江西省赣州市南康第八中学高二数学文月考试题含解析

江西省赣州市南康第八中学高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为（）
A． B．C． D
．
参考答案：
C
2. 已知i为虚数单位，复数z满足，是复数z的共轭复数，则下列关于复数z的说法正确的是（）
A. B.
C. D. 复数z在复平面内表示的点在第四象限
参考答案：
C
【分析】
利用复数的除法求出，然后求出，，以及对应点的坐标，依次排除答案。

【详解】由，可得，
，，，复数在复平面内表示的点为，在第二象限；
故答案选C
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法以及复数的几何意义，属于基础题。

3. 椭圆的一个焦点坐标为，那么的值为（）
A B C
D 参考答案：
C
4. 已知，则( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
由已知根据三角函数的诱导公式，求得，再由余弦二倍角，即可求解．
【详解】由，得，又由．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了本题考查三角函数的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式及余弦二倍角公式的应用是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
5. 若，函数的图像向右平移个单位长度后关于原点对称，则的最小值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
【分析】
求出平移后的图像对应的解析式，再利用其关于原点对称得到满足的等式，从而可求其最小值.
【详解】函数的图像向右平移个单位长度后，
对应图像的解析式为，因为的图像关于原点对称，
所以，
故，因，故的最小值为，故选B.
【点睛】一般地，如果为奇函数，则，如果为偶函数，则.
6. 用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90°”，下列假设中正确的是（）A．假设有两个内角超过90° B．假设有三个内角超过90°
C．假设至多有两个内角超过90° D．假设四个内角均超过90°
参考答案：
D
7. 如图所示的平面图形是由正方形和其内切圆及另外4个四分之一圆弧构成，若在正方形内随机取一点，用A表示事件“点落在正方形的内切圆内”，B表示事件“点落在阴影部分内”，则
（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
8. “自然数中a,b,c恰有一个偶数”的否定
为( )
A．自然数a,b,c 都是奇数B．自然数a,b,c都是偶数
C．自然数a,b,c中至少有两个偶数 D．自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数
参考答案：
D
略
9. 过函数y=sinx图象上一点O（0，0）作切线，则切线方程为（）
A．y=x B．y=0 C．y=x+1 D．y=﹣x+1
参考答案：
A
略
10. 下列命题中正确的个数是( )
①x∈R,x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；
③x∈{x|x是无理数}，x2是无理数
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线的焦点是；离心率为
；渐近线
为．
参考答案：
（0，5），（0，﹣5）,,y=x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用双曲线方程直接求解双曲线的焦点坐标，离心率以及局限性方程即可．
【解答】解：双曲线，可得a=4，b=3，c=5，则双曲线的焦点是（0，5），（0，﹣5）；离心率为：e=；
渐近线方程为：y=x；
故答案为：（0，5），（0，﹣5）；；y=x．
12. 已知随机变量X～B(5，)，则P(X≥4)＝________。

参考答案：
13. 函数的最大值为__________.
参考答案：
14. 平面向量，，两两所成角相等，且||=1，||=2，||=3，则|++|为．
参考答案：
或5
【考点】向量的三角形法则．
【分析】由平面向量，，两两所成角相等，可得两两所成角为0°或120°．再利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：∵平面向量，，两两所成角相等，
∴两两所成角为0°或120°．
∵||=1，||=2，||=3，
当所成角为120°时，
∴=1×2×cos120°=﹣1，
=﹣，
=﹣3，
则|++|===．
同理可得：当所成角为0°时，
则|++|==5．
故答案为：或5．
15. 半径为r的圆的面积，周长，若将r看作（0，+）上的变量，则
①
①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；
对于半径为R的球，若将R看作（0，+）上的变量，请你写出类似于①的式子：
▲②.
②式可用语言叙述
为：▲
参考答案：
略
16. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．
参考答案：
5
【考点】7F：基本不等式．
【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．
【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0
∴
∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5
当且仅当即x=2y=1时取等号
故答案为：5
17. 正方体中，与对角线异面的棱有条；
参考答案：
6
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设λ∈R，f（x）=，其中，已知f（x）满足
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求不等式的解集．
参考答案：
【考点】两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；正弦函数的对称性；余弦函数的图象．
【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和的正弦函数，化简函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解即可．
（2）直接利用余弦函数的图象与性质，写出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）f（x）=，其中
，
=λsinxcosx﹣
cos2x+sin2x=…（2分）
∵，∴…（3分）
∴
令，
得，
∴f（x）的单调递增区间是…（7分）
（2）∵，
∴
∴
∴
不等式的解集是…（12分）
【点评】本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，三角函数的单调性的应用，考查计算能力．
19. 已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）把直线l的方程化为m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，令，求出方程组的解即得；
（2）根据圆C的圆心到定点A的距离d＜r，得出A点在圆C内，直线l与圆C相交；
（3）求m=0时圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出直线l被圆C所截得的弦长即可．
【解答】解：（1）证明：直线l的方程可化为：
m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0，
令，解得，
∴直线l恒过定点A（3，1）；
（2）圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的圆心C（1，2），半径r=5，
点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离d==＜5=r，
∴A点在圆C内，即直线l与圆C相交；
（3）当m=0时，直线l的方程为x+y﹣4=0，
由圆心C（1，2）到直线l的距离为d′==，
半径r=5，
∴直线l被圆C所截得的弦长为2=2=7．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，以及直线恒过定点的问题，也考查了直线被圆所截得弦长的计算问题，是综合性题目．
20. 如右图，在矩形中，，沿对角线把折起到位置，
且在面内的射影恰好落在上
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成的角的正弦值.
参考答案：
证明：（I）由题意知，，
……6分
（II）.
所成的角.
又在Rt
即与平面所成角的正弦值为. ……12分
略
21. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为
（t为参数）．
（1）求椭圆方程；
（2）当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为？参考答案：
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；QH：参数方程化成普通方程．
【分析】求出椭圆的方程，化简直线的参数方程与标准形式，代入椭圆方程利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
【解答】解：椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，
椭圆方程为+x2=1，化直线参数方程为（t′为参数）．
代入椭圆方程得
（m+t′）2+4（t′）2=4?8t′2+4mt′+5m2﹣20=0
当△=80m2﹣160m2+640=640﹣80m2＞0，
即﹣2＜m＜2．
方程有两不等实根t′1，t′2，
则弦长为|t′1﹣t′2|==
依题意知==，解得m=±．
22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，，．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
参考答案：
（1）证明见解析；（2）；（3）．
试题分析：（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得
，再根据三角形中位线
性质得为的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法
向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小
试题解析：（1）设，的交点为，连接．
因为平面，平面平面，所以．
因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点．
（2）取的中点，连接，．因为，所以．
又平面平面，且平面，所以平面．
因为平面，所以．因为是正方形，所以．
如图，建立空间直角坐标系，则，，，
所以，．
设平面的法向量为，则，即．
令，则，，于是．
平面的法向量为，所以．
由题知二面角为锐角，所以它的大小为．（3）由题意知，，．
设直线与平面所成角，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．。