2017-2018学年福建省泉州市泉港区九年级(上)期中数学试卷

2017-2018学年福建省泉州市泉港区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案
是正确的.请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分．
1．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≤1
2．（4分）下列根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
3．（4分）方程x2﹣2x=0的根是（）
A．x1=x2=0B．x1=x2=2C．x1=0，x2=2D．x1=0，x2=﹣2 4．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣4）2=19B．（x+4）2=19C．（x+2）2=7D．（x﹣2）2=7 5．（4分）下列各组中的四条线段成比例的是（）
A．6cm、2cm、1cm、4cm B．4cm、5cm、6cm、7cm
C．3cm、4cm、5cm、6cm D．6cm、3cm、8cm、4cm
6．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）
A．B．C．D．
7．（4分）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2+2x﹣1=0B．x2﹣2x+1=0C．x2+2x+4=0D．x2﹣2x﹣4=0 8．（4分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）
A．100（1+x）2=81B．100（1﹣x）2=81
C．100（1﹣x%）2=81D．100x2=81
9．（4分）已知a，b为一元二次方程x2+2x﹣9=0的两个根，那么a2+a﹣b的值
为（）
A．﹣7B．0C．7D．11
10．（4分）如图，在5×5的正方形方格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，作一个与△ABC相似的△DEF，使它的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△DEF的最大面积是（）
A．5B．10C．D．
二、填空题（每题4分，共24分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．（4分）计算=．
12．（4分）已知，则算式=．
13．（4分）已知2是关于x的一元二次方程x2+4x﹣p=0的一个根，则p的值为．
14．（4分）如图，要测量的A、C两点被池塘隔开，李师傅在AC外任选一点B，连接BA和BC，分别取BA和BC的中点E、F，量得E、F两点间的距离等于30米，则A、C两点间的距离AC=米．
15．（4分）如图，在△ABC中，BD=DC，AE=EB，AD与CE相交于点O，若DO=2cm，则AO=cm．
16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y=﹣x+m分别交x轴，y 轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，m=；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是．
三、解答题（共86分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
17．（8分）计算：（π﹣3）0﹣÷+6×2﹣1．
18．（8分）解方程：x2﹣6x+5=0．
19．（8分）先化简，再求值：a（3﹣a）+（a+）（a﹣），其中a=+1．20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA′B′，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A′、B′．
（1）在第一象限内画出△OA′B′；
（2）若△OAB的面积为3.5，求△OA′B′的面积．
21．（8分）若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，则根和系数存在关系：x1+x2=﹣，x1﹒x2=．可以直接利用上述结论解题：已知x1、x2是方程x2+2x+m=0的两个实数根，且+=4，求m的值．
22．（10分）《九章算术》勾股章：今有木去人不知远近．立四表，相去各一丈，另左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸，问：木去人几何？
用今天的话说，大意是：如图，前方P处有树木，距人B处不知远近，先画正方形ABCD，边长为1丈，从左边看，P、A、B在同一直线上，从右边看，PC交AD于点E，并且DE的长为3寸，试求树木与人的距离．（精确到0.1尺，提示：1丈=10尺，1尺=10寸．）（0＜≤5，且为整数）（5＜≤30，且为整数）
23．（10分）一家汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，进价均降低0.1万元/辆，根据市场调查，月销售量不会突破30台．设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆．
（1）填空：y=
（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么当月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）
24．（13分）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD 是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．
25．（13分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．
=，试判断△AOE与△AOD是否相似？并（2）若点E为x轴上的点，且S
△AOE
说明理由．
（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？
如果存在，请直接写出点F的坐标．
2017-2018学年福建省泉州市泉港区九年级（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共40分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案
是正确的.请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得4分，答错或不答一律得0分．
1．【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选：B．
2．【解答】解：A、=2，不满足题意；
B、原式为最简二次根式，满足题意；
C、=2，不满足题意；
D、=2，不满足题意，
故选：B．
3．【解答】解：x2﹣2x=0
x（x﹣2）=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选：C．
4．【解答】解：由原方程，得
x2﹣4x=3，
在等式的两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方，得
x2﹣4x+4=3+4，即x2﹣4x+4=7，
配方，得
（x﹣2）2=7；
故选：D．
5．【解答】解：A.6×1≠2×4，故本选项错误；
B.4×7≠5×6，故本选项错误；
C.3×6≠4×5，故本选项错误；
D.6×4=3×8，故本选项正确；
故选：D．
6．【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
故选：C．
7．【解答】解：A、△=22﹣4×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=22﹣4×1=0，方程有两个相等的实数根，所以B选项正确；
C、△=22﹣4×4=﹣12＜0，方程没有实数根，所以C选项错误；
D、△=22﹣4×（﹣4）=20＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．故选：B．
8．【解答】解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2=81．
故选：B．
9．【解答】解：∵a，b为一元二次方程x2+2x﹣9=0的两个根，
∴a2+2a﹣9=0，a+b=﹣2，
∴a2+a﹣b=（a2+2a﹣9）﹣（a+b）+9=11．
故选：D．
10．【解答】解：从图中可以看出△ABC的三边分别是2，，，
要让△ABC的相似三角形最大，就要让DF为网格最大的对角线，即是=5
，
所以这两，相似三角形的相似比是=，
△ABC的面积为2×1÷2=1，
所以△DEF的最大面积是5．故选A．
二、填空题（每题4分，共24分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．11．【解答】解：==2
12．【解答】解：∵，
∴==．
故答案为：．
13．【解答】解：把x=2代入方程x2+4x﹣p=0，得4+8﹣p=0，解得p=12．故答案为12．
14．【解答】解：∵点E、F分别是BA和BC的中点，
∴AC=2EF=60，
故答案为：60．
15．【解答】解：∵BD=DC，AE=EB，AD与CE相交于点O，
∴O是△ABC的重心，
∴AO=2DO=2×2=4cm．
故答案为：4．
16．【解答】解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，
当x=2时，y=﹣2+m=0，即m=2，
故答案为2．
（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，
由y=﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
∴OA=OB=m，AB=m，
当△PCD∽△APB时，∠APC=∠ABP．
理由：∵△PCD∽△APB，
∴∠CPD=∠PAB，
∵∠APD=∠ABP+∠PAB=∠APC+∠CPD，
∴∠APC=∠ABP．
所以=，即=，
解得m=12．
故答案是：12．
三、解答题（共86分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．
17．【解答】解：原式=1﹣
+6× =1﹣2+3
=2．
18．【解答】解：分解因式得：（x ﹣1）（x ﹣5）=0，
x ﹣1=0，x ﹣5=0，
x 1=1，x 2=5．
19．【解答】解：原式=3a ﹣a 2+a 2﹣3
=3a ﹣3，
当a=+1时，
原式=3（
+1）﹣3 =3
+3﹣3 =3．
20．【解答】解：（1）△OA′B′如图所示：
（2）∵将△OAB 放大到原来的2倍后得到△OA′B′，
∴S △OAB ：S △OA′B′=1：4，
∴S
=4×S△OAB=4×3.5=14．
△OA′B′
21．【解答】解：由根与系数的关系可得x1+x2=﹣2，x1﹒x2=m，∵+=4，
∴==4，
∴m=﹣．
22．【解答】解；∵正方形ABCD，边长为1丈．
∴AB=AD=CD=10寸
∵DE=3寸=0.3尺，
AE=10﹣0.3=9.7（尺），
又∵AB∥CD，
∴PA∥CD，
∴△PAE∽△CDE，
∴=，
∴=，
∴PA≈323.3，
∴PB=PA+AB=323.3+10=333.3
答：树木与人的距离约为333.3尺．
23．【解答】解：（1）当0＜x≤5，且x为整数时，y=30，
当5＜x≤30时，且x为整数时，y=30﹣（x﹣5）×0.1=﹣0.1x+30.5，
故y=．
（2）当0＜x≤5时，（32﹣30）×5=10＜25，不合题意，
当5＜x≤30时，[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，
解得x1=10，x2=﹣25（舍弃）．
答月需售出10辆汽车．
24．【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，
∴∠ACB=80°，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，
∴∠ACD=∠A=40°，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48°，
∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96°或114°．
（3）由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴=，设BD=x，
∴（）2=x（x+2），
∵x＞0，
∴x=﹣1，
∵△BCD∽△BAC，
∴==，
∴CD=×2=﹣．
25．【解答】解：（1）x2﹣7x+12=0，因式分解得，（x﹣3）（x﹣4）=0，由此得，x﹣3=0，x﹣4=0，
所以，x1=3，x2=4，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3；
=×4•OE=，
（2）S
△AOE
解得OE=，
∵==，==，
∴=，
又∵∠AEO=∠OAD=90°，
∴△AOE∽△AOD；
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AD=6，∴BC=AD=6，
∵OB=3，
∴OC=6﹣3=3，
由勾股定理得，AC===5，易求直线AB的解析式为y=x+4，
设点F的坐标为（a，a+4），
则AF2=a2+（a+4﹣4）2=a2，
CF2=（a﹣3）2+（a+4）2=a2+a+25，
①若AF=AC，则a2=25，解得a=±3，
a=3时，a+4=×3+4=8，
a=﹣3时，a+4=×（﹣3）+4=0，
所以，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）；
②若CF=AC，则a2+a+25=25，
整理得，25a2+42a=0，
解得a=0（舍去），a=﹣，
a+4=×（﹣）+4=，
所以，点F的坐标为（﹣，），
③若AF=CF，则a2=a2+a+25，
解得a=﹣，
a+4=×（﹣）+4=﹣，
所以，点F的坐标为（﹣，﹣），
综上所述，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）或（﹣，）或（﹣，﹣
）时，以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形．。