(北师大版)武汉市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》检测(答案解析)

一、选择题
1．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ）
A ．
B
C ．13
-
D ．
13
2．已知抛物线E ：()2
20y px p =>的焦点为F ，准线为l ，经过点F 的直线交E 于
A ，
B 两点，过点A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为
C ，
D 两点，直线AB 交l 于G
点，若3AF FB =，下述四个结论： ①CF
DF
②直线AB 的倾斜角为π4
或3π4 ③F 是AG 的中点
④AFC △为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④
3．设AB 是过抛物线24y x =的焦点F 的一条弦（与x 轴不垂直），其垂直平分线交x 轴于点G ，设||||AB m FG =，则m =（ ） A ．
2
3
B ．2
C ．
34
D ．3
4．已知12,F F 分别为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，
使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A ．)+∞
B ．
C ．)+∞
D ．
5．P 是椭圆22
1169
x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k
的最大值与最小值之和是（ ） A ．16 B ．9 C ．7 D ．25
6．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，Q 两点，若
1F PQ 为等边三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A B C D 7．已知圆2
2
2
1:(0)C x y b b +=>与双曲线22
222:1(0,0)-=>>x y C a b a b
，若在双曲线2C 上
存在一点P ，使得过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则双曲线2C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．61,
2⎛⎤
⎥ ⎝⎦
B ．6,2⎡⎫
+∞⎪⎢
⎪⎣⎭
C ．(
1,3⎤⎦
D ．)
3,⎡+∞⎣
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别
交于A ，B 两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB 的面积为3，则p =（ ） A ．1
B ．
3
2
C ．2
D ．3
9．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且
12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则12
11
e e +的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．
32
D ．
52
10．已知1F 、2F 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于
P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PF
F △与12QF F 的面积之比为（ ） A ．23- B ．21- C ．21+
D ．23+
11．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则
①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；
③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；
④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点()0,0T x -，则直线TA 与该抛物线相切； 则以上说法中正确的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对
称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．1]
D ．1,1)
二、填空题
13．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>与直线11:2l y x =，21:2l y x =-，过椭圆上一点P
作12,l l 的平行线，分别交12,l l 于,M N 两点，若||MN 为定值，则
a
b
=__________. 14．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为
a
b
的直线l 与双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有13PM MF =，则双曲线的渐近线方程为________．
15．已知双曲线22
19x y m
-=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________
16．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230
MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.
17．已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则
PF
PA
的最小值为 ________. 18．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设,A B 在y 轴上的投影分别为,A B ''，若()3
2
AB AA BB ''=
+，则直线l 的斜率为______. 19．动圆M 与圆2
2
1:(1)1C x y ++=外切，与圆2
2
2:(1)25C x y -+=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是__________.
20．已知1F 、2F 是椭圆
22
143
x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．
三、解答题
21．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭
圆C 的左、右焦点．
（1）求椭圆C 的方程．
（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
2
2
，且椭圆C 经过点21,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆的上顶点为A ，过点A 作椭圆C 的两条动弦AB ，AC ，若直线AB ，AC 斜率之积为1
4
，直线BC 是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.
23．已知椭圆C ：22
194
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且不平行于坐标轴的
直线l 交椭圆于A ，B 两点.
（1）求1AF B △的周长；
（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得点P 到直线m ：2100x y +-=的距离最大？若存在，求出最大距离；若不存在，说明理由.
24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点B
AB 与圆22
4
:5
O x y +=
相切. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设p 椭圆C 上位于第三象限内的动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问四边形ABNM 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
25．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹，已知点M 与两个定点O （0，0），A （3，0）的距离比为2. （1）求动点M 轨迹C 的方程； （2）过点A 斜率为1
2
-
的直线l 与曲线C 交于 E 、F 两点，求△OEF 面积. 26．椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>
的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，短轴的
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点(0,4)的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率.
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一、选择题 1．C 解析：C 【详解】
因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，
2
2
2
2
11
1y x my x m
+=⇒-=-,
123
m =⇒=-， 故选C.
2．D
解析：D 【分析】
由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出AB 的方程，与抛物线方程联立，可得A ，B 横坐标的积，结合已知向量等式求解A 的坐标，再求出AF 所在直线斜率，可得
AB 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知D 正确．
【详解】
解：如图，由抛物线定义可知，AC AF =，BD BF =， 则AFC ACF CFO ∠=∠=∠，BFD BDF DFO ∠=∠=∠， 则2
AFC BFD CFO DFO CFD π
∠+∠=∠+∠=∠=
，
CF DF ∴⊥，故①正确；
设AB 所在直线方程为()2
p
y k x =-
， 联立2()22p y k x y px
⎧
=-⎪⎨⎪=⎩，得22222
(2)04k p k x k p p x -++=．
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
则2
124
p x x =，
又3AF FB =，∴123()22
p p
x x +
=+，即123x x p =+， 联立2
121
243p x x x x p
⎧=⎪⎨⎪=+⎩ ，解得12p
x =-（舍)或1
32x p =，
则1y
，即3
()2
A p ，
则
22
FA k p p =
=-，可得直线AB 的倾斜角为3π，④正确 由对称性，若A 在x 轴下方，则直线AB 的倾斜角为
23
π
，故②错误．
由3
()2A p ，(,0)2p F ，G 点的横坐标为2
p -，可得F 是AG 的中点，故③正确；
故选：D ． 【点睛】
本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．
3．B
解析：B 【分析】
联立直线AB 与抛物线方程，求出E 点坐标以及直线EG 的方程，可得||FG ，利用定义求出弦长||AB ，可得m 的值． 【详解】
设:1AB x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,E x y ，联立方程组
2
14x ty y x
=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ty --=，所以124y y t +=，12
022y y y t +==，2021x t =+，即()2
21,2E t t +，所以EG 的方程为()2221y t t x t -=---.令0y =，得223x t =+，因此()2
||21FG t =+.又
12||2AB x x =++=()()2122241t y y t +++=+，所以1
||||2
FG AB =
，从而2m =. 故选：B 【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，属于中档题．
4．A
解析：A 【分析】
由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】
设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，
点()
2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，
则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，
可得()
44244224
20b a x a cx a c a b ----=，
A 在右支上，4224
44
0a c a b b a
--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，
即2220c a ->，则可得e >
故选：A. 【点睛】
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
5．D
解析：D 【分析】
设(),P x y ，根据标准方程求得2
71616
k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】
因为椭圆方程为椭圆22
1169
x y +=，所以4,a c =
设(),P x y ， 则2
127·
1616
k PF PF x ==-
, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.
6．D
解析：D 【分析】
利用1F PQ 为等边三角形可得2
1222b PF PF a
==，利用椭圆定义得,,a b c 的方程，消
去b 后可得()
222
32a c a -=，从而可得离心率.
【详解】
不妨设椭圆的标准方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，
半焦距为c ，左右焦点为12,F F ，设P 在第一象限，则()2,0F c .
令x c =，则22221c y a b +=，解得2P b y a =，故2
2b
PF a
=，
1F PQ 为等边三角形，则1PF PQ =，即2
1222b PF PF a
==，
由椭圆定义得12
2PF PF a +=，故232b a a
⨯=，即()222
32a c a -=， 故2
13e =
，解得3
3e =
. 故选：D. 【点睛】
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．
7．B
解析：B 【分析】
根据题意，若过点P 所作的圆1C 的两条切线互相垂直，则2OP b =，则只需在双曲线
上存在一点到坐标原点额距离为2b ，设点(),P x y ，则利用
22
2
2
2
212x OP x y x b b a ⎛⎫
=+=+-= ⎪⎝⎭
有解求出离心率e 的取值范围.
【详解】 如图所示，
设点P 为双曲线上一点，过点P 作圆222
1:(0)C x y b b +=>的两条切线PA 与PB ，切点分别为A 与B ，连接OP ，若两条切线互相垂直，则22OP OB b =
=，
设点(),P x y ，则22
2
2
2
212x OP x y x b b a ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭
有解，整理得22
2
23c x b a =有解，即222
2
3a b x c
=，又22
x a ≥，所以2231b c ≥，又222b c a =-，故22233c a c -≥，解得6
2c e a =
≥
. 故选：B.
【点睛】
本题考查双曲线离心率的取值范围求解，求解离心率的的值及取值范围的关键在于画出图形，根据图形找到各边的数量关系，通过数量关系列出,,a b c 的齐次式求解.
8．C
解析：C 【分析】
求出双曲线的渐近线方程与抛物线22(0)y px p =>的准线方程，进而求出A ，B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，AOB 3p 的值． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线方程是b y x a
=±，
又抛物线22(0)y px p =>的准线方程是2
p
x =-， 故A ，B 两点的纵坐标分别是2pb y a
=±
，
又由双曲线的离心率为2，所以2c a =
2
=
，则b a = A ，B
两点的纵坐标分别是=y 又AOB
=，得2p =， 故选：C ． 【点睛】
本题解题的关键是求出双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程，解出A ，B 两点的坐标，考查离心率公式和三角形的面积公式．
9．A
解析：A 【分析】
设双曲线2C 的方程为22
221x y a b
-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定
义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】
设双曲线2C 的方程为22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，焦点()2,0F c ，
因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==， 又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=， 所以122PF c a =-， 设椭圆的长轴长为2a '，
根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，
所以121122a a c a a
e e c c c c
'-+
=+=+=. 故选：A. 【点睛】
求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
10．D
解析：D 【分析】
设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得
433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入
4
33
t a =+计算即可得解. 【详解】
可设1PF t =，则1122QF PF t ==，
1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，
由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-， 则2
2
21
1PQ PF QF +=，即()2
22434a t t t -+=，
即有433a t t -=，解得33
t =
+， 则12PF F △与12QF F 的面积之比为
(
)
1212
2222
31
233238222
31233
PF F QF F a a S PF a t S QF a t a -
-+===
==+---+△△.
故选：D. 【点睛】
方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.
11．D
解析：D 【分析】
由抛物线的性质可判断①；连接11,A F B F ，结合抛物线的性质可得1190A FB ∠=，即可判断②；设直线:2
p
AB x my =+
，与抛物线方程联立，结合韦达定理、向量共线可判断③；求出直线TA 的方程，联立方程组即可判断④. 【详解】
对于①，设,AF a BF b ==，则11
,AA a BB b ，
所以线段AB 的中点到准线的距离为
2
2
AB
a b
， 所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确； 对于②，连接11,A F B F ，如图，
因为11,AA AF BB BF ==，11
180BAA ABB ，
所以11
180********AFA BFB ，所以()112180AFA BFB ∠+∠=，
所以1
190AFA BFB 即1190A FB ∠=，
所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确； 对于③，设直线:2
p
AB x my =+
，()()1122,,,A x y B x y ， 将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0∆>，则2
12y y p =-， 又2
111
112,,,,22y p
OA
x y y OB y p ， 因为
2
2
11222
y y p p
p
，22
1112
12
12
2
2
y y y y y y p y p p p ，
所以2
112y OA
OB p
，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确； 对于④，不妨设(002A x px ，则00
2AT px k =，
则直线002:x AT x x p =
-，代入抛物线方程化简得020
2220x px p
y p +=-，
则0
02
0228x p p
px ⎛⎫
∆=- ⎪ -⎪⎭
=⎝
，
所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确.
故选： D. 【点睛】
关键点点睛：①将点在圆上转化为垂直关系，将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离，将点共线转化为向量共线；
②设直线方程，联立方程组解决直线与抛物线交点的问题.
12．A
解析：A 【分析】
设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设
'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到
2
2
2m n c n m b
+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由2
2
1c b e a a
==-求解. 【详解】 如图所示：
设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，
在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，
所以2
22m n c n m b +=，
令m t n =，得2
212t c t b
+=，
又由2FB FA FB ≤≤，得
[]1,2m
t n
=∈， 所以221252,2c t t b ⎡⎤
+=∈⎢⎥⎣⎦，
所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，
所以c e a ==⎣⎦
，
所以离心率的取值范围是⎣⎦
， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
二、填空题
13．4【解析】当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以所以为定值则所以点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系此类问题的解答中主要特例法的应用
解析：4 【解析】
当点(0,)P b 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11
,22
y x b y x b =
+=-+， 联立1212y x b y x
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得(,)2b M b ，同理可得(,)2b N b -，所以2MN b =,
当点(,0)P a 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,2222
a a
y x y x =
-=-+， 联立122
12a y x y x
⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得(,)24a a M ，同理可得(,)24a a N -，所以
2a MN =, 所以MN 为定值，则22a
b =
，所以4a b
=. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答中主要特例法的应用，是解答选择题的一种方法，本题的解答中取点P 分别为长轴和短轴的端点，联立方程组，求得
MN ，得出,a b 的关系式是解答关键，平时应注意特殊值等方法在选择题解答中的应用. 14．【分析】根据题意求出点M 的坐标再根据求出点P 的坐标将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出进而求出双曲线的渐近线方程【详解】设双曲线的左焦点为所以直线l 的方程为：由直线l 与其中一条渐近线交于点M 且有可知解
解析：4
3
y x =±
【分析】
根据题意求出点M 的坐标，再根据13PM MF =求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入双曲线方程即可求出b
a
，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】
设双曲线的左焦点为(),0c -，所以直线l 的方程为：()a
y x c b
=
+， 由直线l 与其中一条渐近线交于点M ，且有1PM=3MF ，
可知()a y x c b b y x a ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程可得2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，即2,a ab M c c ⎛⎫-
⎪⎝⎭， 过点M 、P 分别作x 轴垂线，垂足为A 、B 因为1
3PM MF =，
所以1114AF BF =
，1
4
AM BP =， 不妨设04,ab P x c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则204c x a c c +-
=，解得2
043a x c c
=-， 所以2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点2443,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭
代入()222210,0x y a b a b -=>>， 即()
2
2
222
44310,0a ab c c c a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=>>，
整理可得22925c a =，即()
222
925a b a +=，
解得2216
9
b a =，43b a ∴=，所以双曲线的渐近线方程为43y x =±.
故答案为：43
y x =± 【点睛】
本题考查了双曲线的简单几何性质，此题要求有较高的计算能力，属于中档题.
15．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等
解析：27 【分析】
根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值 【详解】
根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m => ∵双曲线的离心率为2
∴
2c
a
=，而222c a b =+ ∴27m = 故答案为：27 【点睛】
本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值
16．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题
【分析】
先根据题意得2,b P c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再根据向量关系得1
2
12
::1:2:3MPF MPF MF F S
S
S
=，再算出
2,32c b M a ⎛⎫
⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】
由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
则12
2PF F b c
S a
=，由21230MF MF MP ++=， 则1
2
12
::1:2:3MPF MPF MF F S S
S
=，
则2
22
132PMF b c b S d a a
==⋅⋅，则23c d =，则3M
c x =， 由12
21222F MF b c S
c h a ==⋅⋅，则2
2b h a
=
， 则2
2M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，由点M 在直线2y x =上，
则22222234334343023
b c
b a
c c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，
则e =
，由1e >，则e =
.
【点睛】
本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.
17．【分析】过P 做准线的垂线根据定义可得将所求最小转化为的最小结合图像分析出当PA 与抛物线相切时最小联立直线与抛物线方程根据判别式求出PA 斜率k 进而可得的值代入所求即可【详解】由题意可得抛物线的焦点准线
解析：
2
【分析】
过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求
PF
PA
最小，转化为sin PM
PAM PA
=∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

【详解】
由题意可得，抛物线24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，过P 做PM 垂直于准线，M 为垂足，如图所示。

由抛物线定义可得PF PM =，则
sin ,PF PM
PAM PA PA
==∠PAM ∠为锐角，故当PAM ∠最小时，PF PA 最小，即当PA 与
抛物线相切时，
PF
PA
最小。

设直线PA 斜率为k ，所以直线PA 的方程为(1)y k x =+，与抛物线联立2(1)
4y k x y x =+⎧⎨=⎩
可得
2222(24)0k x k x k -++=，因为相切，所以方程只有一个实根，故
2222(24)40k k k ∆=--⨯⨯=，解得21k =，1k =±，不妨令1k =，此时
45PAx ∠=︒，45PAM ∠=︒，所以
2
sin 452
PF PM PA PA ==︒=。

故答案为
2
2
【点睛】
本题考查抛物线的定义，图形的几何性质，难点在于分析出当PA 与抛物线相切时，
PAM ∠最小，再联立方程求解即可，属中档题。

18．【分析】根据抛物线的定义可构造方程求得设直线的倾斜角为根据焦点弦长公式可构造方程求得进而得到的值即为结果【详解】由抛物线的定义可知：设直线的倾斜角为则即直线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦 解析：2±【分析】
根据抛物线的定义可构造方程求得AB ，设直线l 的倾斜角为α，根据焦点弦长公式可构造方程求得2sin α，进而得到tan α的值即为结果. 【详解】
由抛物线的定义可知：
()3
1122
AB AF BF AA BB AA BB AA BB ''''''=+=+++=++=
+， 4AA BB ''∴+=，6AB ∴=.
设直线l 的倾斜角为α，则246sin AB α=
=，2
2sin 3
α∴=，tan 2α∴=±
即直线l 的斜率为
故答案为： 【点睛】
本题考查抛物线焦点弦相关问题的求解，关键是熟练掌握抛物线的焦点弦长公式：
1222sin p
AB x x p α
=++=
. 19．【分析】首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆然后根据相关的两求出椭圆的方程【详解】解：设动圆的圆心为：半径为动圆与圆外切与圆内切因此该动圆是以原点为中心焦点在轴上的椭圆且解得∴椭圆的方程为：故
解析：
2
2
19
8
x y
【分析】
首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程． 【详解】
解：设动圆的圆心为：(,)M x y ，半径为R ，
动圆与圆221:(1)1M x y ++=外切，与圆222:(1)25M x y -+=内切， 12||||156MM MM R R ∴+=++-=， 1212||||||MM MM M M +>，
因此该动圆是以原点为中心，焦点在x 轴上的椭圆，且26a =，1c =， 解得3a =， ∴2228b a c =-=，
∴椭圆的方程为：
2
2198x y ，
故答案为：
2
219
8
x y ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．
20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角
解析：3
2
【分析】
对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得
1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.
【详解】
在椭圆22
143
x y +=中，2a =
，b =1c =，则122FF =.
（1）若12F MF ∠为直角，则()12222
1224
24MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； （2）若12MF F ∠为直角，则()12222
212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得12
32
52MF MF ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 121211133
22222
MF F S F F MF ∆∴=
⋅=⨯⨯=； （3）若12MF F ∠为直角，同理可求得123
2
MF F S ∆=. 综上所述，1232
MF F S ∆=. 故答案为：32
. 【点睛】
本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）22
143
x y +=；（2）6.
【分析】
（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得223
4
b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得
2219
14a b
+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出
1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：1
1x y m
=-
-与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值. 【详解】
（1）由题意，得222221149
1
41b e a a b
⎧=-=
⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为
22
143
x y +=． （2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.
设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，
由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=， 12122269,
34
34
m
y y y y m m +=
=-
++，
因为11AF F B QA QB λλ⎧=⎨=⎩
，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩ 则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-
=-，解得1201223
y y y y y m
==-+．
于是1
FQ =． 直线2l 的方程为：1
1x y m
=-
- 联立11
1
x y m
x ⎧
=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，
，所以1PF =． 所以()1
2
113111362PQF m S
FQ F P m m m +⎛⎫
=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝
⎭， 当且仅当1m =±时，(
)
1min
6PQF S =．
【点睛】
关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223
y y y y y m
=
=-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出
三角形的面积，属于中档题.
22．（1）2
212
x y +=（2）一定经过定点，定点为(0,3).
【分析】
（1）根据离心率求出2
2
12b a =
，代入1,2M ⎛ ⎝⎭
可得22a =，从而可得椭圆方程；
（2）设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为
1
4k
，联立直线与椭圆方程求出B 、C 的坐标，求出直线BC 的方程，令0x =，得3y =，由此可得答案. 【详解】
（1）设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
由2
c e a =
=
得2c =，所以2222
221122b a c a a a =-=-=， 所以22
2221x y a a +=，因为椭圆C
经过点M ⎛ ⎝⎭
， 所以2
2
1
21
21a
a
⨯+=，得2
2a =， 所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=.
（2）由椭圆的方程得(0,1)A ，
设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为14k
， 所以直线AB 、AC 的方程分别为：
1y kx =+，1
14y x k
=
+， 联立22
112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22(12)40k x kx ++=， 解得0x =或2412k x k =-+，所以2412B k x k =-+，2
2
1212B k y k
-=+， 所以222412(,)1212k k B k k --++，同理可得222881
(,)1881
k k C k k --++，
所以22
222281128112841812BC
k k k k k k k k k
---++==-+++2412k k +， 所以直线BC 的方程为：2222
12414()12212k k k
y x k k k
-+-=+++， 令0x =，得3y =，
所以直线BC 一定经过一定点(0,3). 【点睛】
关键点点睛：求出直线BC 的斜率和方程是解题关键.
23．（1）12；（2
）存在；. 【分析】
（1）根据椭圆方程可得长轴长，利用椭圆定义可求得结果；
（2）假设存在点P ，则点P 为平行于直线m 的直线与椭圆C 的切点，假设切线方程为
20x y p ++=，与椭圆方程联立后利用0∆=可求得切线方程，利用平行直线间距离公式
可求得结果. 【详解】
（1）由椭圆C ：22
194
x y +=可知，椭圆的长轴长26a =，
由椭圆的定义可知，1226AF AF A +==，1226BF BF a +==， 又∵直线l 过焦点2F 交椭圆与A ，B 两点.
1AF B ∴的周长为：
()()11221112126612AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF ++=+++=+++=+=.
（2）假设椭圆C 上存在点P ，使得点P 到直线m ：2100x y +-=的距离最大，则点P 为平行于直线m 的直线与椭圆C 的切点.
设与直线l ：2100x y +-=平行且与椭圆C 相切的直线n 方程为：20x y p ++=.
联立2220
19
4x y p x y ++=⎧⎪
⎨+=⎪⎩，整理得：22251891440x px p ++-=，
∵直线20x y p ++=与椭圆C 相切，∴()()
2
2
1810091440p p ∆=--=，
解得：5p =±.
当5p =时，直线n 与椭圆C 的切点到直线m 的距离最大，且此最大距离也是直线n 与直线m 之间的距离，此时直线n 的方程为250x y ++=， 直线m ：2100x y +-=与直线n ：250x y ++=
的距离d =
=
∴椭圆C 上存在点P ，使得点P 到直线m ：2100x y +-=
的距离最大，最大距离为.
【点睛】
方法点睛：本题考查椭圆上的点到直线距离的最值问题的求解，求解此类问题的基本方法是假设与已知直线平行的椭圆切线方程，将切线方程与椭圆方程联立，利用0∆=可求得切线方程，利用平行直线间距离公式可求得所求最值.
24．（1）2
214
x y +=；（2）是定值，定值为2.
【分析】
（1
）由题意可得==
,a b 的值，进而可得椭圆的方程；
（2）设()()0000,0,0,P x y x y <<从而可表示出直线PA 的方程，然后求出点M 的坐标，得到BM 的值，同理可得到AN 的值，进而可求得四边形ABNM 的面积，得到结论 【详解】
（1）解：由题意知直线:AB bx ay ab +=
，所以⎧=⎪⎪=
2a =，
1b =，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=，
（2）证明：设()()2
2
000000,0,0,44P x y x y x y <<+=.
因为()()2,0,0,1A B ，所以直线PA 的方程为()0
022
y y x x =
--，令0x =，得0
022
M y y x =-
-， 从而0
02112
M y BM y x =-=+-. 直线PB 的方程为0011y y x x -=
+令0y =，得001
N x
x y =--，从而0
0221
N x AN x y =-=+
-. 所以四边形ABNM 的面积0000211212212x y s AN BM y x ⎛
⎫⎛⎫=
=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
‖ ()22
000000000000000000444842244222222
x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++--+--+===--+--+.
所以四边形ABNM 的面积为定值2. 【点睛】
关键点点睛：解题的关键是由题意将BM ，AN 表示出来，从而可得四边形ABNM 的面积.
25．（1）228120x y x +-+=；（2. 【分析】
（1）设(,)M x y ，由已知得 ||2||OM AM =，由两点的距离公式可得
= ，化简可得动点M 轨迹C 的方程；
（2）根据直线的点斜式方程可得方程()1
:032
l y x -=-
-，由点到直线的距离公式求得圆圆心()40，
到直线l 的距离和原点到直线 l 的距离，根据三角形的面积公式可求得答案. 【详解】
（1）设(,)M x y ，则
||
2||2||||
OM OM AM AM =⇒=，= ，
所以动点M 轨迹C 的方程为228120x y x +-+=； （2）直线()1
:032
l y x -=--，即230x y +-=，又圆22(4)4x y -+=，圆心()40，
到直线l
，
所以2
EF == l
所以 1
2OEF S ∆==
. 【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程，以及运用几何法求圆的弦长，属于中档题. 求点的轨迹方程的常用方法之一：直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(),x y ； （2）写出适合条件的点M 的集合(){}
|P P M P M =； （3）将()P M “翻译”成代数方程(),0f x y =； （4）化简代数方程(),0f x y =为最简形式.
一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程.
26．（1）2
214
x y +=；（2）
【分析】
（1）根据抛物线2y =的焦点为)
，解得c =
1
22
c b ⨯⨯=b 即可. （2）设直线l 方程为4y kx =+，与椭圆方程联立，根据坐标原点O 在以AB 为直径的
圆上，由OA OB ⊥，即12120x x y y ⋅+⋅=求解. 【详解】
（1
）因为抛物线2y =
的焦点为)
，
由题意得：c =
所以
1
22
c b ⨯⨯= 解得1b =，24a =，
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
（2）由题意设过点(0,4)的直线l 方程为4y kx =+，
设()()1122,,,A x y B x y ，由22
414
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22
1432600k x kx +++=， 则121222
3260
,1414k x x x x k k +=-
⋅=++，
()()2
232240140k k ∆=-+>
，解得k >
k <， 因为坐标原点O 在以AB 为直径的圆上， 所以OA OB ⊥，即12120x x y y ⋅+⋅=，
即()
()2
121214160k x x k x x +⋅+++=， 所以(
)()
2
2
260
32141601414k k
k k
k
++-+=++，
即219k =，
解得k =适合0∆>， 所以直线l 的斜率是
. 【点睛】
易错点点睛：易错点是由坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，转化为OA OB ⊥，由
12120x x y y ⋅+⋅=，求得斜率，而忽视要满足.0∆>.。