2019-2020学年数学人教A版选修1-1作业与测评：2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)

课时作业16 双曲线的简单几何性质(1)
知识点一 由双曲线的标准方程研究几何性质
1.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2
＝1有两个交点，则a 的值可以是( )
A.4
B.2
C.1
D.－2
答案 A
解析 ∵双曲线x 24－y 2
＝1中，x ≥2或x ≤－2，
∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意．
2．双曲线x 24－y 2
12＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A.2 3 B.2 C. 3 D.1
答案 A
解析 不妨取焦点(4,0)和渐近线y ＝3x ，则所求距离d ＝
|43－0|
3＋1＝2 3.故选A.
3．求双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程．
解 把方程化为标准形式为x 212－y 2
22＝1， 由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2. 顶点坐标是(－1,0)，(1,0)． c ＝a 2＋b 2＝12＋22＝5， ∴焦点坐标是(－5，0)，(5，0)． 离心率e ＝c
a ＝5，
渐近线方程为x 1±y
2＝0，即y ＝±2x . 知识点二 求双曲线的离心率
4.下列方程表示的曲线中离心率为6
2的是( ) A.x 22－y 2
4＝1 B.x 24－y 2
2＝1 C.x 24－y 2
6＝1 D.x 24－y 2
10＝1
答案 B
解析 ∵e ＝c
a ，c 2＝a 2＋
b 2，
∴e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2
a 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫622＝32.
故b 2a 2＝1
2，观察各曲线方程得B 项系数符合，应选B.
5．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．
解 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2
a . 由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|， ∴
b 2
a ＝2c .∴
b 2＝2a
c . ∴c 2－2ac －a 2＝0.
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a 2－2·c a －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.
∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2. 知识点三 由双曲线的几何性质求标准方程
6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于3
2，则C 的方程是( )
A.x 24－y 2
5＝1
B.x 24－y 2
5＝1 C.x 22－y 2
5＝1 D.x 22－y 2
5
＝1
答案 B
解析 由右焦点为F (3,0)可知c ＝3，又因为离心率等于32，所以c
a ＝32
，所以a ＝2.由c 2＝a 2＋b 2知b 2＝5， 故双曲线C 的方程为x 24－y 2
5＝1，故选B.
7．已知双曲线x 24－y 2
b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )
A.x 24－3y 2
4＝1 B.x 24－4y 2
3＝1 C.x 24－y 2
4＝1 D.x 24－y 2
12＝1
答案 D
解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2
＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b 4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 2
12＝1，选D.
一、选择题
1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2
答案 C
解析 双曲线方程可变形为x 24－y 2
8＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4，故选C.
2．若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则它的离心率为( )
A.43
B.53
C.2
D.3
答案 B
解析 不妨设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，则2·2b
＝2a ＋2c ，即b ＝a ＋c 2.又b 2＝c 2－a 2
，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22＝c 2－a 2，所以3c 2－2ac －5a 2＝0，即3e 2－2e －5＝0，注意到e >1，得e ＝5
3. 故选B.
3．若中心在坐标原点，离心率为5
3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )
A.y ＝±54x
B.y ＝±4
5x C.y ＝±43x D.y ＝±34x
答案 D
解析 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为c a ＝53，所以a 2＋b 2a 2＝259，所以b a ＝43.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±a b x ，即双
曲线的渐近线方程为y ＝±3
4x ，故选D.
4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2
D.3
答案 B
解析 设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－
c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2
＝b 4a 2，所以|AB |＝2·b 2a ＝2·
2a . ∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c
a ＝ 3.
5．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )
A.[3－23，＋∞)
B.[3＋23，＋∞)
C.⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫
－74，＋∞ D.⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫74，＋∞ 答案 B
解析 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即
a 2＝3，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1.设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则x 203－y 2
0＝
1(x 0≥3)，可得
y 2
0＝x 203
－1(x 0≥
3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →
＝(x 0，
y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 2
0＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 203＋2x 0－1，此二
次函数对应的图象的对称轴为x 0＝－3
4.因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．
二、填空题
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.
答案 1 2
解析 由题意知，渐近线方程为y ＝－2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知b
a ＝2，由c ＝5，c 2＝a 2＋
b 2，可得b ＝2，a ＝1.
7．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点为直线3x －4y ＋12＝0与坐标轴的交点的等轴双曲线方程是________．
答案 x 2－y 2＝8
解析 由双曲线的实轴在x 轴上知其焦点在x 轴上，直线3x －4y ＋12＝0与x 轴的交点坐标为(－4,0)，故双曲线的一个焦点为(－4,0)，即c ＝4.设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，则c 2＝2a 2＝16，解得a 2＝8，所以双曲线方程为x 2－y 2＝8.
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是________．
答案 (1，2]
解析 将圆的方程配方，得(x －2)2＋y 2＝2.双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0.由于双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0有公共点，所以
|2b ±0|a 2＋b
2
≤ 2.又c 2＝a 2＋b 2，所以c 2≤2a 2
，即e ≤2，所以离心率的取值范围为(1，2]．
三、解答题
9．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；
(2)与双曲线x 29－y 2
16＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)． 解 (1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1，∴a ＝6.
又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 2
45＝1.
(2)解法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±4
3x ，
令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间，
∴双曲线焦点在x 轴上．
设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，(a >0，b >0)，则
⎩⎨⎧
b a ＝43，
(－3)2
a 2
－(23)
2
b 2
＝1，
解之得⎩⎨
⎧
a 2＝94，
b 2＝4.
∴双曲线方程为x 294
－y 2
4＝1.
解法二：设双曲线方程为x 29－y 2
16＝λ(λ≠0)， ∴(－3)29－(23)2
16＝λ.
∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294
－y 2
4＝1.
10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7.
(1)求这两曲线方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．
解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2m 2－y 2
n 2＝1(a ，b ，m ，n >0，且a >b )，
则⎩⎨⎧
a －m ＝4，7×13
a ＝3×
13
m ，
解得a ＝7，m ＝3，所以b ＝6，n ＝2，
所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 2
4＝1.
(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4，
所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|
＝4
5， 所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×10×4×35＝12.。