二次型的规范型唯一吗
矩阵论基础笔记
V分解为不变子空间的直和，取每个子空间的基构成空间的基，T在这 组基下的矩阵为准对角矩阵
Jordan标准型 主对角线上的元素就是A的全部特征值 Jordan矩阵构造 矩阵A有k个互异的特征值，则可以分为k个约当矩阵；每个约当矩阵有 m个线性无关的特征向量，则约当矩阵可以分为m个约当块。每个约当 块的第1个向量就是它的特征向量，其他的都是广义特征向量。
正交矩阵的行列式为+-1；酉矩阵的行列式模长为1
正交矩阵的逆矩阵与乘积仍然是正交矩阵 正交矩阵（酉矩阵）的列和行向量组是欧氏（酉）空间中的标准正交基 满秩分解 任何矩阵都可以做满秩分解 把矩阵A初等行变换化为简化阶梯型（Hermite标注型）H，H中极大线 性无关列位置对应A的列向量构成矩阵B,H中非零行构成矩阵C,则A=BC 正规矩阵 A属于Cnn是正规矩阵的充分必要条件是 A酉相似于对角矩阵
直和子空间
n 设W1与W2是线性空间V的子空间，W=W1+W2，如果W1 W2={0},
则称W是W1与W2的直和子空间，记为： W=W1+W2 投影矩阵 A=(B:0)(B:C)-1\ 由空间的基得到投影矩阵 A=B(BHB)-1B 向量x投影为Ax 矩阵变换过程中，注意对于含有未知数的，不要随意相乘 正定矩阵 正定矩阵在合同变换下可化为标准型，即单位矩阵
矩阵可逆（以下命题等价） 行列式不为0 满秩矩阵 可以表示成若干个初等矩阵之积 列（行）向量组线性无关
初等矩阵 任意矩阵可经过一系列初等变换化为标准型。
行列初等变换 初等行变换可把矩阵化为行阶梯型或行最简型 简化阶梯型是阶梯型中每一行第一个非零元素为1，而且该元素所在的 列中的其他元素为0的特殊阶梯型 再经过初等列变换可以化为标准型
§3唯一性一、二次型的标准形不唯一,与所作的非退化线性替换有关
§3 唯 一 性一、二次型的标准形不唯一，与所作的非退化线性替换有关 我们看到，经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.又合同的矩阵有相同的秩，因此，经过非退化线性替换之后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等它对角线上不为零的元素的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩.至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.譬如上一节的例子，二次型2x 1x 2-6x 2x 3+2x 1x 3 经过线性替换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321*********w w w x x x 得到标准形2w 12-2w 22+6w 32而经过线性替换1122331112111231003x y x y x y ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦就得到另一个标准形.32212232221y y y +-这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.二、复数域上的二次型的规范形.设f （n x x x ,,,21 ）是一个复系数的二次型.经过一适当的非退化线性替换后，f （n x x x ,,,21 ）变成标准形.不妨假定它的标准形是,2222211r r y d y d y d +++ ,0≠i d .,,2,1r i = (1) 这里r 就是f （n x x x ,,,21 ）的矩阵的秩.因为复数总可以开 平方，再作一非退化线性替换 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++,,1,111111n n r r r r r z y z y z d y z d y(2)⑴就变成.22221r z z z +++ (3) ⑶称为复二次型f （n x x x ,,,21 ）的规范形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范性是唯一的.推论1：任一复对称矩阵都合同于一个形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0011 的对角矩阵.推论2：两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等.三、实数域上的二次型的规范形.设f （n x x x ,,,21 ）是一实系数的二次型.则经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f （n x x x ,,,21 ）变成标准形,22112211r r p p p p y d y d y d y d ---++++ (4)其中r i d i ,,1,0 =>;r 是f （n x x x ,,,21 ）的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++,,,1,111111n n r r r r r z y z y z d y z d y(5) ⑷就变成.221221r p p z z z z ---+++ (6)⑹称为实二次型f （n x x x ,,,21 ）的规范形.显然，规范形完全被r ，p这两个数所决定.定理4（惯性定理）： 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.证明 定理的前一半已经证明，下面就来证唯一性. 设实二次型f （n x x x ,,,21 ）经过非退化线性替换X =BY化成规范形f （n x x x ,,,21 ）=,221221r p p y y y y ---+++而经过非退化线性替换X =CZ有化成规范形f （n x x x ,,,21 ）＝.221221r q q z z z z ---+++现在来证p ＝q .用反正法.设p ﹥q .由以上假设，我们有221221r p p y y y y ---+++ =221221r q q z z z z ---+++ (7)其中Ｚ＝.1BY C - (8)令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-nn n n n n g g g g g g g g g G B C 2122221112111, 于是⑻为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=++=+++=.,,22112222121212121111n nn n n n n n n n y g y g y g z y g y g y g z y g y g y g z(9)考虑齐次线性方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=++++.0,0,0,0122111212111n p n qn q q n n y y y g y g y g y g y g y g (10) 方程组（10）含有n 个未知量，而含有q ＋（n －p ）＝n －（p －q ）<n个方程，因此（10）有非零解.令（n p p y y y y ,,,,,11 +）＝（n p p k k k k ,,,,,11 +）是（10）的一个非零解.显然.01===+n p k k因此，把它代入（7）的左端，所得的值为,0221>++p k k通过（9）把它代入（7）的右端，因为它是（10）的解，故有 .01===q z z所以得到的值为,0221≤---+r q z z这是一个矛盾，它说明假设 p ﹥q 是不对的.因此我们证明了p ≤q .同理可证q ≤p ，从而p =q .这就证明了规范形的唯一性.定义：在实二次型 f （n x x x ,,,21 ）的规范形中，正平方项的个数p 称为 f （n x x x ,,,21 ）的正惯性指数；负平方项的个数 r -p 称为f（n x x x ,,,21 ）的负惯性指数；它们的差p －（r －p ）＝２p －r 称为 f（n x x x ,,,21 ）的符号差.注意：虽然实二次型的标准形式不是唯一的，但标准形中系数为正的平方项的个数与规范形中正平方项的个数是一致的.因此，惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.。
6.3 二次型的规范性
再作非退化线性替换
1 y1 d z1 1 1 zr , yr dr yr 1 z r 1 yn z n
则
或 Y=D Z,
1 D diag( , d1
1 , ,1, dr
zr2
, 1)
2 2 f ( X ) Z '( D ' C ' ACD ) Z z1 z2
其中r 秩( A).
推论 两个复对称矩阵A、B合同 秩( A) 秩( B ).
定理4 任意一个实二次型，经过一适当的非退化 线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的. 即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵
1 1 0
－1的个数之和 = 秩 f = 秩(A)是唯一确定的.
③ 规范形是唯一的.
2、惯性定理
定理4 任一实二次型可经过适当的非退化 线性替换化成规范形，且规范形是唯一.
证明：只证唯一性. 设实二次型 f ( X ) X ' AX 经过非退化线性替换
X BY 化成规范形
2 f ( X ) y1 2 y2 y p p 1
nn 设复二次型 f ( X ) X ' AX , A' A C
经过非退化线性替换 X CY , C Cnn 可逆, 得 标准形
2 f ( X ) Y '(C ' AC )Y d1 y1
d r yr2
d i 0, i 1 , 2
r , 这里 r 秩 f 秩（A ）.
得 Z 0 GY0 (0 ,
0 , zq 1 ,
zn )
2 z 将其代入（3）的右端，得其值为 g 1
二次型的标准型和规范型
E 同样 的初等列变换 C CT AC为对角矩阵 . 作线性变换 x Cy,则可将二次型 f (x) xT Ax化为标准形 g( y) yT (CT AC) y.
例4 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3化为标准形. 例5 将二次型f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 6x2 x3化为标准形.
例1 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 化为标准形.
问题 : 设A为实对称矩阵,求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. 方法 : (1)求一正交矩阵Q,使QT AQ Q1AQ为对角矩阵. 令P Q即可. (2)求一正交变换x Qy(Q为正交矩阵),将二次型f (x) xT Ax化为标准形. 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换x Py(P为可逆矩阵),将二次型f (x) xT Ax化为 标准形, 则P即为所求.
2．清朝黄遵宪曾作诗曰：“钟声一及时，顷刻不少留。虽
有万钧柁，动如绕指柔。”这是在描写
()
A．电话
B．汽车
C．电报
D．火车
解析：从“万钧柁”“动如绕指柔”可推断为火车。
答案：D
[典题例析]
[例1] 上海世博会曾吸引了大批海内外人士利用各种
交通工具前往参观。然而在19世纪七十年代，江苏沿江
居民到上海，最有可能乘坐的交通工具是
2. 正交变换法 正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.
Th5.3(1)实对称矩阵A, 正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵. (2)任一二次型都可经正交变换化为标准形,即 二次型f (x) xT Ax, 正交变换x Qy(Q为正交矩阵),
二次型的规范形(精)
2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中， 系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所 作的非退化线性替换无关.
∵若 f ( x1 , , xn ) X ' AX 作非退化线性替换 X CY
的秩等于矩阵 A的秩，即秩 A）. 秩( D ) 秩 (C ' AC ) 秩f(＝秩（ A)
二次型的规范形
问题的产生：
1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化 线性替换有关. 如：二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x2
x1 1 1 3 y1 x1 1 1 z1 12 1 1 1 y (1)作非退化线性替换 x 2 1 1 2 1 3 1 z1 (2)作非退化线性替换 x2 x 0 0 1 y 3 3 0 0 1 3 x z 3 3 1 2 2 22 2 2 2 y1 2y 6 yz 得标准形 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 z z2 1 33 2 2 3
推论2、实二次型 f , g 具有相同的规范形
秩f 秩g，且 f 的正惯性指数= g 的正惯性指数.
推论3、实对称矩阵A、B合同
秩( A) 秩( B) 且二次型 X ' AX 与X ' BX 的正惯性
指数相等.
③规范形是唯一的.
惯性定理：任一实二次型可经过适当的 非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯
一.
定义：实二次型 f ( x1 xn ) 的规范形
2 y1 2 y2 y p p 1
yr2
中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数； 负平方项的个数 r p 称为 f 的负惯性指数； 它们的差 p (r p ) 2 p r 称为 f 的符号差.
线性代数上25规范形与正定性
正定矩阵的性质 1. 可逆线性替换不改变二次型的正定性. 2. 实对称阵 A 正定 ⇔ A 的特征值都大于0. 3. n 元实二次型正定 ⇔ 正惯性指数 p = n. 4. 实对称阵 A 正定 ⇔ A 与 I 相合. 5. 实对称阵 A 正定 ⇔ A = CTC, 其中 C 可逆. 6. 正定矩阵的行列式大于零. 反之不一定成立.
P T AP = diag ( I p , − I r − p , 0).
5
二、实二次型的正定性 正定二次型的定义 定义1 设 Q(α) = XTAX 是实二次型, 若对任何非零向量 α 都有 Q(α) > 0, 则称这个实二次型 Q(α) 为正定二次型. 正定二次型的矩阵称为正定矩阵.
2 2 2 例如 Q( x1 , x 2 ,L , x n ) = x1 + x 2 + L + x n 是正定二次型. 2 Q( x1 ,L , x n ) = x1 + L + x r2 , r < n, 不是正定二次型.
例5 设 A∈Mm,n(R), 且 A 的秩为 n, 证明 ATA 正定. 证明 由 (ATA)T = ATA 知 ATA 是 n 阶实对称阵, 以 ATA 为矩阵构造二次型 XTATAX, 因为 XTATAX = (AX)TAX ≥ 0, 且 (AX)TAX = 0 ⇔ AX = 0. 由 r(A) = n 知齐次线性方程组 AX = 0 只有零解. 从而有 AX = 0 ⇔ X = 0, 即 (AX)TAX = 0 ⇔ X = 0. 故 XTATAX 为正定二次型, ATA为正定矩阵.
(2)
(3)
形如(3)式的二次型称为复系数二次型的规范形. 显然 复系数二次型的规范形是唯一的, 其中 r 由二次型的 秩唯一确定, 因此有定理1. 定理1 任意一个复系数的二次型, 总可经过一个适当的 可逆线性替换, 化成规范形, 规范形是唯一的. 复二次型的规范形中非零项的个数 r 是一个不变量, 称为二次型的秩. ⎡ I r 0⎤ 推论 任意一个复对称矩阵相合于 ⎢ ⎥ , 其中 r 是对 ⎣ 0 0⎦ 称阵的秩.
线性代数卢刚版4.2二次型的标准形与规范型
1 , 2 , … , n ;
Step2
Step3
求出正交矩阵 P，使
P TAP = diag(1 , 2 , … , n) ; 作正交线性替换 x = Py ，
其中 y= (y1 , y2 , … , yn )T Rn ， 则二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 化为标准形
(1) f ( x1,x2 ,x3 ) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;
(2) f ( x1,x2,x3 ) x 4x2 x3 4x1x2 8x1x3 4x2 x3 .
2 1
2
2
用正交线性替换将二次型
f ( x1 , x2 ,…, xn)
= xTAx (其中 AT = A) 化为标准形的步骤: Step1 求出二次型矩阵 A 的全部特征值
1、用正交变换法 化二次型为标准形
由于二次型的矩阵为实对称矩阵，由于实对称 矩阵必可对角化，由此可得 定理4.2对于二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) = xTAx（AT=A） 存在n阶正交矩阵P，使得经过正交线性替换 x=Py
二次型 xTAx 化为标准形.
例 1 . 用正交线性替换化下列二次型为标准形, 并求出所作的正交线性替换:
化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.
解 先按 x12 及含有 x1 的混合项配成完全平方
2 f ( x1, x2 , x3 ) 2( x1 2x1 ( x2 x3 ) ( x2 x3 )2 )
2( x2 x3 )
2
2 3x2
2 x3
8x2 x3
2 2 2( x1 x2 x3 )2 x2 x3 4x2 x3
二次型的标准型与规范型
二次型的标准型与规范型二次型在数学中是一种重要的形式，它在线性代数、数值分析、优化理论等领域有着广泛的应用。
在二次型的研究中，标准型和规范型是两个关键概念。
本文将分别介绍二次型的标准型和规范型，探讨它们的性质以及应用。
二次型的标准型对于一个二次型，我们希望通过适当的变换将其化为最简单的形式，这就是标准型。
二次型的标准型是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是二次型各项的系数。
通过适当的正交变换，我们可以将任意的二次型化为标准型。
标准型的计算方法要将一个二次型化为标准型，可以利用矩阵的对角化方法。
首先，我们要找到一个合适的正交矩阵，使得通过正交相似变换，原二次型矩阵可以化为对角矩阵。
这个对角矩阵就是标准型。
标准型的性质标准型的主要性质是简单明了，可以清晰地展现二次型的特征。
通过标准型，我们可以方便地进行计算和分析，从而更好地理解二次型的结构和性质。
二次型的规范型除了标准型外，二次型还有一个重要的化简形式，即规范型。
规范型是将二次型中的常数项约化为零后的形式，它也是一个重要的化简形式。
规范型的计算方法要将一个二次型化为规范型，首先要消去二次型中的常数项，这可以通过适当的平移变换实现。
消去常数项后，我们就可以得到二次型的规范型。
规范型的性质规范型和标准型一样，也具有简洁明了的性质。
它帮助我们更好地理解二次型的特征和结构，为进一步的计算和分析提供了便利。
二次型的应用二次型的标准型和规范型在数学和工程领域都有着广泛的应用。
在数值计算中，标准型和规范型可以帮助我们简化计算，提高计算效率；在优化理论中，二次型的标准型和规范型可以帮助我们分析和解决优化问题。
总之，二次型的标准型和规范型是研究二次型的重要内容，它们为我们提供了一种简洁清晰的形式，帮助我们更好地理解和应用二次型的相关知识。
通过对标准型和规范型的研究，我们可以深入探讨二次型的性质和应用，为数学和工程领域的发展贡献力量。
以上就是关于二次型的标准型和规范型的介绍，希望对读者有所帮助。
二次型的规范形
二次型的规范形二次型的规范形是对二次型进行合适的线性变换，使得二次型的形式更加简洁和易于理解。
具体来说，对于二次型：\[Q(x)=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}x_i^2 + 2\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_ix_j \]其中，$a_{ii}$和$a_{ij}$为给定的系数，$x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T$表示$n$维向量。
下面将介绍二次型规范形的定义、性质和求解方法。
1. 定义：二次型规范形是指将二次型表示为只含平方项且系数为1的形式，即：\[Q(x)=x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\]2. 规范形的存在性：任意一个二次型都可以通过合适的线性变换转化为规范形。
这是因为任意二次型都可以通过矩阵的特征值分解表示为$Q(x)=x^TAX$的形式，其中$A$是一个对称矩阵。
对称矩阵存在特征值分解$A=P^TDP$，其中$P$是正交矩阵（即$PP^T=I$），$D$是对角矩阵。
构造线性变换$y=Px$，则有$Q(x)=y^TDy=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iy_i^2$，其中$\lambda_i$为$A$的特征值，$y_i$为$y$的分量。
如果将$y$的分量重新标记为$x_i$，则二次型$Q(x)$变为规范形。
3. 规范形的性质：规范形具有一些重要的性质：a. 二次型的规范形与二次型的特征值有密切联系。
特征值是矩阵$A$的本质属性，而规范形中的系数$1$可以看作特征值的简化形式。
b. 二次型的规范形具有正定、负定或半正定、半负定的性质。
正定指的是对于任何非零向量，二次型的值均大于零；负定指的是对于任何非零向量，二次型的值均小于零；半正定和半负定分别指的是对于任何向量，二次型的值均大于等于零或小于等于零。
正定和负定的二次型对于优化问题和矩阵理论都有重要的应用。
4. 求解规范形的方法：求解二次型规范形可以通过特征值分解的方法，具体步骤为：a. 计算对称矩阵$A$的特征值和特征向量，即解特征方程$|A-\lambda I|=0$，其中$\lambda$为特征值。
5.3规范形的唯一性
例如（220页）：二次型
f ( x1, x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x2
(1)作非退化线性替换
x1 1 1 3 1
x2 x3
同样的列变换 同样的列变换
由第二节标准形可知
“r”为二次型的秩
f (x1,x2,
,xn) xT Ax
x Cy 非退化线性变换 d1
y12
d2
y22
dr yr2
(标准形，di 0, 0 r n).
情形1：若上述二次型的系数在复数域上,对标准形作
非退化的线性变换
y
1
1 d1 z1
yr
●化规范形举例 例2： 作非退化线性替换 X CY 把实二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 3x22 2x1x2 2x1x3 6x2 x3 化为实数域中的规范形. （使用初等变换法）
●化规范形的初等变换法步骤
行变换
行变换
同样的列变换 同样的列变换
复系数：非零对角元只能“1”； 实系数：非零对角元只能“1，-1”
●化规范形举例
例1：已知二次型f (x1, x2, x3，x4 ) 经过非退化线性变换
x1 y1 y2 2 y3
x2 x3
y2 y3 y3
化为标准形 f 2y12 +y22 -3 y32 ,
x4 =
y4
试进一步化为规范形，分复系数，实系数两种情况，
考研数学北京航天航空大学线性代数二次型的规范形
y1
1 d1 z1
令
yr
1 dr zr
yr1 zr1
yn zn
实二次型可化为
f
z12 z22
z
2 p
z2 p1
zr2 .
称为实二次型的规范形.
定理2.2 任何实二次型经过满秩线性变换总可 化为规范形, 且规范形是唯一的.
证明 只需证明规范形唯一, 即p的个数确定.
反证法 若规范形不唯一.
实对称矩阵A合同于对角阵D, D的主对角元 素不为零的个数r, 正数个数p, 负数个数r p唯 一.
根据惯性定理, 实二次型的正、负惯性指数 与其秩一样, 也是满秩线性变换下的不变量.
因此虽然实二次型的标准形不唯一, 但标准 形中总项数r, 正项个数p都是唯一的.
可得
两实对称矩阵合同 其秩相等, 正惯性指数相等.
显然有kp+1=…=kn=0, 而k1, k2, …, kp不全为零,
因此方程组的解为 (k1, k2 , , k p ,0, ,0).
代入等式(*)左端得
k12 k22
k
2 p
0.
通过变换z=C-1By代入右端得
z1 zq 0,
z2 q1
z
2 r
0.
产生矛盾. 说明p>q不成立.
设存在两个实满秩线性变换x=By, x=Cz将实
二次型f (x1, x2, …, xn)分别化为两个规范形.
f
y12
y22
y
2 p
y2 p1
yr2 .
f
z12 z22
zq2
z2 q1
zr2 .
其中p q, 不妨设p>q.
由假设得
二次型的标准型
对于任何一个二次型，都存在可逆矩阵P，使得P^TAP成为标准型。这个结论是二次型理 论的重要基础。
二次型的标准型的唯一性
如果两个可逆矩阵P和Q都可以将二次型表示为标准型，那么它们一定可以通过相同的对 角矩阵来表示，也就是说，这两个标准型是等价的。
二次型的几何意义拓展
二次型的几何意义
案例二：二次型在力学计算中的应用
总结词
二次型在力学计算中被广泛应用，它可以 帮助我们更好地理解和分析物体的运动和 受力情况。
VS
详细描述
在力学计算中，二次型可以用于表示和度 量物体的质量和能量等物理量。例如，二 次型可以用于计算物体的动能和势能，以 及分析物体的运动轨迹和振动频率。通过 使用二次型，我们可以更好地理解和分析 物体的运动和受力情况，从而更好地预测 和控制物体的行为。
变得简单易解。
02
确定二次型的类型
通过观察标准型，可以确定二次型的类型。例如，对于一个实对称矩
阵来说，它的标准型一定是对角矩阵。
03
唯一性
由于任何二次型都可以化为标准型，并且这种标准型是唯一的，因此
在进行数值计算时，将二次型化为标准型可以避免数值误差的影响。
二次型的几何背景
二次型的几何意义
任何一个二次型都可以看作是向量空间中的一种度量。例如 ，对于一个三维向量空间来说，其上的任何一个二次型都可 以表示为三个向量的内积的组合。
二次型的图形表示
通过图形的方式，可以形象地表示二次型的形状和大小。例 如，对于一个椭圆来说，其上的任何一个点都可以用一个二 次型来表示。
02
二次型的矩阵表示
二次型与矩阵的关系
1
二次型可以被表示为矩阵形式，矩阵中的每个 元素对应于二次型中对应的项。
二次型的标准型和规范型
小结: 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P 1 A P为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q 1 A Q为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
பைடு நூலகம்
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形 化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
方法： A 对等的初等行、列变换 对角矩阵
E 同样 的初等列变换 C CT AC为对角矩阵 . 作线性变换 x Cy,则可将二次型 f (x) xT Ax化为标准形 g( y) yT (CT AC) y.
例4 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3化为标准形. 例5 将二次型f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 6x2 x3化为标准形.
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
二次型的规范型唯一吗
二次型的规范型唯一吗二次型是一个重要的研究对象，在线性代数的学习中占据重要的地位。
二次型是指由n个变量的平方和组成的多项式，具体的形式可以表示为：f(x) = x^T * A * x其中x = (x1, x2, ..., xn)为n维向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
接下来，我们将探讨二次型的规范型。
在讨论二次型的规范型之前，先介绍两个二次型之间的等价关系：相合和合同。
设二次型f(x)和g(x)都是由矩阵A确定的，如果存在一个n×n非奇异矩阵P，使得对于所有的向量x，有f(x) = g(Px)，那么我们称f(x)相合于g(x)。
如果二次型f(x)和g(x)相合且A和B合同，那么我们称f(x)合同于g(x)。
引进相合和合同的概念之后，我们接下来介绍二次型的规范型。
定义：若A经过合同变换，化为对角形。
定理一：对于任意的二次型f(x)，总存在一个非奇异矩阵P，使得g(Px)的矩阵A为对角矩阵。
定理二：设A是n阶实对称矩阵，则存在非奇异矩阵P，使得P^T * A * P的对角元素中1个为1，1个为-1，其余为0。
综合上述定理，我们可以得出结论：二次型的规范型不是唯一的。
因为可以通过不同的合同变换将二次型的矩阵A转化为对角形，而对角形的形式不是唯一的。
尽管对角矩阵在规范型中只能取1或-1，但对于某个特定的二次型来说，存在多种对应的对角矩阵，因此规范型也就不唯一。
举个简单的例子，考虑二次型 f(x) = x1^2 + x2^2，相应的矩阵为A = [1 0; 0 1]，它的规范型就是对角矩阵。
但是，我们也可以对矩阵A进行如下合同变换：P = [1 0; 0 2]，得到新的矩阵 B = P^T * A * P = [1 0; 0 4]，这个矩阵同样可以作为规范型。
所以，二次型的规范型并不唯一，可以通过合同变换得到不同的规范型。
总结起来，二次型的规范型不是唯一的，可以通过合同变换将二次型的矩阵转化为规范型，但规范型的形式不是唯一的。
63二次型的规范型.ppt
中南财经政法大学信息系
一、 概念的引入
设
f x12 9x22 4x32 (标准型)
y1 x1
令
y2
3x2
y3 x3
z1 x1
令
z2
3x2
z3 2x3
f y12 y22 4 y32 f z12 z22 z32
所以, 二次型的标准型不唯一.
二、惯性定理
推论 :两个实对称矩阵合同的充要条件为它们的秩 和正负惯性指数相等.
例２
1
3
1
A 2 B 2 C 3
1
1
4
则 A与C合同,A与B不合同.
例３ 判断下列对称矩阵是否合同
1 2 0 1 0 0 A 2 1 0, B 0 2 0
0 0 1 0 0 1
解：
1 2 0
z3
则
f
z12
z
2 2
z32 .
所作的线性变换为
1 0
0
x1 1 3
x2 x3
2 2
3 3
2 5 15
0
2 4 5
45 45 45
3 0
0
1 18 0
0
z1 z2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 18
z3
1 9 2 9
2 9
2 3 10 1 3 10
0
1 5 9 z1
2 5 12
9 9
z2 z3
x1
即
1 2
y1
x2
1 8
1 8
y2
2 y3
y2 y3
x3 y3
且 有 f y12 y22 y32 .
。
5.3规范形的唯一性
(标准形，di 0, 0 r n).
二次型的矩阵
注：该结论用矩阵来表示就是
线性变换的矩阵
标准形的矩阵
由第二节标准形可知
f (x1,x2,
,xn) xT Ax
x Cy
非退化线性变换
d1 y12
d2 y22
dr yr2
(标准形，di 0, 0 r n).
关于标准形需注意：
1.标准形中平方项系数不是唯一的，与所作的非退化 线性变换有关. 2.标准形中非零平方项的个数是唯一的，与所作的非 退化线性变换无关. 标准形中非零平方项个数“r” 为 二次型的秩。
●二次型的秩举例
例如（220页）：二次型
f ( x1, x2 , x3 ) 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x2
(1)作非退化线性替换
x1 1 1 3 y1
x2 x3
1 0
1 0
11
y1 y3
可得标准形 f ( x1, x2, x3 ) 2 y12 2 y22 6 y32
从标准形可以看出二次型的 “秩”r：=3 “正惯性指标”:p=2 “负惯性指标”:r-p=1
1 dr
zr,
y r 1 z r 1
y n z n
使得二次型化为
z
2 1
z
2 2
z r2.
复系数规范形（221）
情形2：若二次型的系数在实数域上,上述标准形 可以写成
d
1y
2 1
d
p
y
2 p
d
p 1y
3唯一性 3
(7)
其中
Z C BY
1
(8) (Z C X C BY )
1
1
g11 g12 g1n 令 g g g 21 22 2n 1 C BG g n1 g n 2 g nn
于是明白写出来 z1 g11 y1 g12 y2 g1n yn ,
经过一适合当的非退化线性替换,
f ( x1, x2 ,, xn ) 变成标准形.
d y d y d y
2 1 1 2 2 2
它的标准形为:
2 r r
di 0, i 1,2,, r
(1)
其中r就是 f ( x1, x2 ,, xn ) 矩阵的秩,
因为复数总可以开平方, 再作一非退化线性替换
1 p p1 r
且实规范形是唯一的. f ( x , x , , x ) 因为秩为 r 的 R 上二次型 1 2 n 证: 可经某一个非退化线性替换化成标准形,
d y d y d y d y .
2 1 1 2 p p 2 p1 p1 2 r r
(4)
其中 di 0(i 1,2,, r ), r是f ( x1 , x2 ,, xn ) 矩阵的秩. 因为实数域中正实数可以开平
x ( x2 2x3 ) 6x y y 6 y
2 1 2 2 3
2 1 2 2
可见A的秩为3,且正惯性指数为2.与(B)
中矩阵的秩与正惯性指数相同,故选(B). 1 0 0 例3 若实对称矩阵A与矩阵
合同,则二次型
X1 AX
).
2 1
B 0 0
2 1
§3 唯一性
即
上页
下页
返回
结束
z1 = g11 y1 + g12 y2 + ⋯ + g1n yn , z = g y + g y +⋯ + g y , 2 21 1 22 2 2n n ⋯⋯⋯ zn = g n1 y1 + g n 2 y2 + ⋯ + g nn yn .
若能找到一组 y1 , y2 ,⋯, yn 使得
d1 y12 + ⋯ + d p y 2 − d p +1 y 2 +1 − d r yr2 , p p
其中di >0, i =1, …, r；r是 f (x1, x2, …, xn)的秩。
上页
下页
返回
结束
因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再 作一非退化线性替换
1 y1 = d z1, 1 … y = 1 z , r r dr y = z , r +1 r+1 ⋯ y = z , n n
中对角线上非零元素的个数对应矩阵的什么量？
上页 下页 返回 结束
于是，找到第一个合同不变量：矩阵的秩 矩阵的秩. 矩阵的秩
定义
二次型 f 对应矩阵的秩称为该二次型的秩 二次型的秩. 二次型的秩 下面就复数域C，实数域 R分别进行讨论，寻找 新的合同不变量.
上页
下页
返回
结束
复数域C中二次型 1 复数域 中二次型 f (x1, x2 ,⋯, xn ) = X T AX 经过非退化线性替换X = CY，化为标准形
2 2 2 d1y1 + d2 y2 +⋯+ dr yr
(1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
竭诚为您提供优质文档/双击可除二次型的规范型唯一吗篇一：二次型小结第五章二次型(小结)一、二次型与矩阵1.基本概念二次型;二次型的矩阵和秩;非退化线性替换;矩阵的合同.2.基本结论(1)非退化线性替换把二次型变为二次型.(2)二次型f(x1,x2,,xn)xax可经非退化的线性替换xcy 化为二次型f(y1,y2,,yn)yaybcac.(3)矩阵的合同关系满足反身性、对称性和传递性.二、标准形1.基本概念二次型的标准形;配方法.2.基本定理(1)数域p上任意一个二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化的线性替换xcy化222为标准形式d1y1.d2y2dnyn(2)在数域p上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.三、唯一性1.基本概念复二次型的规范形;实二次型的规范形,正惯性指数、负惯性指数、符号差.2.基本定理(1)任一复二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化的线性替换xcy化为唯一的规范22形式z1z2zr2,rf的秩.因而有:两个复对称矩阵合同它们的秩相等.(2)惯性定律:任一实二次型f(x1,x2,,xn)都可经过非退化线性替换唯一的规范形式xcy化为22的秩,z12z2pzp1zr,rfp为f(x1,x2,,xn)的惯性指数.因而两个n元实二次型可经过非退化线性替换互化它们分别有相同的秩和惯性指数.(4)实二次型的标准形式中系数为正的平方项的个数是唯一确定的,它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数.四、正定二次型1.基本概念正定二次型，正定矩阵;顺序主子式，负定二次型，半正定二次型，半负定二次型，不定二次型.2.基本结论(1)非退化线性替换保持实二次型的正定性不变.(2)实二次型f(x1,x2,,xn)xax正定①a与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵p,使得app;②a的顺序主子式都大于零.③f(x1,x2,,xn)的正惯性指数等于n.篇二：二次型化为标准形的几种方法二次型化为标准形的几种方法摘要：二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形。
这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法。
正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明。
其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方。
关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法severalmethodsofchangingthequadraticintothestandard abstract：quadraticistheimportantcontentshouldstudyalgebra,in ourstudiesofquadraticproblem,forconvenience,willusuallybequadraticintostandardfo rm.thisisbothakeyisadifficulty,thispaperintroducess omehuaertimesforthestandardformoforthogonaltransfor mmethod,method:matchmethod,elementarytransformation ,jacobianmethod,partialderivativemethod.thetextintr oducesseveralmethodsdefinedandconcretestep,simultan eouslygivesappropriateexamplestoillustrate.amongthe m,thepartialderivativemethodandmatchmethodandsimila r,buttheformerhasthefixedsteps,andmatchmethodneedto observedtoformula.keywords:orthogonaltransformmethodmatchmethodelemen tarytransformationjacobianmethodpartialderivativemethod1.引言二次型是代数学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。
在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形，本文介绍了五种化二次型为标准形的方法，各种方法的解题思路步骤及依据在正文部分都有详细的说明，并且每种方法后面配有例题这样理解起来就会更加容易。
正交变换法是常用的方法之一，需要求出特征值，特征值就是对应的平方项的系数；配方法需要通过观察依次对每项配方，直到各项全部配成平方为止；初等变换法用一系列的合同变换将二次型矩阵化成与之合同形式上又比较简单的对角矩阵；雅可比方法相对其他方法更为简便，但是它要求二次型矩阵的各阶顺序主子式都不为零，然后通过固定的公式确定平方项的系数；偏导数法的实质与配方法是一样的，但是偏导数法有固定的步骤，相对更好实施。
2.正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。
定理1[1]任意一个实二次型aijxixj，aijaji都可以经过正交的线性替换变成平i1j1nn22方和1y122y2其中平方上的系数1,2...n就是矩阵a 的特征多项式的全...nyn部的根。
2.1解题步骤1将实二次型表示成矩阵形式fxtax并写出矩阵a。
○2求出矩阵a的所有特征值,...，○可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为12nk1,k2,kn（k1k2kn=n）3求出每个特征值所对应的特征向量,,，○能解出与n 列出方程(1ea)x0，121对应的k1个线性无关的特征向量。
同理，对其他的特征值2,,n也是采用此方法求出与之对应的特征向量。
因为k1k2kn=n，所以一共能出n个特征向量。
4将所求出的n个特征向量,,先后施行正交(二次型的规范型唯一吗)化，单位化得到,,,，记○nn1212为c=(1,2,n)t5作正交变换xcy,则得二次型f的标准形f=y2y2...y2○1122nn例1用上面所述的方法化下面的二次型222f(x1,x2,x3,x4)x12x2x3x42x1x26x1x34x1x44x2x36x2x42x3x4为标准形。
解：（1）首先写出原二次型的矩阵11321123a=32112311由a的特征多项式13211123=(3)(7)(1)(1)ea=32112311从而得a的特征值为1=-3，2=7，3=-1，4=1（2）求特征向量，将1=-3带入(1ea)x0中，得到方程4x1x23x32x40x4x2x3x012343x2x4xx023412x13x2x34x20解此方程可得出基础解系1=(1,1,1,1)，同样地，分别把2=7，3=-1，4=1带入(ea)x0中，解方程能够得出与2=7，3=-1，4=1对应的基础解系依次为2=(1,1,1,1)，3=(1,1,1,1)，4=(1,1,1,1)（3）将所求出的特征向量正交化，方法如下：令1=1=(1,1,1,1)2=2(2,1)1=(1,1,1,1)(1,1)(3,1)(,)1322=(1,1,1,1)(1,1)(2,2)(,)(4,1)(,)1422433=(1,1,1,1)(1,1)(2,2)(3,3)3=34=4（4）将已正交的向量组单位化，如下：令i于是能够得到i（i=1,2,3,4）i1=(1,1,1,1)，2=(1,1,1,1)，3=(1,1,1,1)，4=(1,1,1,1) 所以1111111c=21111111212121211111111y1y2y3y4于是所求正交变换为x1x2=1x32x4111111111111原二次型化为22f=3y127y2y3y123.配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。
使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的xixj(ij)这样的交叉项，消去非平方项并构造新的平方项。
定理2[1]数域p上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和22的形式。
d1x12d2x2...dnxn3.1解题思路使用配方法化二次型为标准形时，视具体情况又可以将二次型分为下面两种不同的情形：1如果二次型含有x的平方项，那么先把含有x的乘积项集中，然后再配方，再对其○ii余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。
2如果所给二次型中不含有x平方项，○但是aij0(ij),我们就可以用前面所提到的i方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换xiyiyjxyyjij,(k1,2,,n且ki,j)........xkyk1中的方法进代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述○行配方。
2例2用上述所给出的方法化二次型f(x,x2,x3)x122x1x22x24x2x3为标准形，写出所用的变换矩阵。