重庆市第一中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题 文

重庆市第一中学2020学年高二数学下学期第一次月考试题 文
第Ⅰ卷
一、选择题（大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在等比数列{}n a 中，11
3a =
，232a a =，则3a 等于（ ） A ．2 B ．43 C ．83 D ．16
3
2.已知复数()12z i i +=，则z =（ ）
A B ．2 C ．3 D ．4 3.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（ ） ①()cos y x x R =∈是三角函数；②三角函数是周期函数； ③()cos y x x R =∈是周期函数.
A ．①②③
B ．②①③
C ．②③①
D ．③②① 4.函数()a
f x x =，a Q ∈，若'(1)4f =，则a 的值为（ ） A ．4 B ．-4 C ．5 D ．-5
5.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数
6.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α⊆，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α⊆，则l α⊥ C ．若l α⊥，l m ⊥，则//m α D ．若//l m ，m α⊆，则//l α
7.直线34x y b +=与圆2
2
2210x y x y +--+=相切，则b =（ ） A ．-2或12 B ．2或-12 C ．-2或-12 D ．2或12
8.命题p ：x R ∃∈使sin x =；命题q ：x R ∀∈都有2
10x x ++>.下列结论正确的是（ ）
A ．命题p q ∧是真命题
B ．命题()p q ∧⌝是真命题
C ．命题()p q ⌝∧是真命题
D ．命题()()p q ⌝∧⌝是假命题
9.椭圆
22
14924
x y +=的左、右焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48 10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．23π
B ．232π
C ．
33π+ D ．23
23
π+ 11.某同学在只听课不做作业的情况下，数学总不及格.后来他终于下定决心要改变这一切，他以一个月为周期，每天都做一定量的题，看每次月考的数学成绩，得到5个月数据如下表：
一个月内每天做题数x 5 8 6 4 7 数学月考成绩y
82
87
84
81
86
根据上表得到回归直线方程$1.6y x a =+，若该同学数学想达到90分，则估计他每天至少要做的数学题数为（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 12.已知()21ln 2x
f x e x x mx ⎛
⎫
=+
- ⎪⎝⎭
，若对任意的()0,x ∈+∞，均有()()'0f x f x ->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(
2-∞ B ．)
2,⎡+∞⎣
C ．(],2-∞
D ．[)2,+∞
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答卷相应的横线上） 13.在ABC ∆中，2
2
2
2a c b ac +=，则B ∠= ．
14.已知m R ∈，复数
1m i
i
++的实部和虚部相等，则m 的值为
． 15.重庆一中开展了丰富多彩的社团文化活动，甲，乙，丙三位同学在被问到是否参加过街舞社，动漫社，器乐社这三个社团时，
甲说：我参加过的社团比乙多，但没有参加过动漫社； 乙说：我没有参加过器乐社；
丙说：我们三个人都参加过同一个社团，由此判断乙参加过的社团为 ．
16.双曲线
22
2
1(0)3x y b b -=>的右焦点F 到其一条渐近线的距离为1，抛物线22(0)y px p =>的准线过双曲线的左焦点，则抛物线上的动点M 到点()5,0距离的最小值
是 ．
三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知曲线C 的参数方程为35cos 15sin x y α
α
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的普通方程；
（2）若直线l 的极坐标方程为1
sin cos ααρ
-=
，求直线l 被曲线C 截得的弦长.
18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =，15150S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记124
n
a n
b =
⋅，{}n b 的前n 项和为n T ，求n T . 19.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC AD ⊥，底面ABCD 为梯形，
//AB DC ，AB BC ⊥，1PA AB BC ===.
（1）求证：AD ⊥面PAC ；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积V .
20.某校为了了解学生对消防知识的了解情况，从高一年级和高二年级各选取100名同学进行消防知识竞赛.下图（1）和下图（2）分别是对高一年级和高二年级参加竞赛的学生成绩按
[)40,50，[)50,60，[)60,70，[]70,80分组，得到的频率分布直方图.
（1）请计算高一年级和高二年级成绩小于60分的人数；
（2）完成下面22⨯列联表，并回答：有多大的把握可以认为“学生所在的年级与消防常识的了解存在相关性”？
成绩小于60分人数 成绩不小于60分人数
合计 高一 高二 合计
附：临界值表及参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
()20P K x ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0x
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21.如图所示，已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂
直，椭圆E 上一点与椭圆E 的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2，且椭圆的离心率为
3
2
.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2） 设P 是椭圆E 上异于A ，B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点M ，N 点为MB 的中点，试判断直线PN 与椭圆E 的位置关系，并证明你的结论. 22.已知函数()()ln 3f x x a x ax =-+-()1,x a Z ≥∈. （1）若2a =，试判断函数()f x 的零点个数；
（2）若函数1
()()(1)3g x f x a x x
=+--+在[)1,+∞上为增函数，求整数a 的最大值.
（可能要用到的数据：ln1.590.46≈，ln1.60.47≈，
400
9.7641
≈）
2020年重庆一中高2020级3月份定时练习
参考答案（文科）
一、选择题
1-5: BABAB 6-10: ADCCA 11、12：CC 二、填空题 13. 45o
（或4
π
） 14. 0 15. 街舞社
16. 三、解答题
17.【答案】（1）∵曲线C
的参数方程为31x y α
α
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），
∴曲线C 的普通方程为()()2
2
315x y -+-=； 曲线C 表示以()3,1
. （2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=， ∴圆心()3,1
到直线的距离为d =
=
，
∴弦长为2=l 被曲线C
. 18.【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则3125a a d =+=，151********S a d =+⨯=， 解得13a =，1d =，∴2n a n =+. （2）易知：2
1224
n n n b +=
⨯=， 12n n T b b b =++⋅⋅⋅+2
222n
=++⋅⋅⋅+()12122212
n n +-=
=--.
19.试题分析：（1）先由线面垂直的性质得PA BC ⊥，再结合已知条件可得BC ⊥平面PAB ，进而使问题得证；（2）易证得DAC ∆为等腰直角三角形，从而求得DC 的长，进而求得四棱锥P ABCD -的体积.
试题解析：（1）证明：如图，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA AD ⊥. 又PC AD ⊥，PA PC P =I ，
∴AD ⊥面PAC .
（2）∵AD ⊥面PAC ，AC ⊂面PAC ，∴AC AD ⊥， 在梯形ABCD 中，由AB BC ⊥，AB BC =，得4
BAC π
∠=，
∴4
DCA BAC π
∠=∠=
；
又AC AD ⊥，故DAC ∆为等腰直角三角形，∴22DC AB ==， ∴()1312122ABCD S =
+⨯=梯形； 13P ABCD
ABCD V S PA -=⨯1311322
=⨯⨯=. 20.（1）请计算高一年级和高二年级成绩小于60分的人数； 解：高一年级成绩低于60分人数为：()0.030.041010070+⨯⨯=； 高二年级成绩低于60分人数为：()0.0350.0151010050+⨯⨯=. （2）22⨯列联表如下：
由于2
2
200(50305070)10010012080
K ⨯-⨯=⨯⨯⨯8.3337.879≈>，
所以有99.5%的把握认为“学生所在的年级与消防知识的了解有关”. 21.解：（1）依题设条件可得：2ab =，
c a =.又222a c b -=，解得24a =，2
1b =，所以椭圆E 的标准方程为2
214
x y +=. （2）直线PN 与椭圆E 相切于点P .证明如下： 设点00(,)P x y ，又()2,0A -，所以直线AP 的方程为()0
022
y y x x =
⋅++.令2x =，得00042y y x =
+，即点004(2,
)2y M x +.又点()2,0B ，N 为MB 中点，所以0
02(2,)2
y N x +.
于是直线PN 的方程为0
000
22
2y y x y y x -+-=-()0x x ⋅-，即00204x y y x =-()00x x y ⋅-+.
因为
220014
x y +=，所以220044x y -=-，所以00204x y
y y =-()00x x y ⋅-+，整理得到00
44x x y y -=，由2
2001444x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
消去y 并整理得到：222000(4)8x y x x x +-2
016160y +-=，
即220020x x x x -+=，此方程的判别式()2
2
00240x x ∆=--=，所以直线PN 与椭圆E 相
切于点P .
22.解析: （1）因为2
'()ln 3f x x x
=-
+，易知'()f x 在[)1,+∞上为增函数，则'()'(1)1f x f ≥=，
故函数()(2)ln 23f x x x x =-+-在[)1,+∞上为增函数，又(1)10f =-<，(2)10f =>， 所以函数()f x 在[)1,+∞上的零点有且只有一个.
（2）因为1()()ln (1)g x x a x a x =-+-，由题意2'()ln 10a a
g x x x x
=+-
+≥在[)1,+∞上恒成立，因为1x =显然成立，故只需要2(ln 1)
1x x a x +≤-在()1,+∞上恒成立.
令2(ln 1)
()1
x x h x x +=-，则min ()(1)a h x x ≤>，
因为2
[(2)ln 23]
'()(1)x x x x h x x -+-=
-，
由（1）知()(2)ln 23f x x x x =-+-在[)1,+∞上为增函数， 故函数()f x 在[)1,+∞有唯一的零点记为m .
(1.60)0.40ln1.60.200.0120f =-⨯+=>， (1.59)0.41ln1.590.180.00860f =-⨯+=-<，
则(1.59,1.60)m ∈，()(2)ln 230f m m m m =-+-=23
ln 2m m m
-⇒=
-，
则当(1,)x m ∈，'()0h x <，()h x 在(]1,m 为减函数， 则当(,)x m ∈+∞，'()0h x >，()h x 在[),m +∞为增函数，
故当x m =时，()h x 有最小值2(ln 1)()1m m h m m +=-2
2m m
=-，
令()20.40,0.41m t -=∈，
则()h x 有最小值22(2)()2m t h m m t -==-44123632
4(,)100415
t t =+-∈+， 因为41236
6.1710041
+≈，则()h x 有最小值大约在6.17～6.4之间，故整数a 的最大值为6.。