而算法又是具有有限性的，即执行有限步操作后一定能解决问题，而(2)显然不符合算法的有限性，所以(2)不正确．
答案(1)(3)
1．下列关于算法的说法中正确的是()
A．算法是某个具体的解题过程
B．算法执行后可以不产生确定的结果
C．解决某类问题的算法不是唯一的
D．算法可以无限地操作下去不停止
答案 C
解析算法与一般意义上具体问题的解法，既有区别，又有联系，算法的获得要借助一类问题的求解方法，而这一类具体问题都可以用这种方法来解决，因此A不对；算法中的每一步都应该是确定的，并且能有效执行，得到确定的结果，而不能含糊其辞或有歧义，所以B不正确；算法的操作步骤必须是有限的，必须在有限的步骤内完成，因此D不对；算法具有不唯一性，C正确．
2．下列四种自然语言叙述中，能称为算法的是()
A．在家里一般是妈妈做饭
B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤
C．在野外做饭叫野炊
D ．做饭必须要有米 答案 B
解析 算法是做一件事情或解决一个问题等的程序或步骤，故选B. 3．在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是( ) A ．这个算法可以求所有的零点 B ．这个算法可以求任何方程的零点 C ．这个算法能求所有零点的近似解 D ．这个算法可以求变号零点近似解 答案 D
解析 二分法的理论依据是函数的零点存在定理．它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值．
4．已知直角三角形两直角边长为a ，b ，求斜边长c 的一个算法分下列三步： (1)计算c ＝a 2＋b 2；
(2)输入直角三角形两直角边长a ，b 的值； (3)输出斜边长c 的值． 其中正确的顺序是________． 答案 (2)(1)(3)
解析 算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算．
5．下面是解决一个问题的算法： 第一步：输入x .
第二步：若x ≥4，转到第三步；否则转到第四步． 第三步：输出2x －1. 第四步：输出x 2－2x ＋3.
当输入x 的值为____时，输出的数值最小值为____． 答案 1 2
解析 所给算法解决的问题是求分段函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x －1(x ≥4)，x 2－2x ＋3(x ＜4)的函数值问题，当x ≥4时，
f (x )＝2x －1≥2×4－1＝7；
当x ＜4时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，所以f (x )min ＝2，此时x ＝1.即输入x 的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.
1.算法的特点：有限性、确定性、顺序性与正确性、不唯一性、普遍性． 2．算法设计的要求：
(1)写出的算法必须能够解决一类问题．
(2)要使算法尽量简单，步骤尽量少．
(3)要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，在有限步后能得到结果．。