三元一次方程组消元八法

三元一次方程组消元八法
消元是解三元一次方程组的关键，若能根据各未知数系数的特点，灵活地进行消元，则可以提高解题速度。

一、先消系数最简单的未知数
3x-y+2z=3 ，①
例1 解方程组 2x+y-3z=11，②
x+y+z=12 。

③
分析：三个方程中，y的系数的绝对值都是1，所以先消去y比较简单。

二、先消某个方程中缺少的未知数
4x-9z=17，①
例2 解方程组 3x+y+15z=18，②
x+2y+3z=2。

③
分析：因为方程①中缺少y，所以由②③先消去y比较简单。

三、先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数
2x+4y+3z=9，①
例3 解方程组 3x-2y+5z=11，②
5x-6y+7z=13。

③
分析：三个方程中y的系数成倍数关系，因此先消去y比较简单。

四、整体代入消元
x+y+z=26，①
例4 解方程组 x-y=1 ②
2x+z-y=18 , ③
分析：将方程③左边变形为含有方程①、②左边代数式的形式，作整体代入便可消元求解。

五、整体加减消元
3x+2y+z=13 ①
例5 解方程组 x+y+2z=7 ②
2x+y-z=12 ③
分析：观察三个方程中未知数x、z的系数特点，可用整体加减消元法来解。

六、设比值参数消元
x∶y=3∶2 ①
例6 解方程组 y∶z=5∶4 ②
x+y+z=66 ③
分析方程组中前两个方程是比例式，可用设比值参数法消元求解。

七、轮换相加法
x+y-z=11，①
例7 解方程组 y+z-x=5，②
z+x-y=1。

③
分析：观察发现每两个方程都有两对互为相反数，故两两相加均可同时消去两个元。

八、巧选主元法
x-y-z=0 ①
例8 解方程组 x+y-3z=4 ②
2x+3y-5z=14 ③
分析：选x、y为主元，由①、②能迅速解出x、y，从而可使问题获得巧解。