dd12-秋-08s-p10 勾股定理

第10讲勾股定理
1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即
2
2
2
,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：
满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

【例1】 下列说法正确的是（ ）
A. 若a b c ，，是A B C ∆的三边，则222
a b c +=
B. 若a b c ，，是R t ABC ∆的三边，则222a b c +=
C. 若a b c
，，是R t ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c += D. 若a b c ，，是R t ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=
D
C
B A G
F
E
H
c b
a
c
b
E
D C
B
A C
A
B c
b
a
【例2】 在R t ABC ∆中，90C ∠=︒，
（1）如果34a b ==，，则c = ； （2）如果68a b ==，，则c = ； （3）如果512a b ==，，则c = ；
（4）如果1520a b ==，，则c = .
【例3】 （1）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为
（2）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．
【例4】 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.
【例5】 已知直角三角形两边x ，y 的长满
足240x -+
=，则第三边长为
______________．
【例6】 如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为
【例7】 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，
时，梯足B 沿C B 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）
A ．x y =
B ．x y >
C ．x y <
D ．不确定
【例8】 如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果
梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米（填“大于”、“等于”、“小于”）
【例9】 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )
A. 6
B. 4.5
C. 2.4
D.8
【例10】 若A B C ∆的三边a b c ，，满足条件：222
338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长
边上的高为
【例11】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )
A. 1倍
B. 2倍
C. 3倍
D. 4倍
6
8
C
A
【例12】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，
则折断点C 到旗杆底部B 的距离为
【例13】 已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，如果8cm AB =，
10cm BC =，求EC 的长．
【例14】 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，
现将直角边A C 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？
【例15】 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面
积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为
【例16】 如图1，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用1S 、2S 、3S 表
示，则不难证明123S S S =+．
⑴ 如图2，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用1S 、2S 、3S 表示，那么1S 、2S 、3S 之间有什么关系？（不必证明）
⑵ 如图3，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用1S 、2S 、
3S 表示，请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明．
E
D
C
B
A
A
B
C S 1
S 3
S 2
图3
A
B
C S 1
S 3S 2图2图1
S 2
S 3
S 1
C
B
A C B
A
【例17】 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边
长为7cm ，则正方形A B C D ，，，的面积之和为_______cm 2
.
【例18】 如图，在A B C ∆中，AD 是BC 边上的中线，且AE BC ⊥于E ，若12AB =，=10BC ，=8AC ，求D E 的长.
【例19】 张大爷家承包了一个长方形鱼池，已知其面积为2
48m ，其对角线长为10m ，为建立栅栏，
要计算这个长方形鱼池的周长，你能帮张大爷计算吗？
【例20】 如图,点P 是AO B ∠的角平分线上一点，过点P 作//PC O A 交O B 于点C .若
60,4AOB OC ∠==
,则点P 到O A 的距离PD 等于__________.
【例21】 如图，在A B C ∆中，==4AB AC ，P 是BC 上异于,B C 的一点，求2AP BP PC + 的值.
【例22】 某片绿地的形状如图所示，其中60A ∠=
，AB BC ⊥，AD CD ⊥，200m AB =，
100m CD =，求AD 、BC 的长（精确到1m
1.732≈）.
E
D C
B
A
P
O
D
C B A P
C
B
A
D
C
B
A
【例23】 已知：如图，在四边形ABC D 中，90B ∠=︒，3A B =，4BC =，7C D =，8AD =．求这
个四边形的面积．
【例24】 如图，在直角梯形ABC D 中，AD BC ∥（BC AD >），90A B ∠=∠=︒，12AB BC ==，E
是AB 上一点，且45DCE ∠=︒，4BE =，求D E 的长．
【例25】 如图，M 是R t ABC ∆斜边AB 的中点，P ，Q 分别在A C ，BC 上，PM MQ ⊥，判断PQ ，
AP 与BQ 的数量关系并证明你的结论．
D
C
B A
E D
C
B
A
Q
P
M
C
B
A。