各地2019年中考数学试卷分类汇编方案设计(含解析)

方案设计
1. （2018•福建A 卷•10 分）如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 ABCD，其中 A D≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；
（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．
【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程得
x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x 后与20 进行大小比较即可得到AD 的长；
（2）设AD=xm，利用矩形面积得到S=1
2
x（100﹣x），配方得到S=﹣
1
2
（x﹣50）
2
+1250，讨论：当a≥50
时，根据二次函数的性质得S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a时，根
据二次函数的性质得S 的最大值为50a﹣1
2
a
2
．
【解答】解：（1）设 AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，根据题意得x（100﹣2x）=450，解得x1=5，x2=45，当x=5 时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45 时，100﹣2x=10，答：AD 的
长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=1
2
x（100﹣x）=﹣
1
2
（x﹣50）
2
+1250，
当a≥50 时，则x=50 时，S 的最大值为1250；
当0＜a＜50 时，则当0＜x≤a时，S 随x 的增大而增大，当x=a 时，S 的最大值为50a﹣1
2
a
2
，综上所
述，当a≥50时，S 的最大值为1250；当0＜a＜50 时，S 的最大值为50a﹣1
2
a
2
．
【点评】本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，
然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定
要注意自变量x 的取值范围．
1
2.（2018•福建 B 卷•10 分）空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩
形菜园 ABCD ，已知木栏总长为 100 米．
（1）已知 a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了 100 米木栏，且围成的矩形菜园面积为
450 平方米．
如图 1，求所利用旧墙 AD 的长；
（2）已知 0＜α ＜50，且空地足够大，如图 2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使 得所围成的矩
形菜园 ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
图1 图2
【分析】（1）按题意设出 AD ，表示 AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度 a 和 AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论 s 与菜园边长之间的数量关 系．
【解答】解：（1）设 AD=x 米，则 AB=1002x
-米 依题意得，(100)
4502x x -=
解得 x 1=10，x 2=90
∵a=20，且 x ≤a
∴x=90 舍去
∴利用旧墙 AD 的长为 10 米．
（2）设 AD=x 米，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意 得： S=2(100)
1
(50)125022x x x -=--+，0＜x ＜a
∵0＜α ＜50
∴x＜a ＜50 时，S 随 x 的增大而增大 当 x=a
时，S 最大=50a ﹣21
3a
②如按图 2 方案围成矩形菜园，依题意得
S=
22(1002)[(25)](25)244x a x a a x +-=---++，a ≤x＜50+2
a 当 a ＜25+
4a ＜50 时，即 0＜a ＜1003时， 则 x=25+4
a 时， S 最大=（25+4a ）2=2
1000020016
a a ++ 当 25+
4a ≤a，即100503
a ≤p 时，S 随 x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大=
(1002)2a a a +-=21502
a a - 综合①②，当 0＜a ＜
1003时， 2
1000020016
a a ++﹣（21502a a -）=2
(3100)016
a -f 2
1000020016
a a ++＞21502a a -，此时，按图 2 方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为2
1000020016
a a ++平方米 当100503a ≤p 时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴ 当 0 ＜ a ＜1003 时 ，围成长 和宽均为 （ 25+4
a ）米的 矩形菜园 面积最 大，最 大面积 为 2
1000020016
a a ++平方米； 当100503a ≤p 时，围成长为 a 米，宽为（50﹣2
a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（21502
a a -）平方米． 【点评】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类 讨论变量大小关系．
3.（2018·湖南怀化·10 分）某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购 进 A ，B 两种树苗，共 21 棵，已知 A 种树苗每棵 90 元，B 种树苗每棵 70 元．设购买 A 种树苗 x
棵，购买两种树苗所需费用为y 元．
（1）求y 与x 的函数表达式，其中0≤x≤21；
（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费
用．
【分析】（1）根据购买两种树苗所需费用=A 种树苗费用+B 种树苗费用，即可解答；
（2）根据购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，列出不等式，确定x 的取值范围，再根据
（1）得出的y 与x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方
案．
【解答】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470，所以函数
解析式为：y=20x+1470；
（2）∵购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，
∴21﹣x＜x，解得：x＞10.5，又
∵y=20x+1470，且x 取整数，
∴当x=11 时，y 有最小值=1690，
∴使费用最省的方案是购买B 种树苗10 棵，A 种树苗11 棵，所需费用为1690 元．
【点评】本题考查的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述
语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
4.（2018 年湖南省娄底市）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买 A.B 两种型号的垃圾处理设备共 10 台．已知每台 A 型设备日处理能力为 12 吨；每台 B 型设备日处理能力为 15 吨；购回的设备日处理能力不低于140 吨．
（1）请你为该景区设计购买A.B 两种设备的方案；
（2）已知每台A 型设备价格为3 万元，每台B 型设备价格为4.4 万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40 万元时，则按9 折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？
【分析】（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备（10﹣x）台，根据购回的设备日处理能力不低于140 吨列出不等式12x+15（10﹣x）≥140，求出解集，再根据x 为正整数，得出x=1，2，
3．进而求解即可；
（2）分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．
【解答】解：（1）设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备（10﹣x）台，根据题
意，得12x+15（10﹣x）≥140，
解得x≤31
3
，
∵x为正整数，∴x=1，2，3．
∴该景区有三种设计方案：
方案一：购买A 种设备1 台，B 种设备9 台；方案二：
购买A 种设备2 台，B 种设备8 台；方案三：购买A 种
设备3 台，B 种设备7 台；
（2）各方案购买费用分别为：方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：
42.6×0.9=38.34（万元）；方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：
41.2×0.9=37.08（万元）；方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万
元）；
∵37.08＜38.04＜39.8，
∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的不等关系是解决问题的关键．
5.（2018 湖南湘西州12.00 分）某商店销售A 型和B 型两种电脑，其中A 型电脑每台的利润为
400 元，B 型电脑每台的利润为500 元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100 台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍，设购进A 型电脑x 台，这100 台电脑的销售总利润为y 元．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
（3）实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑60 台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货方案．
【分析】（1）根据“总利润=A 型电脑每台利润×A电脑数量+B 型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；
（2）根据“B型电脑的进货量不超过A 型电脑的2 倍且电脑数量为整数”求得x 的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；
（3）据题意得y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，分三种情况讨论，①当
0＜a＜100 时，y 随x 的增大而减小，②a=100 时，y=50000，③当100＜m＜200 时，a﹣100＞0，
y 随x 的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；
（2）∵100﹣x≤2x，
∴x≥100
3
，
∵y=﹣100x+50000 中k=﹣100＜0，
∴y随x 的增大而减小，
∵x为正数，
∴x=34 时，y 取得最大值，最大值为46600，
答：该商店购进A 型34 台、B 型电脑66 台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600 元；
（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，1
33
3
≤x≤60
①当0＜a＜100 时，y 随x 的增大而减小，
∴当x=34 时，y 取最大值，
即商店购进34 台A 型电脑和66 台B 型电脑的销售利润最大．
②a=100 时，a﹣100=0，y=50000，
即商店购进A 型电脑数量满足
1
33
3
≤x≤60的整数时，均获得最大利润；
③当100＜a＜200 时，a﹣100＞0，y 随x 的增大而增大，
∴当x=60 时，y 取得最大值．
即商店购进60 台A 型电脑和40 台B 型电脑的销售利润最大．
【点评】题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x
值的增大而确定y 值的增减情况．
6.（2018•山东济宁市•7分）绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B 两村准备各自清理所
属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调 40 人共同清理
养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过 102000 元，且清理养鱼网箱人数小于 清理捕 鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【解答】解：（1）设清理养鱼网箱的人均费用为 x 元，清理捕鱼网箱的人均费用 为y 元，
根据题意，得1595700010+1668000
x y x y +=⎧⎨=⎩，解得：20003000x y =⎧⎨=⎩
， 答：清理养鱼网箱的人均费用为2000 元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000 元； （2）设m 人清理养鱼网箱，则（40﹣m ）人清理捕鱼网箱， 根据题 意，得：
20003000(40)1020040m m m m +-≤⎧⎨-⎩p ，
解得：18≤m＜20，
∵m 为整数，
∴m=18 或m=19，则分配清理人 员方案有两
种：
方案一：18 人清理养鱼网箱，22 人清理捕鱼网箱； 方 案二：19 人
清理养鱼网箱，21 人清理捕鱼网箱．
7.（2018·湖北省恩施·10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A.B 两种型号的空调， 已知采购 3 台
A 型空调和 2 台
B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的 费用多 6000 元．
（1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元；
（2）若学校计划采购 A.B 两种型号空调共 30 台，且 A 型空调的台数不少于 B 型空调的一半， 两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？
（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；
（3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题．
【解答】解：（1）设 A 型空调和 B 型空调每台各需 x 元、y 元，
：
3239000456000x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得，90006000x y =⎧⎨=⎩ ，
答：A 型空调和 B 型空调每台各需 9000 元、6000 元；
（2）设购买 A 型空调 a 台，则购买 B 型空调（30﹣a ）台，
90006000(30)217001(30)2
a a a a +-≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ ， 解得，10≤a≤1213
， ∴a=10.11.12，共有三种采购方案，
方案一：采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台， 方案二：采购 A
型空调 11 台，B 型空调 19 台， 方案三：采购 A 型空调 12 台，
B 型空调 18 台；
（3）设总费用为 w 元，
w=9000a+6000（30﹣a ）=3000a+180000，
∴当 a=10 时，w 取得最小值，此时 w=210000，
即采购 A 型空调 10 台，B 型空调 20 台可使总费用最低，最低费用是 210000 元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解 答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．
8.（2018•贵州铜仁•12 分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买 1 张办 公桌必须买 2 把椅子，椅子每把 100 元，若学校购进 20 张甲种办公桌和 15 张乙种办公桌共 花费 24000 元；购买 10 张甲种办公桌比购买 5 张乙种办公桌多花费 2000 元．
（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？
（2）若学校购买甲乙两种办公桌共 40 张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3
倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【分析】（1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元，根据“甲种桌子总钱数+乙种 桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10 把甲种桌子钱数﹣5 把乙种桌子钱数+多出 5 张桌子 对应椅子的钱数=2000”列方程组求解可得；
（2）设甲种办公桌购买 a 张，则购买乙种办公桌（40﹣a ）张，购买的总费用为 y ，根据“总 费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数”得出函数解析式，再由“甲种 办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3 倍”得出自变量 a 的取值范围，继而利用一次函数的 性质求解可得．
【解答】解：（1）设甲种办公桌每张 x 元，乙种办公桌每张 y 元， 根据题意，
得：201570002400010510002000x y x y ++=⎧⎨
-+=⎩ ，
解得：
400
600 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：甲种办公桌每张400 元，乙种办公桌每张600 元；
（2）设甲种办公桌购买a 张，则购买乙种办公桌（40﹣a）张，购买的总费用为y，则y=400a+600（40﹣a）+2×40×100
=﹣200a+32000，
∵a≤3（40﹣a），
∴a≤30，
∵﹣200＜0，
∴y随a 的增大而减小，
∴当a=30 时，y 取得最小值，最小值为26000 元．。