八年级上第一学期第二次月考数学试卷(1)

八年级上第一学期第二次月考数学试卷(1)
一、选择题 1．低碳环保理念深入人心，共享单车已经成为出行新方式下列共享单车图标中，是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．7的平方根是（ ）
A ．±7
B ．7
C ．－7
D ．±7
3．如图，∠A ＝30°，∠C ′＝60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，则∠B 度数为（ ）
A ．30
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
4．下列图形中的五边形ABCDE 都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品提价，现有三种方案：
方案（一）：第一次提价%p ，第二次提价%q ；
方案（二）：第一次提价%q ，第二次提价%p ；
方案（三）：第一、二次提价均为
2%p q +； 其中p ，q 是不相等的正数.
有以下说法：
①方案（一）、方案（二）提价一样；
②方案（一）的提价也有可能高于方案（二）的提价；
③三种方案中，以方案（三）的提价最多；
④方案（三）的提价也有可能会低于方案（一）或方案（二）的提价.
其中正确的有（ ）
A ．②③
B ．①③
C ．①④
D ．②④
6．在平面直角坐标系中，把直线23y x =-沿y 轴向上平移2个单位后，所得直线的函数
表达式为（ ） A ．22y x =+ B ．25y x =- C ．21y x =+ D ．21y x =-
7．4 的算术平方根是( ) A ．16 B ．2 C ．-2
D ．2± 8．下列计算正确的是（ ）
A ．5151+22
+-＝25 B ．51+﹣51-＝2 C ．515122+-⨯＝1 D ．515122
--⨯＝3﹣25 9．关于等腰三角形，以下说法正确的是（ ）
A ．有一个角为40°的等腰三角形一定是锐角三角形
B ．等腰三角形两边上的中线一定相等
C ．两个等腰三角形中，若一腰以及该腰上的高对应相等，则这两个等腰三角形全等
D ．等腰三角形两底角的平分线的交点到三边距离相等
10．如图，直线(0)y kx b k =+≠经过点(1,3)-，则不等式3kx b +≥的解集为（ ）
A ．1x >-
B ．1x <-
C ．3x ≥
D ．1x ≥-
二、填空题
11．如图，ABC ADC ∆≅∆，40BCA ∠=︒，80B ∠=︒，则BAD ∠的度数为
________________.
12．某种型号汽车每行驶100km 耗油10L ，其油箱容量为40L ．为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时邮箱内剩余油量不低于油箱容量的
18，按此建议，一辆加满油的该型号汽车最多行驶的路程是_____km ．
13．如果点P （m+1，m+3）在y 轴上，则m=_____．
14．公元前3世纪，我国数学家赵爽曾用“弦图”证明了勾股定理.如图，“弦图”是由四个全
等的直角三角形（两直角边长分别为a 、b 且a <b ）拼成的边长为c 的大正方形，如果每个直角三角形的面积都是3，大正方形的边长是13，那么b -a =____.
15．在实数：311-50.2-803.010010001 (72)
π、、、、、、中，无理数有______个. 16．如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y=
6x
的图象有一个交点A(2，m)，AB ⊥x 轴于点B ，平移直线y=kx 使其经过点B ，得到直线l ，则直线l 对应的函数表达式是_________ .
17．如图，已知直线3y x b =+与2y ax =-的交点的横坐标为-2，则关于x 的不等式32x b ax +>-的解集为______.
18．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．
19．用四舍五入法，对3.5952取近似值，精确到0.01，结果为______．
20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（1，3），点B 的坐标为（2，-1），点C 在同一坐标平面中，且△ABC 是以AB 为底的等腰三角形，若点C 的坐标是（x ，y ），则x 、y 之间的关系为y =______（用含有x 的代数式表示）．
三、解答题
21．小明用30元买水笔，小红用45元买圆珠笔，已知每支圆珠笔比水笔贵2元，那么小明和小红能买到相同数量的笔吗？
22．如图，已知直角三角形ABC 中，ABC ∠为直角，12AB =、16BC =，三角形ACD 为等腰三角形，其中503
AD DC ==，且//AB CD ，E 为AC 中点，连接ED 、BE 、BD ，则三角形BDE 的面积为___________.
23．如图，M 、N 两个村庄落在落在两条相交公路AO 、BO 内部，这两条公路的交点是O ，现在要建立一所中学C ，要求它到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等．试利用尺规找出中学的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
24．（1）计算：0101)|32|4+（2）求x 的值：8（x +1）3＝1
25．已知：如图，ABC △和ADE △均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，连结AC ，BD ，且D 、E 、C 三点在一直线上，2AD =2DE EC =．
（1）求证：ADB AEC △≌△；
（2）求线段BC 的长．
四、压轴题
26．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足3a c x +=，3
b d y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足1413x -+=
=，()8223
y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点． （1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．
①试确定y 与x 的关系式；
②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；
③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．
27．如图1所示，直线:5L y mx m =+与x 轴负半轴，y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．
（1）当OA OB =时，求点A 坐标及直线L 的解析式．
（2）在（1）的条件下，如图2所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM OQ ⊥于M ，BN OQ ⊥于N ，若17AM =，求BN 的长． （3）当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF ∆和等腰直角ABE ∆，连接EF 交y 轴于P 点，如图3.问：当点B 在y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．
28．在等边△ABC 的顶点A 、C 处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A 向B 和由C 向A 爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t 分钟后，它们分别爬行到D 、E 处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD 和BE 始终相等吗，请证明？
（2）如果将原题中的“由A 向B 和由C 向A 爬行”，改为“沿着AB 和CA 的延长线爬行”，EB 与CD 交于点Q ，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE 的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE =60°；
（3）如果将原题中“由C 向A 爬行”改为“沿着BC 的延长线爬行，连接DE 交AC 于F ”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF =EF
29．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，
DAE BAC ∠=∠．
（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则
DB __________EC ．（填＞、＜或=）
（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．
（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．
（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．
（拓展提升）（5）如图⑤，ABC和ADE都是等腰直角三角形，
AB=，
90
∠=∠=︒，将ADE绕点A逆时针旋转，连结BE、CD．当5 BAC DAE
△与ADC的面积和的最大值为__________．
AD=时，在旋转过程中，ABE
2
30．如图，直线l1的表达式为：y=-3x+3，且直线l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l2的解析表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求点P的坐标．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
A、是轴对称图形．故选项正确；
B、不是轴对称图形．故选项错误；
C、不是轴对称图形．故选项错误；
D、不是轴对称图形．故选项错误．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据乘方运算，可得一个正数的平方根．
【详解】
）2＝7，
∴7．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根，利用了乘方运算求一个正数的平方根，注意一个正数有两个平方根．3．C
解析：C
【解析】
【分析】
由已知条件，根据轴对称的性质可得∠C＝∠C′＝30°，利用三角形的内角和等于180°可求答案．
【详解】
∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠A＝∠A′＝30°，∠C＝∠C′＝60°；
∴∠B＝180°−30°-60°＝90°．
故选：C．
【点睛】
主要考查了轴对称的性质与三角形的内角和是180度；求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°．
4．D
解析：D
【解析】
分析：直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案．
详解：如图所示：直线l 即为各图形的对称轴．
，
故选：D ．
点睛：此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据提价方案求出提价后三种方案的价格，得到方案（一）、方案（二）、方案（三）提价情况，进行对比即可得解.
【详解】
∵方案（一）：(1%)(1%)1%%%%p q p q p q ++=+++
方案（二）：(1%)(1%)1%%%%q p q p q p ++=+++ ∴方案（一）、方案（二）提价一样
∴①对，②错；
∵方案（三）：2(1%)(1%)1%%(%)222
p q p q p q p q ++++
+=+++ ∴可知： 21%%(%)(1%%%%)2p q p q p q p q ++++-+++2(%)%%2
p q p q +=-2(%)2
p q -= ∵p ，q 是不相等的正数 ∴2(
%)02p q -> ∴方案（三）提价最多
∴③对，④错
∴①③对
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了销售问题中的增长率问题，熟练掌握增长率的相关知识及整式的乘法化简是解决本题的关键.
6．D
解析：D
【分析】
根据平移法则“上加下减”可得出平移后的解析式．
【详解】
解：直线23y x =-沿y 轴向上平移2个单位后的解析式为：y=2x-3+2，即y=2x-1． 故选：D ．
【点睛】
本题考查一次函数图象平移问题，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解决此题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据算术平方根的定义直接求解即可.
【详解】
解：42=，
故选B.
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，正确把握定义是解题关键.
8．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用二次根式的加减法对A 、B 进行判断；根据二次根式的乘法法则对C 进行判断；利用完全平方公式对D 进行判断．
【详解】
解：A ==A 选项错误；
B 212
==，所以B 选项错误； C 1515114--==，所以C 选项正确；
D 、
151-=，所以D 选项错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
解析：D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和判断即可．
【详解】
解：A ：如果40︒的角是底角，则顶角等于100︒，故三角形是钝角三角形，此选项错误； B 、当两条中线为两腰上的中线时，可知两条中线相等，
当两条中线一条为腰上的中线，一条为底边上的中线时，则这两条中线不一定相等， ∴等腰三角形的两条中线不一定相等，此选项错误；
C 、如图，△ABC 和△AB
D 中，AB=AC=AD ，CD ∥AB ，DG 是△ABD 的AB 边高，CH 是是△ABC 的AB 边高，则DG=CH ，但△ABC 和△ABD 不全等；故此选项错误；
D 、三角形的三个内角的角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心．内心到三边的距离相等．故此选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．D
解析：D
【解析】
【分析】
结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】
解：观察图象知：当1x ≥-时，3kx b +≥，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠CAD，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，即可得出结论．
【详解】
∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠CAD．
∵∠B
解析：120
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠CAD，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，即可得出结论．
【详解】
∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠CAD．
∵∠BCA=40°，∠B=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠BCA﹣∠B=180°﹣40°﹣80°=60°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2∠BAC=2×60°=120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理．掌握全等三角形的性质以及三角形内角和定理是解答本题的关键．
12．【解析】
【分析】
设行驶xkm，由油箱内剩余油量不低于油箱容量的，列出不等式，即可求解．【详解】
设该型号汽车行驶的路程是xkm，
∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的，
∴﹣x+40≥40×，解
解析：【解析】
【分析】
设行驶xkm，由油箱内剩余油量不低于油箱容量的1
8
，列出不等式，即可求解．
【详解】
设该型号汽车行驶的路程是xkm，
∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的1
8
，
∴﹣
10100
x +40≥40×18，解得：x ≤350， 答：该辆汽车最多行驶的路程是350km ，
故答案为：350．
【点睛】 本题主要考查一元一次不等式的实际应用，找出不等量关系，列出一元一次不等式，是解题的关键．
13．﹣1．
【解析】∵点P （m+1，m+3）在y 轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
解析：﹣1．
【解析】∵点P （m+1，m+3）在y 轴上，
∴m+1=0，
∴m=-1．
故答案为：-1．
14．1
【解析】
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，则大正方形的面积为13，每个直角三角形的面积都是3，可以得出小正方形的面积，进而求出答案．
【详解
解析：1
【解析】
【分析】
观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知
c =，则大正方形的面积为13，每个直角三角形的面积都是3，可以得出小正方形的面积，进而求出答案．
【详解】
解：根据题意，可知，
∵c =，
132ab =， ∴221()42b a ab c -+⨯
=，213c =， ∴2()13431b a -=-⨯=，
∴1b a -=±；
∵a b <，即0b a ->，
∴1b a -=；
故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查了勾股定理、完全平方公式、四边形和三角形面积的计算，利用数形结合的思想是解题的关键．
15．3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】
解：=-2，
无理数有：，共3个.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开
解析：3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】
， 3.010010001 (2)
π
、、，共3个. 故答案为：3.
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 16．y=x-3
【解析】
【分析】由已知先求出点A 、点B 的坐标，继而求出y=kx 的解析式，再根据直线y=kx 平移后经过点B ，可设平移后的解析式为y=kx+b ，将B 点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2
解析：y=3
2
x-3
【解析】
【分析】由已知先求出点A、点B的坐标，继而求出y=kx的解析式，再根据直线y=kx平移后经过点B，可设平移后的解析式为y=kx+b，将B点坐标代入求解即可得.
【详解】当x=2时，y=6
x
=3，∴A(2，3)，B（2，0），
∵y=kx过点 A(2，3)，
∴3=2k，∴k=3
2，
∴y=3
2 x，
∵直线y=3
2
x平移后经过点B，
∴设平移后的解析式为y=3
2
x+b，
则有0=3+b，解得：b=-3，
∴平移后的解析式为：y=3
2
x-3，
故答案为：y=3
2
x-3.
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及到待定系数法，一次函数图象的平移等，求出k的值是解题的关键.
17．x＞−2
【解析】
【分析】
直线y＝3x＋b与y＝ax−2的交点的横坐标为−2，求不等式3x＋b＞ax−2的解集，就是看函数在什么范围内y＝3x＋b的图象在函数y＝ax−2的图象上方．
【详解】
解析：x＞−2
【解析】
【分析】
直线y＝3x＋b与y＝ax−2的交点的横坐标为−2，求不等式3x＋b＞ax−2的解集，就是看函数在什么范围内y＝3x＋b的图象在函数y＝ax−2的图象上方．
【详解】
解：从图象得到，当x＞−2时，y＝3x＋b的图象在y＝ax−2的图象上方，
∴不等式3x＋b＞ax−2的解集为：x＞−2．
故答案为x＞−2．
【点睛】
本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
18．【解析】
【分析】
不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y1=kx+b 在y2=x+a 的图象上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可解答．
【详解】
解：不等式的解集是．
故答案为：．
【点
解析：1x <-
【解析】
【分析】
不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y 1=kx+b 在y 2=x+a 的图象上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可解答．
【详解】
解：不等式()0kx b x a +-+>的解集是1x <-．
故答案为：1x <-．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
19．60
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
解：3.5952≈3.60（精确到0.01）．
故答案为3.60．
【点睛】
本题考查近似数和有效数字：经
解析：60
【解析】
【分析】
根据近似数的精确度把千分位上的数字5进行四舍五入即可．
【详解】
解：
3.5952≈3.60（精确到0.01）．
故答案为3.60．
【点睛】
本题考查近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
20．【解析】
【分析】
设的中点为，过作的垂直平分线，通过待定系数法求出直线的函数表达式，根据可以得到直线的值，再求出中点坐标，用待定系数法求出直线的函数表达式即可．
【详解】
解：设的中点为，过作的
解析：1548
x + 【解析】
【分析】
设AB 的中点为D ，过D 作AB 的垂直平分线EF ，通过待定系数法求出直线AB 的函数表达式，根据EF AB ⊥可以得到直线EF 的k 值，再求出AB 中点坐标，用待定系数法求出直线EF 的函数表达式即可． 【详解】
解：设AB 的中点为D ，过D 作AB 的垂直平分线EF
∵A(1，3)，B(2，-1)
设直线AB 的解析式为11y k x b =+，把点A 和B 代入得：
321k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得：11
47k b =-⎧⎨=⎩ ∴47y x =-+
∵D 为AB 中点，即D (122+，312
-)
∴D (32
，1) 设直线EF 的解析式为22y k x b =+
∵EF AB ⊥
∴121k k =- ∴ 214
k = ∴把点D 和2k 代入22y k x b =+可得：
213142
b =⨯+ ∴258b =
∴1548
y x =+ ∴点C(x ，y )在直线1548y x =
+上 故答案为
1548
x + 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，中垂线的性质，待定系数法求一次函数的表达式，根据题意作出中垂线，再用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键．
三、解答题
21．小明和小红不能买到相同数量的笔
【解析】
【分析】
首先设每支水笔x 元，则每支圆珠笔（x+2）元，根据题意可得等量关系：30元买水笔的数量=用45元买圆珠笔的数量，求出每支水笔的价钱，再算出购买的水笔的数量，数量是整数就可以，不是整数就不合题意．
【详解】
设每支水笔x 元，则每支圆珠笔(2)x +元. 假设能买到相同数量的笔，则
30452
x x =+. 解这个方程，得4x =.
经检验，4x =是原方程的解.
但是，3047.5÷=，
7.5不是整数，不符合题意，
答：小明和小红不能买到相同数量的笔.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出分式方程，注意要检验．
22．563
【解析】
【分析】
过E 点分别作EG ⊥BC ，FH ⊥DC ，垂足分别为G ，H ，分别求出EG 、EH 的长，利用BDE ABC BEC EDC S S S S ∆∆∆∆=--求解即可.
【详解】
过E 点分别作EG ⊥BC ，FH ⊥DC ，垂足分别为G ，H ，如图所示，
∵△ABC 是直角三角形，AB=12，BC=16，
∴222AC AB BC =+，即2222121620AC AB BC +=+=， ∵点C 为斜边AC 的中点，
∴BE=CE=
12AC=120102⨯= ∴CG=1116822
BC =⨯=， 在Rt △EGC 中，22221086EC CG --=，
∵AB ∥CD ，∠ABC=90°
∴∠DCB=90°
∵ EG ⊥BC ，FH ⊥DC ，
∴∠EGC=∠DCB=∠EHC=90°
∴四边形EGCH 为矩形，
∴EH=GC=6，
∴BDE ABC BEC EDC S S S S ∆∆∆∆=--=
111222BC CD BC EG EH DC -- =
150115016166823223⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯， =563
.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键.
23．作图见解析.
【解析】
【分析】
先连接MN ，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN 的垂直平分线DE ，再作出∠AOB 的平分线OF ，DE 与OF 相交于C 点，则点C 即为所求．
【详解】
点C 为线段MN 的垂直平分线与∠AOB 的平分线的交点，则点C 到点M 、N 的距离相等，到AO 、BO 的距离也相等，作图如下：
． 【点睛】
此题考查作图-应用与设计作图，熟练地应用角平分线的作法以及线段垂直平分线作法是解决问题的关键．
24．（1）132）x ＝﹣
12． 【解析】 【分析】
(1)首先计算0次幂、绝对值、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可；
(2)根据立方根的含义和求法，求出x 的值是多少即可．
【详解】
(1) 0101)|32|4+=1+232
=13
(2)∵8(x +1)3=1，
∴(x +1)3=
18， ∴x +1=12
， 解得：x =﹣
12． 【点睛】
本题考查实数的混合运算和开立方的方法解方程，解决此类题目的关键是熟练掌握乘方、二次根式、绝对值等考点的运算．
25．（1）详见解析；（2
）BC =【解析】
【分析】
（1）根据等式的基本性质可得∠DAB =∠EAC ，然后根据等腰直角三角形的性质可得DA =EA ，BA =CA ，再利用SAS 即可证出结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出DE ，从而求出EC 和DC ，再根据全等三角形的性质即可求出DB ，∠ADB=∠AEC ，从而求出∠BDC=90°，最后根据勾股定理即可求出结论．
【详解】
证明：（1）∵90BAC DAE ∠=∠=︒
∴∠DAE －∠BAE =∠BAC －∠BAE
∴∠DAB =∠EAC
∵ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形
∴DA =EA ，BA =CA
在△ADB 和△AEC 中
DA EA DAB EAC BA CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△AEC
（2）∵ADE △
是等腰直角三角形，AD AE ==
∴
2=，
∵2DE EC =
∴EC=
112
DE =， ∴DC=DE ＋EC=3
∵△ADB ≌△AEC ∴DB=EC=3，∠ADB=∠AEC
∵∠ADB=∠ADE ＋∠BDC ，∠AEC=∠ADE ＋∠DAE=∠ADE ＋90°
∴∠BDC=90°
在Rt △BDC
中，BC =
=【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键． 四、压轴题
26．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）
【解析】
【分析】
（1）根据融合点的定义3a c x +=，3
b d y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解；
②利用①的函数关系式解答；
③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）x ＝
-17233a c ++==，y ＝54333
b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点； （2）①由题意得：x ＝
433a c t ++=，y ＝2533b d t ++=，则3-4t x =， 则()23-452-13
x y x +==； ②令x ＝0，y ＝-1；令y ＝0，x ＝
12，图象如下：
③当∠THD ＝90°时，
∵点E （t ，2t ＋5），点T （t ，2t−1），点D （4，0），且点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．
∴t ＝
13
（t ＋4）， ∴t ＝2，
∴点E （2，9）；
当∠TDH ＝90°时，
∵点E （t ，2t ＋5），点T （4，7），点D （4，0），且点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．
∴4＝
13
（4＋t ） ∴t ＝8， ∴点E （8，21）；
当∠HTD ＝90°时，
由于EH 与x 轴不平行，故∠HTD 不可能为90°； 故点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）．
【点睛】
本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．
27．（1）5y x =+；（2）223）PB 的长为定值
52 【解析】
【分析】
（1）先求出A 、B 两点坐标，求出OA 与OB ，由OA= OB ，求出m 即可；
（2）用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，BN=OM ，由勾股定理求OM 即可； （3）先确定答案定值，如图引辅助线EG ⊥y 轴于G ，先证AOB EBG ∆≅∆，求BG 再证BFP GEP ∆≅∆，可确定BP 的定值即可．
【详解】
（1）对于直线:5L y mx m =+．
当0y =时，5x =-．
当0x =时，5y m =．
()5,0A ∴-，()0,5B m ．
OA OB =．
55m
∴=． 解得1m =．
∴直线L 的解析式为5y x =+．
（2）5OA =，17AM =．
∴由勾股定理，
2222OM OA AM =-=． 180AOM AOB BON ∠+∠+∠=︒．
90AOB ∠=︒．
90AOM BON ∴∠+∠=︒．
90AOM OAM ∠+∠=︒．
BON OAM ∴∠=∠．
在AMO ∆与OBN ∆中，
90BON OAM AMO BNO OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
．
()AMO OBN AAS ∴∆≅∆．
22BN OM ∴==．．
（3）如图所示：过点E 作EG y ⊥轴于G 点．
AEB ∆为等腰直角三角形，
AB EB ∴=
90ABO EBG ∠+∠=︒．
EG BG ⊥，
90GEB EBG ∴∠+∠=︒．
ABO GEB ∴∠=∠．
AOB EBG ∴∆≅∆．
5BG AO ∴==，OB EG =
OBF ∆为等腰直角三角形，
OB BF ∴=
BF EG ∴=．
BFP GEP ∴∆≅∆．
1522
BP GP BG ∴===． 【点睛】
本题考查求解析式，线段的长，判断定值问题，关键是掌握求坐标，利用条件OA= OB ，求OM ，用勾股定理求AB ，再证AMO OBN ∆≅∆，构造 AOB EBG ∆≅∆，求BG ，再证BFP GEP ∆≅∆．
28．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ；
（2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出
∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：
如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，
∴CE=AD ，∠A=∠BCE=60°
在△ACD 与△CBE 中，
AC=CB ，∠A=∠BCE ，AD=CE
∴△ACD ≌△CBE （SAS ），
∴CD=BE ，即CD 和BE 始终相等；
（2）证明：根据题意得：CE=AD ，
∵AB=AC ，
∴AE=BD ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC ，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，
∴∠EAB=∠DBC ，
在△BCD 和△ABE 中，
BC=AB ，∠DBC=∠EAB ，BD=AE
∴△BCD ≌△ABE （SAS ），
∴∠BCD=∠ABE
∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；
（3）解：爬行过程中，DF 始终等于EF 是正确的，理由如下：
如图，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，
∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD=DG=CE，
在△DGF和△ECF中，
∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC
∴△DGF≌△EDF（AAS），
∴DF=EF.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．
29．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7
【解析】
【分析】
（1）由DE∥BC，得到
DB EC
AB AC
=，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；
（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．
【详解】
[初步感知]（1）∵DE∥BC，
∴
DB EC
AB AC
=，
∵AB=AC，
∴DB=EC，
故答案为：=，
（2）成立．
理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
AD AE
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB=CE；
[深入探究]（3）如图③，设AB，CD交于O，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△DAB和△EAC中
AD AE
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴DB=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠BOD=∠AOC，
∴∠BDC=∠BAC=60°；
（4）∵△DAE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∴∠AEC=135°，
在△DAB和△EAC中
AD AE
DAB EAC
AB AC
⎪
∠
⎪
⎩
∠
⎧
⎨
＝
＝
＝
，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE，
∵∠ADE=45°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，
∵△ADE都是等腰直角三角形，AM为△ADE中DE边上的高，∴AM=EM=MD，
∴AM+BD=CM；
故答案为：90°，AM+BD=CM；
【拓展提升】
（5）如图，
由旋转可知，在旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，△ADE与△ADC面积的和达到最大，
∴△ADC面积最大，
∵在旋转的过程中，AC始终保持不变，
∴要△ADC面积最大，
∴点D到AC的距离最大，
∴DA⊥AC，
∴△ADE与△ADC面积的和达到的最大为2+1
2
×AC×AD=5+2=7，
故答案为7．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．
30．（1）（1，0）；（2）
3
6
2
y x-
＝；（3）
9
2
；（4）（6，3）．
【解析】
【分析】
（1）由题意已知l1的解析式，令y=0求出x的值即可；
（2）根据题意设l2的解析式为y=kx+b，并由题意联立方程组求出k，b的值；
（3）由题意联立方程组，求出交点C的坐标，继而即可求出S△ADC；
（4）由题意根据△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C 到AD的距离进行分析计算．
【详解】
解：（1）由y=-3x+3，令y=0，得-3x+3=0，
∴x=1，
∴D（1，0）；
（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，
由图象知：x=4，y=0；x=3，y＝
3
2
-，代入表达式y=kx+b，
∴
40
3
3
2
k b
k b
+
⎧
⎪
⎨
+-
⎪⎩
＝
＝
，
∴326
k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝，
∴直线l 2的解析表达式为3
62
y x -＝； （3）由33362
y x y x ⎪-+-⎧⎪⎨⎩＝＝，解得23x y ⎧⎨⎩-＝＝， ∴C （2，-3），
∵AD=3， ∴331922
ADC S =⨯⨯-=； （4）△ADP 与△ADC 底边都是AD ，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值=|-3|=3，
则P 到AD 距离=3，
∴P 纵坐标的绝对值=3，点P 不是点C ，
∴点P 纵坐标是3，
∵y=1.5x-6，y=3，
∴1.5x-6=3，解得x=6，
所以P （6，3）．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的性质以及三角形面积的计算等有关知识，熟练掌握求一次函数解析式的方法以及一次函数图象的性质和三角形面积的计算公式是解题的关键.。