高中数学新人教B版必修第一册 2.1.3 方程组的解集 作业(2)

[A 基础达标]
1．若方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2a －3b ＝13，3a ＋5b ＝30.9的解集为{(a ，b )|(8.3，1.2)}，则方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2（x ＋2）－3（y －1）＝13，3（x ＋2）＋5（y －1）＝30.9，的解集为( ) A ．{(x ，y )|(6.3，2.2)}
B ．{(x ，y )|(8.3，1.2)}
C ．{(x ，y )|(10.3，2.2)}
D ．{(x ，y )|(10.3，0.2)}
解析：选A.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝8.3，y －1＝1.2.即⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6.3，y ＝2.2. 2．已知|x －z ＋4|＋|z －2y ＋1|＋|x ＋y －z ＋1|＝0，则x ＋y ＋z ＝( )
A ．9
B ．10
C ．5
D ．3
解析：选A.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＋4＝0， ①z －2y ＋1＝0， ②x ＋y －z ＋1＝0. ③
③－①，得y ＝3.
把y ＝3代入②，得z ＝5.
把z ＝5代入①，得x ＝1.
所以x ＋y ＋z ＝1＋3＋5＝9.故选A.
3．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，4ax ＋5by ＝－22和⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝－4，ax －by ＝8
有相同的解，则(－a )b 的值为________．
解析：因为两方程组有相同的解，所以原方程组可化为①⎩
⎪⎨⎪⎧3x －y ＝5，2x ＋3y ＝－4；②⎩
⎪⎨⎪⎧4ax ＋5by ＝－22，ax －by ＝8. 解方程组①，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 代入方程组②，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －10b ＝－22，a ＋2b ＝8，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. 所以(－a )b ＝(－2)3＝－8.
答案：－8
4．若x ＋43＝y ＋64＝z ＋85
，且x ＋y ＋z ＝102，则x ＝________. 解析：由已知得⎩⎨⎧
x ＋43＝y ＋64
， ①x ＋43＝z ＋85， ②x ＋y ＋z ＝102， ③
由①得y ＝4x －23
， ④ 由②得z ＝5x －43
， ⑤ 把④⑤代入③并化简，得12x －6＝306，
解得x ＝26.
答案：26
5．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，y －z ＝3，z ＋x ＝1
的解也是方程3x ＋my ＋2z ＝0的解，则m 的值为________．
解析：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2， ①y －z ＝3， ②z ＋x ＝1. ③
①＋②，得x －z ＝5， ④
将③④组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧z ＋x ＝1，x －z ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝－2. 把x ＝3代入①，得y ＝1.
故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝－2.
代入3x ＋my ＋2z ＝0，得9＋m －4＝0，
解得m ＝－5.
答案：－5
6．解下列三元一次方程组：
(1)⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y ＋x ， ①2x －3y ＋2z ＝5， ②x ＋2y ＋z ＝13； ③
(2)⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝11， ①x ＋y ＋z ＝0， ②3x －y －z ＝－2. ③
解：(1)将①代入②、③，消去z ，得⎩
⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，2x ＋3y ＝13. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2，y ＝3代入①，得z ＝5. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(2，3，5)}．
(2)①－②，得x ＋2y ＝11. ④
①＋③，得5x ＋2y ＝9. ⑤
④与⑤组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝11，5x ＋2y ＝9.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝234.
把x ＝－12，y ＝234代入②，得z ＝－214
. 所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|⎝⎛⎭⎫－12，234
，－214}． 7．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xy ＝12， ①xy ＋y 2＝4. ② 解：①－②×3得x 2＋xy －3(xy ＋y 2)＝0，
即x 2－2xy －3y 2＝0⇒(x －3y )(x ＋y )＝0，
所以x －3y ＝0或x ＋y ＝0，
所以原方程组可化为两个二元一次方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝0，xy ＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，xy ＋y 2＝4.
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3，y 2
＝－1. 所以该方程组的解集为{(x ，y )|(3，1)，(－3，－1)}．
8．解方程组：
(1)⎩
⎪⎨⎪⎧xy －x －y ＋1＝0， ①3x 2＋4y 2＝1； ② (2)⎩
⎪⎨⎪⎧3x 2－xy －4y 2－3x ＋4y ＝0， ①x 2＋y 2＝25. ② 解：(1)由①得(x －1)(y －1)＝0，即x ＝1或y ＝1.
(ⅰ)当x ＝1时，4y 2＝－2无解．
(ⅱ)当y ＝1时，3x 2＝－3无解，
所以原方程组的解集为∅.
(2)由①得(3x －4y )(x ＋y )－(3x －4y )＝0，
(3x －4y )(x ＋y －1)＝0，
即3x －4y ＝0或x ＋y －1＝0.
由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝25得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(4，3)，(－4，－3)，(4，－3)，(－3，4)}．
[B 能力提升]
9．解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝5（x ＋y ）， ①x 2＋xy ＋y 2＝43. ② 解：由①得，x 2－y 2－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y )－5(x ＋y )＝0⇒(x ＋y )(x －y －5)＝0， 所以x ＋y ＝0或x －y －5＝0，
所以原方程组可化为两个方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧x －y －5＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋xy ＋y 2＝43，
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝－6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝1或⎩⎨⎧x 3＝43y 3＝－43，⎩⎨⎧x 4＝－43y 4＝43， 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(－1，－6)，(6，1)，(43，－43)，(－43，43)}．
10．解方程组：
(1)⎩
⎪⎨⎪⎧3x 2＋xy ＋y 2＝15， ①3x 2－31xy ＋5y 2＝－45； ② (2)⎩⎨⎧4a 2＋4
b 2＝1， ①
16a 2＋1b 2＝1. ②(a >0，b >0) 解：(1)①×3＋②得，3x 2－7xy ＋2y 2＝0，
(3x －y )(x －2y )＝0，
3x －y ＝0或x －2y ＝0，
将y ＝3x 代入①得，x 2＝1，所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3， 将x ＝2y 代入①得，y 2＝1，所以⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝2y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－1. 所以原方程组的解集为{(x ，y )|(1，3)，(－1，－3)，(2，1)，(－2，－1)}．
(2)令x ＝1a 2，y ＝1b 2.
所以⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝116x ＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝120y ＝15⇒⎩⎨⎧1a 2＝120
1b 2＝15.
所以⎩⎨⎧a ＝25b ＝5
(因为a >0，b >0)． 即原方程组的解集为{(a ，b )|(25，5)}．
11．k 为何值时，方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2， ①y 2－4x －2y ＋1＝0. ② (1)有一个实数解，并求出此解；
(2)有两个不相等的实数解；
(3)没有实数解．
解：将①代入②，整理得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0， ③ Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1＝－16(k －1)．
(1)当k ＝0时，y ＝2，则－4x ＋1＝0，解得x ＝14
， 方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝2
. 当⎩⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝0
时，原方程组有一个实数解，即k ＝1时方程组有一个实数解，将k ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y 2－4x －2y ＋1＝0，y ＝x ＋2.解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. (2)当⎩
⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝－16（k －1）>0时，原方程组有两个不相等的实数解，即k <1且k ≠0. 所以当k <1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解．
(3)当⎩
⎪⎨⎪⎧k 2≠0，Δ＝－16（k －1）<0时，解得k ＞1，即当k >1时，方程组无实数解． [C 拓展探究]
12．规定：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc .例如，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2 －13 0＝2×0－3×(－1)＝3. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 y 2
x ＝1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x z －3 5＝8，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 z 6 y ＝－3.
解：根据规定，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 y 2 x ＝3x －2y ＝1，
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x z －3 5＝5x ＋3z ＝8， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 z 6 y ＝3y －6z ＝－3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1， ①5x ＋3z ＝8， ②3y －6z ＝－3， ③
②×2＋③，得10x ＋3y ＝13. ④
将①与④组成二元一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，10x ＋3y ＝13. 解这个方程组，得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. 把y ＝1代入③，得z ＝1，
所以原方程组的解集为{(x ，y ，z )|(1，1，1)}．。