最新湖南省张家界市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷三

数学试卷
一、选择题
1.已知,x y R ∈,i 是虚数单位.若x yi +与
31i
i
++互为共轭复数,则x y += ( ) A.0 B.1 C.2 D.3
2.已知,a b r r 均为单位向量,且33(2)(2)2
a b a b +⋅-=-r r r r ,则向量,a b r
r 的夹角为( )
A.
6π B. 4π
C. 34π
D. 56
π
3.已知0,
6πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭,12sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则cos 6πα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
( )
A.
5
12 B. 1213 C. 513-
D. 1213
-
4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是( )
(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式
)
A.2寸
B.3寸
C.4寸
D.5寸
5.考拉兹猜想又名31n +猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1;如果它是偶数,则对它除以2.如此循环,最终都能得到1.阅读如图所示的程序框图,运行相应程序,输出的结
果i = (
)
A.4
B.5
C.6
D.7
6.已知某三棱锥的三视图如图所示,正视图和俯视图都是等腰直角三角形,则该三棱锥中最长的棱长为(
)
A. 23
B. 22
C.5
D. 2
7.已知函数()f x 是奇函数,当0x >时, ()x
f x a = (0a >且1a ≠),且12lo
g 43f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,则a 的
值为( )
A.
32 B.3 C. 3 D. 9
8.设关于,x y 的不等式组210
{0
x y x m y m -+>+<->表示的平面区域内存在点00(,)P x y ,满足0022x y -=.则
m 的取值范围是( )
A. 4,
3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
C. 2,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
D. 5,3⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
9.
ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B AC D --.则四面体ABCD 的
内切球的半径为( ) A. 1
B.
C.
1 D.
2-
10.已知F 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点,点A 为双曲线虚轴的一个顶点,过,F A 的
直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ,
若)
1FA AB =u u u r u u u r
,则此双曲线的离心率是
( ) A.
B.
C.
D.
11.在ABC ∆中, 11,A B 分别是边,BA CB 的中点, 22,A B 分别是线段11,A A B B 的中点, ,,n n
A B L 分别是线段*
11,(,1)n n A A B B n N n --∈>的中点, 设数列{}{},n n a b 满足:向量
*()n n n n B A a CA b CB n N =+∈u u u u u r u u u r u u u r
,有下列四个命题,其中假命题是( )
A.数列{}n a 是单调递增数列,数列{}n b 是单调递减数列
B.数列{+}n n a b 是等比数列
C.数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
有最小值,无最大值
D.若ABC ∆中, 90C =︒,CA CB =,n n B A u u u u u r ,则最小时, 1
2
n n a b +=
12.若方程2210x x t ---=有四个不同的实数根1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,则41322()()x x x x -+-的取值范围是( )
A.
( B.
(8,
C.
( D.
(
二、填空题
13.若命题:p “02
0,223x
x R a a ∃∈-≤-”是假命题,则实数a 的取值范围是__________.
14.两所学校分别有2名、3名学生获奖,这5名学生要排成一排合影,则同校学生排在一起的概率是__________.
15.过点1,12M ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点, C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线l 的方程为_________.
16.已知函数()2cos sin sin 2f x x x x =+,给出下列四个命题: ①函数()f x 的图象关于直线4
x π
=对称;
②函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增; ③函数()f x 的最小正周期为π; ④函数()f x 的值域为[2,2]-.
其中真命题的序号是__________.(将你认为真命题的序号都填上) 三、解答题
17.已知等差数列{}n a 满足: 11(),1n n a a n N a *
+>∈=,该数列的前三项分别加上1,1,3后成等比数
列, 22log 1n n a b +=-.
1.分别求数列{}{},n n a b 的通项公式;
2.求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .
18.在ABC ∆中, a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=. 1.求B 的大小;
2.若33
a c +=
,3b =,求ABC ∆的面积. 19.如图,菱形ABCD 中, 60ABC ∠=o ,AC 与BD 相交于点O ,AE ⊥平面ABCD ,//CF AE ,2AB =,3CF =.
1.求证: BD ⊥平面ACFE ;
2.当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45o
时,求AE 的长度.
20.某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况,绘制了该厂日销售量的频率分布直方图,如图所示:
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
1.求未来3天内,连续2天日销售量不低于8吨,另一天日销售量低于8吨的概率;
2.用X 表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数,求随机变量X 的分布列及数学期望.
21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,且过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.若点00(,)M x y 在椭圆C 上,
则点00,x y N a b ⎛⎫
⎪⎝⎭
称为点M 的一个“椭点”.
1.求椭圆C 的标准方程;
2.若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点,且,A B 两点的“椭点”分别为,?P Q ,以P Q 、为直径的圆经过坐标原点,试求AOB ∆的面积.
22.已知函数()()2
ln ,3f x x x g x x ax ==-+-.
1.求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值;
2.对一切()0,x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;
3.探讨函数()12
lnx x F x e ex
=-+是否存在零点?若存在,求出函数()F x 的零点,若不存在,请说明理由.
参考答案
1.答案：D 解析：
2.答案：A 解析：
3.答案：B 解析：
4.答案：B 解析：
5.答案：D 解析：
6.答案：A 解析：
7.答案：B 解析：
8.答案：C 解析：
9.答案：D 解析： 10.答案：A
解析：过,F A 的直线方程为()b y x c c =
+①,一条渐近线方程为b
y x a =②,联立①②,解得交点
,ac
bc B c a c a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
,由)
1FA AB =u u u r u u u r ,得)
1,,ac c c e c a
===-.
11.答案：C 解析： 12.答案：B 解析：
13.答案：[1,2] 解析： 14.答案：
15
解析：
15.答案：2430x y -+= 解析：
16.答案：②④ 解析：
17.答案：1.设d 为等差数列{}n a 的公差,且0d > 由1231,1,12a a d a d ==+=+分别加上1,1,3成等比数列, 得2
(2)2(42)d d +=+
0d >,所以2d =,所以1(1)221n a n n =+-⨯=-, 又因为212log n n a b =--,
所以2log n b n =-即1
2
n n b =
2. 2313521
,2222
n n
n T -=++++L ①
2341113521.22222
n n n T +-=++++L ② ①-②,得
2311111121222222
n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L ∴1
1121211212
n n n n T ---=+--212123332252n n n n n --+=--=- 解析：
18.答案：1.由()2cos cos tan tan 11A C A C -=, 得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
,
∴()2sin sin cos cos 1A C A C -=, ∴()1cos 2
A C +=-, ∴1cos 2
B =
, 又0B π<<,∴3
B π
=
.
2.由2222cos b a c ac B =+-,
得()2
22cos a c ac B b +-=,
又a c +=
b =3
B π
=, ∴54ac =
,
∴115sin 224ABC S ac B ∆==⨯=解析：
19.答案：1.∵四边形ABCD 是菱形,∴BD AC ⊥.
∵AE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴BD AE ⊥, 又AC ⊂平面ACFE ,AE ⊂平面ACFE ,AC AE A ⋂=, ∴BD ⊥平面ACFE .
2.以O 为原点,以,OA OB 所在直线分别为x 轴, y 轴,以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系.
则(
)()
(),0,,1,0,3B D F -.
设AE a =,则()1,0,E a ,∴()1,0,3OF =-u u u r
,()0,DB =u u u r
,()
EB a =--u u u r ,
设平面BDE 的法向量为(,,)n x y z =r
,则0,{0,n DB n EB ⋅=⋅=u u u r r u u u r
r
即0{0
x az =-+-= 令1z =,得(),0,1n a =-r
,
∴()
2
cos ,101
n OF n OF n OF a ⋅==
+u u u r r u u u r r
u u u r r , ∵直线FO 与平面BDE 所成角的大小为45o , ∴
22
2
101
a =
+, 解得2a =或12a =- (舍),
∴2AE =.
解析：
20.答案：1.由频率分布直方图可知,日销售量不低于8吨的频率为: ()20.1250.0750.4⨯+=, 记未来3天内,第i 天日销售量不低于8吨为事件()11
,2,3A i =,则()10.4P A =, 未来3天内,连续2天日销售不低于8吨,另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件123A A A 和
123A A A ,
则:
()()()
123123123123
P A A A A A A P A A A P A A A ⋃=+()()0.40.410.410.40.40.40.192=⨯⨯-+-⨯⨯=.
2. X 的可能取值为0,1,2,3,且()3,0.4X B ~,
()()3
010.40.216P X ==-=,
()()2
1
310.410.40.432P X C ==⨯-=,
()()22320.410.40.288P X C ==⨯-=, ()330.40.064P X ===, X X
1
2
3
P 0.216 0.432 0.288 0.064
30.4 1.2E X =⨯=.
解析：
21.答案：1.由12
e =
,得2a c =, 又222
a b c =+,∴3b c =, ∴椭圆2222:+143x y C c c =,因点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
在C 上,
∴2291
4+143c c
=,得1c =,
∴2,a b ==, 所以椭圆C 的方程为: 22
143
x y +=; 2.设()()1122,,,A x y B x y ,
则12,22x x P Q ⎛⎛ ⎝⎝,
由以P Q 、为直径的圆经过坐标原点,得0OP OQ ⋅=u u r u u u r ,即1212043
x x y y
+= (1)
由22{143
y kx m x y =++=,消除y 整理得: ()()222348430k x mk m +++-=,
由()()222264163430k m k m ∆=-+->,
得22340k m +->,
而122834mk
x x k +=-+,()
2122
4334m x x k -=+ (2)
∴()()1212y y kx m kx m =++()()222212122
3434m k k x x mk x x m k
-=+++=+ (3)
将(2)(3)代入(1)得:
()
()
()()
2222
2
43340434434m m k k
k
--+
=++,即22243m k -=, 又∵
AB =
=,
原点O 到直线:l y kx m =+
的距离d =
∴12AOB S AB d ∆=
=
,
把22243m k -=代入上式得
AOB S ∆, 即AOB S ∆. 解析：
22.答案：1. ()()'ln 10f x x x =+>, 由()0f x <得1
0x e
<<, 由()'0f x >得1x e >
, ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减,
在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.
当10t e <≤时, 12t e
+>, ∴()min 11f x f e e ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
.
当1
t e
>时,
()f x 在上[,2]t t +单调递增, [,2]t t +,
∴()min
11,0,{
1
ln ,.
t e e
f x t t t e
-<≤=> 2.原问题可化为32ln a x x x
≤++, 设()()3
2ln 0h x x x x x
=++>, 则()()()
2
31'x x h x x +-=
,
当01x <<时, ()'0h x <,()h x 在()0,1上单调递减;
当1x >时, ()0h x '>,()h x 在()1,+∞上单调递增: ∴()()min 14h x h ==. ∴a 的取值范围为(,4]-∞.
3.令()0F x =,得12ln 0x x e ex -
+=,即()2
ln 0x x x x x e e
=->,
由1题知当且仅当1x e =时, ()()ln 0f x x x x =>的最小值是11f e e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,
设()()20x x x x e e ϕ=->,则()1'x x
x e
ϕ-=,
易知()x ϕ在()0,1上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,
∴当且仅当1x =时, ()x ϕ取最大值,且()11e
ϕ=-, ∴对()0,x ∈+∞都有, 2ln x x x x e e >-,即()12
ln 0x F x x e ex
=-+>恒成立. ∴函数()F x 无零点. 解析：。