§4.04 拉普拉斯逆变换
拉普拉斯逆变换
A s1
1 2
(
s
2 2)2
22
2,0 2
f t [et 1 e2t sin2 t ] u(t)
2
X
第
第二种情况：极点为共轭复数(通用公式)
16
Fs
As
Ds s α 2 β 2
s
α
F1 s jβ s α
jβ
页
共轭极点出现在 α jβ
F s K1 K2 ......
s α jβ s α jβ
将F ( s)分子、分母分别进行因式分解：
X
第
将F ( s)分子、分母分别进行因式分解：
5
页
F(s)
A(s) B(s)
am (s z1 )(s bn(s p1 )(s
z2 )(s zm ) p2 )(s pn )
零点 z1, z2, z3 zm是As 0的根,称为Fs的零点
因为A(s) 0 F(s) 0
1
K2
(s
2
j 2) (s
1)( s
2
j 2)( s
2
j 2)
j 4
s2 j2
可见K2 ,
K3成共轭关系：K3
K
2
F(s) 1
1j 4
1j 4
s1 s 2 j2 s 2 j2
X
F(s) 1
1j 4
1j 4
第 14
页
s1 s 2 j2 s 2 j2
f t [et 1 j e-(2j2)t 1 j e-(2 j2)t ]u(t )
k1 ( s
1)2
k2
0
左边
d ds
(s 1)2 F (s)
§4.04 拉普拉斯逆变换
1 k2 ( s 3)F ( s ) s 3 2
BUPT 尹霄丽
第
共轭极点出现在 α jβ K1 K2 F s ...... s α jβ s α jβ F1 α jβ K1 s α jβ F s s α jβ 2 jβ
k11 F1 ( s ) s p ( s p1 ) k F ( s )
1
s p1
求其他系数，要用下式
1 d i 1 k1 i F1 ( s ) i 1,2,3, k i 1 ( i 1)! d s s p1 d 当i 2, K 12 F1 ( s ) s p1 ds 1 d2 当i 3, K 13 F1 ( s ) s p1 2 BUPT 尹霄丽 2 ds
§ 4.4 拉普拉斯逆变换
北京邮电大学电子工程学院 陈智娇
主要内容
由象函数求原函数的三种方法
部分分式展开法求拉氏逆变换 三种特殊情况
s1 F ( s) 2 s 5s 6
F s s
第
2 页
s
2
2
s3 5s2 9s 7 F ( s) s2 3s 2 e 2 s F ( s) 2 s 3s 2
零点 极点
z1 , z 2 , z 3 z m 是As 0的根, 称为F s 的零点
因为A( s) 0 F ( s) 0 p1 , p2 , p3 pn 是B s 0的根, 称为F s 的极点 因为B( s) 0 F ( s)
第
4 页
BUPT 尹霄丽
二．F(s)的一般形式
通常F s 具有如下的有理分式形式 :
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节拉普拉斯变换（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。
一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。
例12.1求斜坡函数()f t at =（0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。
解：0000[]()[]pt ptpt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim)()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，0000→→→→εεεε，即1)]([=t L δ。
例12.3现有一单位阶跃输入0,()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。
解：00011[()]()1[]pt pt pt L u t u t e dt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。
例12.4求指数函数()at f t e =（a 为常数）的拉氏变换。
解：()001[]atat ptp a t L e e e dt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。
拉普拉斯变换及逆变换
第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。
我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。
本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。
第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。
这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。
一、拉氏变换的基本概念定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=0)()( （12.1）称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。
函数()F P 称为()f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。
函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作)()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。
关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。
为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。
（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。
为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。
4.4拉普拉斯逆变换
1.部分分式展开法（真分式）
（1）D(s)=0的根为实根且无重根
（2）D(s)=0的根包含共轭复根
（3）D(s)=0的根包含重根
2.围线积分法（留数法）
2012-12-21
东华理工大学 任课教师：魏雄
1.部分分式展开法（真分式）
设F(s)为有理函数，可以由两个多项式之比表示，即
n Ki n A( s) A( s) 1 1 i f (t ) L L ( s Pi ) ePt B( s ) s Pi i 1 B( s) s Pi i 1 或 A( s) i f (t ) ePt i 1 B '( s ) s P i
对F ( s )e
st
2.围线积分法（留数法）f (t )
F ( s )e 2 j
c
1
st
ds Res P i
i 1 n st
n
当t 0时，f (t )
2 j
1
j
j
F ( s )e ds Res P i
i 1
如果F ( s )e st 在s P时有单极点 i 则该极点的留数， P＝ s P ) F ( s )e st ]s Pi Res i [( i 如果F ( s )e st 在s P时有r重极点 i 1 d r 1 则该极点的留数， P＝ Res i [ r 1 ( s P ) r F ( s )e st ]s Pi i （r 1 ! ds ）
2012-12-21 东华理工大学 任课教师：魏雄
1 j F ( s )e st ds 2j j 像函数F(s)的拉普拉斯反变换为： 由复变函数的留数定理可知，若函数 f (z) 在区域D内除有限个奇 点外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则有 c f ( z )dz 2 j Res[ f ( z ), zi ]
f(s) = s的拉普拉斯逆变换
f(s) = s的拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换是将给定函数的拉普拉斯变换逆向转化回原始函数的过程。
在数学和工程学科中，拉普拉斯变换和逆变换是非常重要的工具，用于解决微分方程、信号处理、控制系统等领域中的问题。
设f(t)为定义在实数域上的函数，它的拉普拉斯变换为F(s)，即F(s) = L[f(t)]。
假设f(t)满足一定的条件，根据拉普拉斯逆变换的定义，我们要找到一个函数f(t)，使得它的拉普拉斯变换等于F(s)，即L[f(t)] = F(s)。
通常，拉普拉斯逆变换可以通过查表、利用已知逆变换的性质和公式，或进行适当的换元和部分分式展开来进行计算。
首先，我们来看一些常见的拉普拉斯变换对应关系及其逆变换。
1.常数函数的拉普拉斯变换及逆变换：设f(t) = A，其中A为常数。
其拉普拉斯变换为F(s) = A/s，逆变换为f(t) = A。
2.基本初等函数的拉普拉斯变换及逆变换：- t的幂函数：f(t) = t^n，n为正整数。
其拉普拉斯变换为F(s) = n! / s^(n+1)，逆变换为f(t) = t^n。
-指数函数：f(t) = e^(at)，a为常数。
其拉普拉斯变换为F(s) = 1 / (s-a)，逆变换为f(t) = e^(at)。
-正弦函数和余弦函数：f(t) = sin(ωt)，f(t) = cos(ωt)，其中ω为常数。
其拉普拉斯变换分别为F(s) = ω / (s^2 + ω^2)，F(s) = s / (s^2 + ω^2)，逆变换分别为f(t) = sin(ωt)，f(t) = co s(ωt)。
3.变换法则：-移位定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(at)f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)。
-压缩定理：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(at)的拉普拉斯变换为(1/a)F(s/a)。
-初值定理：若函数f(t)是连续的有界函数，并且对于t>0，有f(t)=0，则有lim(s→∞)sF(s) = f(0+)，其中f(0+)表示f(t)在t=0+时的右极限。
常见拉普拉斯逆变换公式
常见拉普拉斯逆变换公式拉普拉斯逆变换是一种将拉普拉斯变换后的函数还原为原始函数的数学技术。
在数学和工程领域中经常使用，它可用于求解微分方程、信号处理、控制系统和电路分析等问题。
以下是常见的拉普拉斯逆变换公式：1. δ(t-a)δ(t-a)表示在时间t=a时刻出现一个单位脉冲，其拉普拉斯变换为1。
其逆变换公式为：L^-1{1} = δ(t)即，拉普拉斯逆变换后得到的是单位脉冲函数。
2. e^-ase^-as表示一个指数衰减信号，其拉普拉斯变换为1/(s+a)。
其逆变换公式为：L^-1{1/(s+a)} = e^-at即，拉普拉斯逆变换后得到的是指数衰减信号。
3. 1/(s-a)1/(s-a)表示一个单极点函数，其拉普拉斯变换为e^at。
其逆变换公式为：L^-1{e^at} = u(t-a)即，拉普拉斯逆变换后得到的是阶跃函数。
4. s/(s^2+a^2)s/(s^2+a^2)表示一个正弦信号，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
其逆变换公式为：L^-1{a/(s^2+a^2)} = sin(at)即，拉普拉斯逆变换后得到的是正弦信号。
5. (s-a)/(s^2+a^2)(s-a)/(s^2+a^2)表示一个余弦信号，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)-a/(s^2+a^2)。
其逆变换公式为： L^-1{s/(s^2+a^2)-a/(s^2+a^2)} = cos(at)即，拉普拉斯逆变换后得到的是余弦信号。
以上是常见的拉普拉斯逆变换公式，通过使用这些公式，可以将复杂的函数还原为原始函数，从而解决实际问题。
拉普拉斯逆变换
dt 2
dt
且r(0 ) 1, r'(0 ) 2, e(t) e2tu(t). 求全响应、 零输入响应 和零状态响应, 并指出其自由响应、 强迫响应、 瞬态响应和稳
态响应各分量.
rzi (t)
5 2
et
3 2
e3t
t0
三、全响应
rzs (t) (et e3t 2e2t )u(t)
r(t)
3s
k1 k2
(s 4)(s 2) s 4 s 2
3s
63
(s 4)(s 2) s 4 s 2
f (t) (6e4t 3e2t )u(t)
4s 5 (12) s2 5s 6
4s 5 k1 k2 s2 5s 6 s 2 s 3
4s 5 3 7 s2 5s 6 s 2 s 3
4
2
(s
2 1) 2
] 4
f (t) 7 e2t 2 et[cos(2t) 2sin( 2t)] (t 0) 55
5
2、极点为重根（多重极点）
B(s) (s p1)k (s pk1) (s pn )
F(s)
k11 (s p1)k
k12
(s p1)k1
k1k s p1
kk 1 s pk1
, 求其逆变换f
(t)
F
(s)
[(
s
s 1)2
2 3 4](
s
2)
LT [e at
sin( 0t)]
(s
0
a)2
02
7
2s2
F (s)
s
5
2
5 (s 1)2
4
LT [e at
cos(0t)]
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
拉普拉斯变换及反变换.ppt
1 s 1 sa
由终值定理得
f () lim sF ( s) lim
s 0 s 0
1 s 0 sa
机械工程控制基础
七、时域卷积性 8时域卷积性：
L 若f1 (t ) F1 ( s ), f 2 (t ) F2 ( s ) L 则f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( s ) F2 ( s )
例3
1 1 I ( s ) ℒ [1 e ] s s1 1 1 i ( t ) t lims( )1 s0 s s1
-t
机械工程控制基础
1 例4：已知F(s)= ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换及反变换
解：由初值定理得
f (0) lim sF ( s) lim
st
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) t
ℒ [t ]
n
n
n
（幂函数）
0
t e dt 0
n st
t n st de s
t st e s
tn 0 st lim t e
0
e st n n n1 st dt t e dt 0 s 0 s
I (s) R LsI (s) Ui (s)
Ui(s)
H(s)
I(s)
系统方框图
机械工程控制基础
（3）求系统传递函数 H(s)
（4）应用时域卷积定理
拉普拉斯变换及反变换
I ( s) 1 U i (s) R Ls
h(t) Ui(s) H(s) I(s)
拉普拉斯反变换
N( p) N( p) = D( p) an ( p p1)( p p2 )( p pn )
k1 k2 kn = + ++ p p1 p p2 p pn
左右两边同乘以因子 ( p pi )再令 p = pi (i = 1,2,n)
2 3 1 3 2 = p 1+ 2 12 3 2 p + p +1 ( p+ ) +( ) 1 2 2 t 2 3
长除法
2 2 1 p +1 p p d 1 1 (3). 2 = ( 2 )+ 2 2= 2 2 ( p + 1) ( p +1) 2 dp p +1 p +1 d 1 d 1 sintε (t) p ( 2 ) [t sintε (t)] 2 dp p + 1 dt p +1 1 1 ∴ f (t) = [ t cos t + sint]ε (t) 2 2
3
e
2
sin
2
tε (t)
求拉氏反变换
e (1). p+2
p
2( p+2)
1 1 2 p 解： ∵ ε (t) e ε (t 2) p p
p ε (t) + ε (t 1) ε (t 3) ε (t 4) p 1+ e 3 p ε (t) + ε (t 1),1 e δ (t) δ (t 3) 或 p
2 4θ k11 = ( p + 2 j1) F( p) p=2+ j1 = e 4 π d 1 j2 k12 = [( p + 2 j1)2 F( p)] p=2+ j1 = e dp 4 1 2t π 1 2t π f (t ) = [ te cos(t ) + e cos(t + )]ε (t ) 4 2 2 2
拉普拉斯逆变换求解零状态响应
拉普拉斯逆变换求解零状态响应标题：拉普拉斯逆变换求解零状态响应：从基本概念到实际应用的深入探讨引言：在信号与系统领域中，拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它在分析线性时不变系统的响应时起着至关重要的作用。
而拉普拉斯逆变换则是对拉普拉斯变换进行逆运算，用于求解系统的零状态响应。
本文将从基本概念出发，逐步深入探讨拉普拉斯逆变换的原理、公式推导以及实际应用，旨在帮助读者全面理解并掌握该重要技术。
第一部分：拉普拉斯逆变换的基本概念和原理1.1 拉普拉斯逆变换的定义拉普拉斯逆变换是指将复平面上的拉普拉斯变换函数转换回时域的过程。
它能够将频域表示的系统响应转换为时间域的表达式，进一步得到系统的零状态响应。
1.2 拉普拉斯逆变换的公式推导拉普拉斯逆变换的公式推导基于拉普拉斯变换的定义和拉普拉斯逆定理。
通过将拉普拉斯变换的积分路径置于复平面的可行区域，并运用留数定理等数学方法，可以求解出具体的逆变换公式。
第二部分：拉普拉斯逆变换的应用案例2.1 零状态响应的求解步骤通过拉普拉斯逆变换，我们可以求解线性时不变系统的零状态响应。
具体步骤包括：首先将系统的拉普拉斯变换表示式转换为分子多项式和分母多项式的形式；然后将分数形式的拉普拉斯变换表达式分解为简单的部分分式；最后使用拉普拉斯逆变换公式，逐个求解得到系统的零状态响应。
2.2 实际应用示例：信号去噪以信号去噪为例，我们可以利用拉普拉斯逆变换对滤波系统进行分析和设计。
通过将噪声信号和滤波器的拉普拉斯变换表示进行运算，得到滤波器的时间域表达式，从而实现对噪声信号的去除。
第三部分：个人观点和理解对于拉普拉斯逆变换的求解方法和应用领域，我认为搞清楚基本的概念和原理是非常重要的。
只有深入理解拉普拉斯变换的定义和公式推导过程，才能更好地应用于实际问题中。
在具体应用中，我们需要对系统的特性有清晰的认识，以便选择合适的逆变换公式和求解方法。
总结：通过本文的讨论，我们深入探讨了拉普拉斯逆变换的原理、公式推导和实际应用。
laplace逆变换公式
拉普拉斯逆变换是将拉普拉斯变换的频域表达式转换回时间域的过程。
逆变换的具体形式取决于拉普拉斯变换的函数形式。
下面是一些常见的拉普拉斯逆变换公式：
常数项：L^-1 {1} = δ(t)
单位阶跃函数：L^-1 {1/s} = u(t)
指数函数：L^-1 {1/(s-a)} = e^(at) u(t)
正弦函数：L^-1 {s/(s^2 + a^2)} = (1/a)sin(at) u(t)
余弦函数：L^-1 {s/(s^2 + a^2)} = (1/a)cos(at) u(t)
指数衰减函数：L^-1 {1/(s+a)} = e^(-at) u(t)
指数增长函数：L^-1 {1/(s-a)} = e^(at) u(t)
这些是一些常见的拉普拉斯逆变换公式，用于将频域中的拉普拉斯变换表达式转换回时间域。
请注意，具体的逆变换形式还可能涉及到系数调整和时间偏移，具体取决于函数的形式和约定的定义。
在实际应用中，可以根据所给出的拉普拉斯变换函数表达式，通过查阅相关的数学表格或使用计算工具（如符号计算软件）来求取逆变换。
这样可以更准确地得到所需的逆变换结果。
拉普拉斯逆变换存在的条件-概述说明以及解释
拉普拉斯逆变换存在的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述1.2 文章结构本文按照以下结构组织：引言部分介绍了本文的研究背景和意义，概述了拉普拉斯逆变换的基本概念，并阐明了文章的目的和重要性。
接下来，正文部分将详细讨论拉普拉斯逆变换的定义和存在条件。
首先，我们将给出拉普拉斯逆变换的准确定义，并解释其在信号处理和控制系统中的应用。
紧接着，我们将深入探讨拉普拉斯逆变换存在的条件，包括函数的原函数与拉普拉斯变换的关系，极限的存在性以及函数的Laplace可逆性等等。
我们将通过理论推导和实例分析，阐述这些条件的重要性和实际意义。
最后，结论部分对本文的研究进行总结，强调拉普拉斯逆变换存在的条件对于信号处理和控制系统的应用的重要性。
同时，我们也提出了一些研究展望，如如何改进和拓展现有的拉普拉斯逆变换存在条件的研究，以及在更广泛领域的应用等。
通过以上结构的组织，本文将系统地介绍拉普拉斯逆变换存在的条件，从而使读者对该概念有一个全面的理解。
我们希望本文能够为相关领域的研究提供参考，并为读者进一步探索拉普拉斯逆变换的应用和理论研究提供思路。
1.3 目的本文的目的是探讨拉普拉斯逆变换存在的条件。
拉普拉斯逆变换是一种重要的数学工具，在信号处理、电路分析等领域中具有广泛应用。
通过进行拉普拉斯逆变换，我们可以将一个复杂的时间域函数转换为频域函数，从而更好地理解和分析信号的特性。
然而，拉普拉斯逆变换并不是所有函数都可以进行的，存在一定的条件限制。
了解这些条件，对于正确应用拉普拉斯逆变换至关重要。
因此，本文的目的是系统地探讨这些存在条件，深入分析其原因和作用。
通过本文的研究，读者将能够了解在何种情况下可以应用拉普拉斯逆变换，以及无法应用的情况下可能出现的原因。
同时，我们还将讨论如何利用这些条件来解决实际问题，并给出一些存在条件的典型例子。
希望通过本文的阐述，读者能够对拉普拉斯逆变换的存在条件有更清晰的认识，进而在实际应用中有效地运用这一数学工具，提高问题的分析和解决能力。
第四章2拉氏变换逆变换
实际中出现共轭极点时也可以采用如下展开法：
设k1 c jd , 则k2 c jd c jd c jd F ( s) s j s j A1s A2 2 2 (s )
利用待定系数法确定系 数A1和A2
2019/2/26 信号与系统
K0 K1 K2 s 2 s 1 j2 s 1 j2
2019/2/26 信号与系统
K 0 ( s 2) F ( s) s 2
s2 3 7 2 s 2s 5 s 2 5 s2 3 ( s 1 j 2)(s 2) s 2
A B
1 st F ( s ) e ds 2j c Res[F ( s)e ]
st
2019/2/26 信号与系统
C
留数求解公式：
pi为一阶极点：ri ( s pi ) F ( s )e st |s pi 1 d k 1 k st pi为k阶极点：ri [( s p ) F ( s ) e ] | s pi i k 1 (k 1)! ds
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
7 2 t 2 t 4 t f (t ) e e cos( 2t )u (t ) e sin( 2t )u (t ) 5 5 5
f (t ) ILTF (s) 2 (t ) e2t cos2t u(t )
2019/2/26 信号与系统
二、部分分式分解法
（要求熟练掌握的一种方法）
原函数的象函数一般都是有理分式的形式：
拉普拉斯逆变换方法
拉普拉斯逆变换方法
拉普拉斯逆变换方法是一种重要的数学工具，它可以帮助我们将拉普拉斯变换后的函数还原成原始函数。
通过拉普拉斯逆变换方法，我们可以快速地求解各种微分方程、积分方程以及差分方程等。
具体来说，拉普拉斯逆变换法可以将一个复杂的拉普拉斯变换函数转化为一个简单的时间函数。
这个方法需要用到一些数学工具，比如分数分解、部分分式分解、残量定理等。
通过这些工具，我们可以将一个复杂的拉普拉斯变换函数分解成若干个简单的因子，然后通过拉普拉斯逆变换公式将它们还原成时间函数。
需要注意的是，拉普拉斯逆变换方法并不是一种通用的方法，对于某些复杂的函数，无法使用这种方法求解。
此外，在使用拉普拉斯逆变换方法时，我们也需要注意一些细节问题，比如极点的位置、幂级数展开的收敛性等。
总之，拉普拉斯逆变换方法是一种非常有用的数学工具，在各种科学和工程领域都有广泛的应用。
掌握这种方法可以帮助我们更好地解决各种实际问题。
- 1 -。
拉普拉斯逆变换留数法
拉普拉斯逆变换留数法
拉普拉斯逆变换留数法是一种数学方法，用于解决某些特定类型的微分方程。
它的基本思想是，将微分方程转换为拉普拉斯变换，然后使用拉普拉斯变换的逆变换来求解原始微分方程。
拉普拉斯逆变换留数法的基本步骤是：首先，将微分方程转换为拉普拉斯变换，然后使用拉普拉斯变换的逆变换来求解原始微分方程。
其次，将拉普拉斯变换的结果代入原始微分方程，求解出原始微分方程的解。
最后，将求得的解代入拉普拉斯变换，求出拉普拉斯变换的结果，即拉普拉斯逆变换留数法的结果。
拉普拉斯逆变换留数法的优点是，它可以解决一些复杂的微分方程，而且计算
结果比较准确。
另外，它还可以用来解决一些非线性微分方程，这是其他方法所不能做到的。
总之，拉普拉斯逆变换留数法是一种有效的数学方法，可以用来解决一些复杂
的微分方程，具有计算结果准确、可以解决非线性微分方程等优点。
信号与系统-拉普拉斯逆变换
(t ) ↔1,δ ' (t ) ↔s,L Qδ
∴δ (t ) + 2δ (t ) ↔ s + 2
'
下面主要讨论有理真分式的情形。 下面主要讨论有理真分式的情形。
实系数有理真分式 有理真分式（ 如果 F (s ) 是 s 的实系数有理真分式（式中 m < n )
B( s ) bm s + bm −1 s + L + b1 s + b0 F ( s) = = n A( s ) s + a n −1 s n −1 + L + a1 s + a0
二、部分分式展开法 的有理分式， 若 F( S) 是s的有理分式，可写为： 的有理分式 可写为：
bms + bm−1s +L+ b1s + b0 F( S) = n n−1 s + an−1s +L+ a1s + a0 式中， 式中，各系数 ai (i = 0,1,L n), bj ( j = 0,1,L m) , , 均为实数， 均为实数，为简单设 an = 1。 若 m≥ n ,可用多项式除法将象函数F(s) 可用多项式除法将象函数 分解为有 ≥
− jθ 1
k1 e k1 e F (s ) = + s + α − j β s + α + jβ
jθ 1
− jθ 1
f ( t ) = K1 e
[
jθ1 ( −α + jβ ) t
Hale Waihona Puke e= K1 e−αt
= 2 K1 e
若
−αt
[e
+ K1 e
− jθ1 ( −α − jβ )t
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a1 s a0 A( s ) am s am 1 s F ( s) B( s ) bn s n bn1 s n1 b1 s b0
A( s ) am ( s z1 )( s z2 )( s zm ) F ( s) B( s ) bn ( s p1 )( s p2 )( s pn )
第
4.4 拉普拉斯逆变换
由象函数求原函数的三种方法 (1)部分分式法 (2)利用留数定理——围线积分法 (3)数值计算方法——利用计算机
1 页
X
一．F(s)的一般形式 通常F s 具有如下的有理分式形 式:
m m 1
第 2 页
当m n , F s 为有t f1 t 2 [e
( t 2)
e
2( t 2 )
] u (t 2)
X
1. 非真分式: 化为真分式＋多项式
2. 含e 的非有理式
s
X
第
1.非真分式——真分式＋多项式
s 3 5s 2 9s 7 F ( s) 2 s 3s 2
作长除法
6 页
s2 2 3 2 s 3s 2 s 5s 9s 7
s3 s 3 3s 2 2s F ( s) s 2 2 s 1s 2 2s 7 s 7 s 2 F1 ( s ) 2 2s 6s 4 2 1 s3 F1 ( s ) s1 s 2 f t (t ) 2 (t ) 2 e t u(t ) e 2 t u(t )
求出k1 , k2 , k3 kn ,即可将F s 展开为部分分式
kn k1 k2 F ( s) s p1 s p2 s pn
ki ( s pi )F ( s )
s pi
X
第
2. 第二种情况：极点为共轭复数 3.第三种情况：有重根存在
5 页
四．F(s)两种特殊情况
z1 , z2 , z3 zm 是A( s ) 0的根, 称为F ( s )的零点 零点： 因为A( s) 0 F ( s) 0 p1 , p2 , p3 pn 是B( s ) 0的根, 称为F ( s )的极点 极点：
因为B( s) 0 F ( s)
X
二．求拉氏逆变换的步骤
1. 找出F ( s)的极点
2. 将F ( s)展成部分分式
3. 查拉氏变换表求 f (t )
第 3 页
X
三．部分分式展开法 (m<n)
1.第一种情况：单阶实数极点 A( s ) F ( s) ( s p1 )( s p2 )( s pn )
第 4 页
p1 , p2 , p3 pn为不同的实数根
X
2.含
s
e
s
第
的非有理式
7 页
e 项不参加部分分式运算 ， 求解时利用 时移性质。
e 2s F1 ( s ) e 2 s 3s 2
1 1 F1 ( s ) s1 s 2
1 t 2 t
2 s
f1 (t ) L F1 ( s ) (e e ) u(t )